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1、高二 269班,双曲线及其标准方程,问题提出,1.椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？,定义：平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于常数（大于|F1F2| ）的点的轨迹,标准方程:,2. 在椭圆中，参数a，b，c的相互关系是什么？,a2b2c2,3.我们已经知道了平面内与两个定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）的点的轨迹是椭圆，那么，平面内与两个定点的距离之差为常数的点的轨迹是什么？就成为一个新的研究课题.,探究（一）：双曲线的概念,实验：取一条两边等长的拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在拉头点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖
2、所经过的点就画出一条曲线C.,F1,F2,M,F,上面两条曲线合起来叫做 双曲线,由可得：,| |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）,1.试用集合的形式表述双曲线的定义.,P=M|MF1|MF2|=2a，a为常数 ,2.如果去掉绝对值结果如何？,若|MF1|MF2|=2a，则表示双曲线的右支,若|MF2|MF1|=2a，则表示双曲线的左支,想一想,双曲线的定义:,平面内到两定点F1 F2的距离差的绝对值等于常数（小于 ）的点的轨迹叫做双曲线。,两个定点F1，F2 叫做双曲线的焦点.,焦距:,2a2c,说明:,思考：为什么要满足2a2c呢？,（1）若2a=2c=|F1F2|,又|
3、MF1|MF2|=2a(a是常数),则M的轨迹是两条射线.,（2）若2a2c呢？,由三角形知识有这样的点M不存在,（3）若2a=0呢？,F1,F2,|MF1|MF2|= 0,则M的轨迹是F1F2的垂直平分线,（二）双曲线方程的推导,基本步骤：,（1）建系,（2）设点,（3）限式,（4）代换,（5）化简、证明,双曲线方程的推导,双曲线的标准方程,(a0,b0),称为双曲线的标准方程,它表示中心 在原点，焦点在x轴上的双曲线.,焦点：,F1(c,0)， F2(c,0),F1,M,F2,焦距:,思考：中心在原点，焦点在y轴 上的双曲线的标准方程是什么？,标准方程：,(a0,b0),焦点：,F1(0,
4、 c)， F2(0,c),思考：a, b, c有何关系？,c2=a2+b2 c最大，a与b的大小无规定,F1,F2,谁正谁是a,焦点跟着正的跑,F（c，0）,F（c，0）,a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2,ab0，a2=b2+c2,双曲线与椭圆之间的区别与联系,|MF1|MF2|=2a,|MF1|+|MF2|=2a,F（0，c）,F（0，c）,例1： 若方程 表示的曲线 是双曲线，求k的取值范围.,k|-2k 5,例2： 已知双曲线两个焦点分别为F1 (5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点P到点F1，F2的距离之差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.,解：因为双曲线的焦点在X轴
5、上，所以 它的标准方程可设为,因为2a=6 , 2c=10. 所以a=3 , c=5, b2=52-32=16. 所以双曲线的标准方程为,待定系数法,用待定系数法求双曲线方程的方法和步骤：,根据条件确定a,b的值；,写出双曲线的方程.,例： 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过P(4 2 , 3 3 )和Q(4 3 , 6 )两点的双曲线方程,求不能确定焦点所在的轴的双曲线方程,因为P,Q在双曲线上 所以 32 m +27 n =1 48 m +36 n=1 解得 m = - n= 所以双曲线的方程为,解：设双曲线的一般方程为mx2+ny2=1, 其中mn0.,例：已知双曲线 ，A、B为过左焦
6、点 F1的直线与双曲线左支的两个交点，|AB|=9， F2为右焦点，则AF2B的周长为.,30,利用双曲线的定义解题,2.若双曲线 上的一点P到 一个焦点的距离为12，则它到另一个焦 点的距离是.,2或22,练一练,求与两个定圆C1：x2y210x240和 C2：x2y210x240都外切或者都内切的动圆的圆心的轨迹方程,题型二：利用双曲线的定义求方程,解,定义法,例： 一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s.已知A、B两地相距800m，并且此时声速为340m/s,求炮炸点的轨迹方程?,P,分析：由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点
7、应位于以A、B为焦点的双曲线上,因为爆炸点离A处比B处更远， 所以爆炸点应在靠近B处的一支上,P,O,y,解：以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建立直角坐标系，如图,设爆炸点P的坐标为P(x,y),则,|PA|-|PB|=3402=680,2a=680,a=340,又|AB|=800,2c=800,c=400,b2=c2-a2=44400,|PA|-|PB|=6800,x0,所求双曲线方程为,定义法,1双曲线定义中注意的三个问题 (1)注意定义中的条件2a|F1F2|不可缺少 若2a|F1F2|，则动点的轨迹是以F1或F2为端点的射线； 若2a|F1F2|，则动点的轨迹不存在 (2)注意定义中的常数2a是小于|F1F2|且大于0的实数若a0，则动点的轨迹是线段F1F2的中垂线 (3)注意定义中的关键词“绝对值”. 若去掉定义中的“绝对值”三个字，则动点的轨迹只能是双曲线的一支,