数值分析第八章常微分方程数值解法.ppt

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1、数值分析 Numerical Analysis,第八章 常微分方程数值解法,郑州大学研究生课程 （2010-2011学年第一学期）,2/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,第八章 常微分方程数值解法,8.1 引言 8.2 欧拉(Euler)法 8.3 改进欧拉(Euler)方法 8.4 单步法的稳定性,3/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.1 引言,问题提出 倒葫芦形状容器壁上的刻度问题.对于圆柱形状容器壁上的容积刻度,可以利用圆柱体体积公式,其中直径D为常数.由于体积

2、V与相对于容器底部的任意高度H的函数关系明确,因此在容器上可以方便地标出容器刻度,而对于几何形状不是规则的容器,比如倒葫芦形状容器壁上如何标出刻度呢?,4/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.1 引言,下表是经过测量得到部分容器高度与直径的关系.,H 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 D 0 0.11 0.26 0.56 1.04 1.17,根据上表的数据,可以拟合出倒葫芦形状容器的图,建立如图所示的坐标轴后,问题即为如何根据任意高度x标出容器体积V的刻度,由微元思想分析可知,5/69,郑州大学研究生2010-2011学

3、年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.1 引言,其中x表示高度,直径D是高度x的函数,记为D(x),因此得到如下微分方程初值问题,只要求解上述方程,就可求出体积V与高度x之间的函数关系,从而可标出容器壁上容积的刻度,但问题是函数D(x)无解析表达式,我们无法求出其解析解.,6/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.1 引言,包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。在微分方程中, 自变量的个数只有一个, 称为常微分方程。自变量的个数为两个或两个以上的微分方程叫偏微分方程。微分方程中出现的未知

4、函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。如果未知函数y及其各阶导数 都是一次的,则称它是线性的,否则称为非线性的。,7/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,常微分方程( ODEs 未知函数是一元函数) 偏微分方程( PDEs 未知函数是多元函数),8/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,同一个微分方程,具有不同的初始条件,9/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,当x=0时,y=1,可得c=1特解,当x=0时,y=1,

5、可得c=-1特解,两边积分,通解,10/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.1 引言,在高等数学中，对于常微分方程的求解，给出了一些典型方程求解析解的基本方法，如可分离变量法、常系数齐次线性方程的解法、常系数非齐次线性方程的解法等。但能求解的常微分方程仍然是有限的，大多数的常微分方程是不可能给出解析解。,11/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.1 引言, 待求解的问题：一阶常微分方程的初值问题 /* Initial-Value Problem */:,解的存在唯一性

6、（“常微分方程”理论）：只要 f (x, y) 在a, b R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，即存在与 x, y 无关的常数 L 使 对任意定义在 a, b 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立，则上述IVP存在唯一解。,12/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,解析解法：（常微分方程理论） 只能求解极少一类常微分方程；实际中给定的问题不一定是解析表达式，而是函数表，无法用解析解法。,如何求解,13/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,14/69,

7、郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,15/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.2 欧拉(Euler)法,欧拉（Euler）方法是解初值问题的最简单的数值方法。初值问题 的解y=y(x)代表通过点 的一条称之为微分方程的积分曲线。积分曲线上每一点 的切线的斜率 等于函数 在这点的值。,16/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,Euler法的求解过程是:从初始点P0(即点(x0,y0)出发, 作积分曲线y=y(x)在P0点

8、上切线 (其斜率为 ),与x=x1直线,相交于P1点(即点(x1,y1),得到y1作为y(x1)的近似值,如上图所示。过点(x0,y0),以f(x0,y0)为斜率的切线方程为 当 时,得,这样就获得了P1点的坐标。,17/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,同样, 过点P1(x1,y1),作积分曲线y=y(x)的切线 交直线x=x2于P2点,切线 的斜率 直线方程为,当 时,得,18/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,当 时,得,由此获得了P2的坐标。重复以上过程,就可获得

9、一系列的点:P1,P1,Pn。对已求得点 以 为斜率作直线,取,19/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,从图形上看,就获得了一条近似于曲线y=y(x) 的折线 。,这样,从x0逐个算出 对应的数值解,20/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.2 欧拉(Euler)法,通常取 (常数),则Euler法的计算格式,i=0,1,n ( 8.2 ),21/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.2 欧拉(Euler)法

10、,还可用以下方法推导Euler格式： 数值微分 数值积分法,对微分方程的离散，可以有多种思路，但最基本的想法是“以直代曲”,22/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.2 欧拉(Euler)法,(1) 用差商近似导数,差分方程初值问题 向前Euler方法,23/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.2 欧拉(Euler)法,若用向后差商近似导数，即,向后Euler方法,24/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8

11、.2 欧拉(Euler)法,（2）用数值积分方法,25/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.2 欧拉(Euler)法,若对积分用梯形公式，则得,梯形欧拉公式,26/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,例8.2.1 用欧拉法解初值问题,取步长h=0.2 ,计算过程保留4位小数,解: h=0.2, 欧拉迭代格式,当 k=0, x1=0.2时，已知x0=0，y0=1，有 y(0.2)y1=0.21(401)0.8 当 k=1, x2=0.4时，已知x1 =0.2， y1 =0.

12、8，有 y(0.4) y2 =0.20.8(40.20.8)0.6144 当 k=2, x3 =0.6时，已知x2 =0.4， y2 =0.6144，有 y(0.6) y3=0.20.6144(4-0.40.6144)=0.4613,27/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.2 欧拉(Euler)法,的解作为微分方程初值问题的数值解，即,以差分方程初值问题,28/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.2 欧拉(Euler)法,29/69,郑州大学研究生2010-2011

13、学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.2 欧拉(Euler)法,x0,x1,x2,x3,y0,h,h,h,欧拉折线法,30/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,解：Euler公式为,当h=0.5时,31/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,当h=0.25时,32/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,0,0.5,0.75,1.0,1,0.25,h = 0.5,h = 0.25,33/69,郑州大

14、学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.2 欧拉(Euler)法,欧拉方法的收敛性,34/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.2 欧拉(Euler)法,局部截断误差,称为局部截断误差,35/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.2 欧拉(Euler)法,欧拉方法的收敛性,定义 若给定方法的局部截断误差满足 则称该方法是 P 阶的，或称为具有 P 阶精度。,36/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Nu

15、merical Analysis,8.2 欧拉(Euler)法,整体截断误差,37/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.2 欧拉(Euler)法,欧拉方法的收敛性,38/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,由此知，当,39/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.2 欧拉(Euler)法,注,整体截断误差与局部截断误差的关系：,40/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical A

16、nalysis,8.2 欧拉(Euler)法 向后欧拉公式,隐式欧拉法或向后欧拉法 /* implicit Euler method or backward Euler method*/,隐式或后退欧拉公式,41/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.2 欧拉(Euler)法 向后欧拉公式,由于未知数 yn+1 同时出现在等式的两边，故称为隐式 /* implicit */ 欧拉公式，而前者称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。隐式公式不能直接求解，一般需要用Euler显式公式得到初值，然后用Euler隐式公式迭代求解。

17、因此隐式公式较显式公式计算复杂，但稳定性好（后面分析）。 隐式欧拉公式中的未知数 yn+1 可通过以下迭代法求解：,42/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.2 欧拉(Euler)法 向后欧拉公式,迭代法求隐式欧拉格式中yn+1的收敛性,43/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,见上图， 显然，这种近似也有一定误差， 如何估计这种误差y(xn+1) yn+1 ？ 方法同上，基于Taylor展开估计局部截断误差。 但是注意，隐式公式中右边含有f(xn+1 , yn +1 )

18、 , 由于yn +1不准确，所以不能直接用 y (xn+1)代替f(xn+1 , yn +1 ),设已知曲线上一点 Pn (xn , yn ),过该点作弦线，斜率为(xn+1 , yn +1 ) 点的方向场f(x,y)。若步长h充分小，可用弦线和垂线x=xn+1的交点近似曲线与垂线的交点。,几何意义,44/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis, 隐式欧拉法的局部截断误差：,45/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,46/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析

19、Numerical Analysis, 隐式欧拉法的局部截断误差：,即隐式欧拉公式具有 1 阶精度。, 隐式欧拉法的局部截断误差：,47/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.2 欧拉(Euler)法 向后欧拉公式,比较欧拉显式公式和隐式公式及其局部截断误差,显式公式,隐式公式,48/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,若将这两种方法进行算术平均，即可消除误差 的主要部分/*leading term*/ 而获得更高的精度,称为梯形法, 梯形公式 /* trapezoid f

20、ormula */, 显、隐式两种算法的平均,注：的确有局部截断误差 ， 即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。,49/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,例8.2.3 对初值问题,证明用梯形公式求得的近似解为,并证明当步长h0时,yn收敛于精确解 证明: 解初值问题的梯形公式为,整理成显式,反复迭代,得到,50/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,欧拉法小结,51/69,郑州大学研究生20

21、10-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.3 改进欧拉(Euler)方法,52/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.3 改进欧拉(Euler)方法,53/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.3 改进欧拉(Euler)方法,显式欧拉公式计算工作量小,但精度低。梯形公式虽提高了精度,但为隐式公式,需用迭代法求解,计算工作量大。综合欧拉公式和梯形公式便可得到改进的欧拉公式。,结合已有格式的优点，以得到计算方便、计算量减少且精度保持的数值格式

22、,54/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.3 改进欧拉(Euler)方法,先用欧拉公式(8.2)求出一个初步的近似值 ,称为预测值, 它的精度不高, 再用梯形公式对它校正一次,即迭代一次,求得yn+1,称为校正值, 这种预测-校正方法称为改进的欧拉公式：,称为Euler公式与梯形公式的预测校正系统。,55/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.3 改进欧拉(Euler)方法,实际计算时，常改写成以下形式,56/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析

23、Numerical Analysis,predictor,corrector,57/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.3 改进欧拉(Euler)方法,可以证明,改进的欧拉公式的精度为二阶。这是一种一步显式格式,它可以表示为嵌套形式。,58/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,例8.3.1,59/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,60/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical

24、 Analysis,8.3 改进欧拉(Euler)方法,61/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,改进欧拉法的算法,62/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.4 单步法的稳定性,稳定性在微分方程的数值解法中是一个非常重要的问题。因为微分方程初值问题的数值方法是用差分格式进行计算的，而在差分方程的求解过程中，存在着各种计算误差，这些计算误差如舍入误差等引起的扰动，在传播过程中，可能会大量积累，对计算结果的准确性将产生影响。这就涉及到算法稳定性问题。,63/69,郑州大学研究

25、生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,例：考察初值问题 在区间0, 0.5上的解。 分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。,1.0000 2.0000 4.0000 8.0000 1.6000101 3.2000101,1.0000 2.5000101 6.2500102 1.5625102 3.9063103 9.7656104,1.0000 2.5000 6.2500 1.5626101 3.9063101 9.7656101,1.0000 4.9787102 2.4788103 1.2341104 6.1442106 3.0590107

26、,8.4 单步法的稳定性,64/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,8.4 单步法的稳定性,65/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,一般分析某算法的稳定性时，为简单起见，只考虑模型方程或试验方程 /* test equation */,8.4 单步法的稳定性,66/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,记数值误差为： 引进试验方程：,67/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical

27、Analysis,向前欧拉公式的稳定性 试验方程的欧拉公式 若每步计算有舍入误差，则,68/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,当为复数时 当为实数时,69/69,郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis,本章小结,本章介绍了常微分方程初值问题的基本数值解法。包括单步法和多步法。单步法主要有欧拉法、改进欧拉法和龙格库塔方法。多步法是亚当姆斯法。它们都是基于把一个连续的定解问题离散化为一个差分方程来求解，是一种步进式的方法。用多步法求常微分方程的数值解可获得较高的精度。 实际应用时，选择合适的算法有一定的难度，既要考虑算法的简易性和计算量，又要考虑截断误差和收敛性、稳定性。,