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1、数列的前n项和的求法,2019年7月22日星期一,1 数列的前n项和的求法(一),公式法：即直接利用等差数列与等比数列的前n项和公式进行求和。 注意： (加法结合律) 例1 (1)求和： (2)求和：,(1)求和： 分析： (1)中每一项是两项的差，被减数依次构成等差数列，减数依次构成等比数列 解： (1)原式,(2)求和： 分析：(2)中每一项不是两项和(或差)的形式，这怎么求和呢?能不能把每一项(即通项)变换形式，“拆一下”呢? 解：,通项,原式,2 数列前n项和的求法(二),倒序相加法： 先求 等差数列的前n项和公式 利用了倒序相 加法在公式的推导过程中，利用了等差数列的一个重要性质，即
2、,例2 求分母为3，包含在正整数2 004与2 008之间的所有不可约分数的和 解：满足题意的数构成以下数列： 共8项，它既非等差也非等比数列但与首末两端等距离的项的和都是(2 004+2 008)，所以可以用等差数列的求和方法倒序相加法设和为S，则,3 数列前n项和的求法(三),裂项相消法 在求非等差、非等比数列的前n项和时，将每一项(即通项)拆成若干项，在做加法时，中间的项“全部抵消”，只剩下首、末的有限项，从而得到和(此法叫做裂项相消法) 例3 求和： 分析： 利用裂项法，使得裂项后有诸多项能相互抵消,解： (1) 原式,解： 原式,例4 已知各项不为零的等差数列an，求证： 证明：,左
3、边,得证,4 数列前n项的求法(四),错位相减法 错位相减法适用于求数列anbn的前n项和，其中an是等差数列，bn是等比数列 例5 求和 解：当a=1时，,当a1时，在上式两边同乘以 得 与 两式相减，,得,即,综上得,数 列 综 合 题,例1已知数列an中， 且 (I)设 证明：bn是等比数列； (II)求数列an的通项公式； (III)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的nN，an是an+3与an+6的等差中项 解: (I)由题设 得 即 又 所以bn是首项为l，公比为q的等比数列,(II)由(I)知， 将以上各式相加，得 所以当n2时， 上式对n=1时显然成立,(III)由(II)知，当q=1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，故q1 由 可得 由q0得 整理得 解得 或 (舍去)于是 另一方面 由可得 所以对任意的nN*,an是an+3与an+6的等差中项,例2等差数列an的各项均为正整数，a1=3，前n项和为Sn，等比数列bn中，b1=1，且b2S2=64,b 是公比为64的等比数列 (1)求an与bn； (2)证明：,解:(1)设an的公差为d，bn的公比为q，则d为正整数， 依题意有 由(6+d)q=64知q为正有理数，又由 知，d为6的因子1，2，3，6之一， 解得 d=2, q=8， 故,(2) 由(1)知 所以,