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1、2.6 序列的Z变换,Z变换的提出背景(1),数字信号处理的目标,由数字信号序列分析其内在特性 对数字信号序列进行处理,正交变换（如傅里叶变换）、Z变换是手段,Z变换的提出背景(2),正交变换,视序列为多维空间中一点 不同坐标系产生不同的坐标值(正交变换系数) 不同的坐标系可突出不同的特性,坐标变换,正交变换,Fourier变换,直角坐标 方,用cos和sin函数作为正交基，来描述振动信号，如语音等,极坐标 圆,正交变换相当于不同正交坐标系之间的变换,三角函数，Harr , Walsh等 正交函数,Z变换的提出背景(3),多项式变换,分析手段：多项式求根、级数理论等,把序列视为多项式的系数,z
2、变换：x用z1代替,2.6.1 Z变换的定义 序列x(n)的Z变换定义为,(2.6.1),式中z是一个复变量， 它所在的复平面称为z平面。 注意在定义中， 对n求和是在之间求和， 可以称为双边Z变换。 还有一种称为单边Z变换的定义， 如下式,(2.6.2),对因果序列来说,单边和双边Z变换相等.,图 2.6.1 Z变换的收敛域,常用的Z变换是一个有理函数， 用两个多项式之比表示 分子多项式P(z)的根是X(z)的零点， 分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。 在极点处Z变换不存在， 因此收敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界。 对比序列的傅里叶变换定义(2.2.1)式， 很容易得到F
3、T和ZT之间的关系， 用下式表示：,(2.6.4),式中z=e j表示在z平面上r=1的圆， 该圆称为单位圆。 (2.6.4)式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。 如果已知序列的Z变换， 可用(2.6.4)式， 很方便的求出序列的FT， 条件是收敛域中包含单位圆。 例 1. x(n)=u(n)， 求其Z变换。 解： X(z)存在的条件是 1，,|z|1,由x(z)表达式表明， 极点是z=1， 单位圆上的Z变换不存在， 或者说收敛域不包含单位圆。 因此其傅里叶变换不存在， 更不能用(2.6.4)式求FT。 该序列的FT不存在， 但如果引进奇异函数()， 其傅里叶变换可以表示出来。 该例同
4、时说明一个序列的傅里叶变换不存在， 在一定收敛域内Z变换是存在的。 例2:,2.6.2 几种序列的Z变换及其收敛域 序列的特性决定其Z变换收敛域， 了解序列特性与收敛的一般关系， 对使用Z变换是很有帮助的。 1. 有限长序列 如序列x(n)满足下式： x(n) n1nn2 x(n)= 0 其它,即序列x(n)从n1到n2序列值不全为零， 此范围之外序列值为零， 这样的序列称为有限长序列。 其Z变换为,设x(n)为有界序列，由于是有限项求和， 除0与点是否收敛与n1、 n2取值情况有关外， 整个z平面均收敛。 如果n10， 则收敛域不包括z=0点；如果是因果序列，收敛域包括z=点。 具体有限长序
5、列的收敛域表示如下：,n10时， 00时， 0 |z| n1= n2=0时， 0 |z| 例 3. 求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域 解：,这是一个因果的有限长序列， 因此收敛域为0z。 但由结果的分母可以看出似乎z=1是X(z)的极点， 但同时分子多项式在z=1时也有一个零点， 极零点对消， X(z)在单位圆上仍存在， 求RN(n)的FT， 可将z=ej代入X(z)得到。 2. 右序列 右序列是在nn1时， 序列值不全为零， 而其它nn1， 序列值全为零。,第一项为有限长序列， 设n1-1， 其收敛域为0|z|。 第二项为因果序列， 其收敛域为Rx-|z|， Rx-是第二项最小的收敛
6、半径。 将两收敛域相与， 其收敛域为Rx- |z|。 如果是因果序列， 收敛域定为Rx- |z|。,例 2.6.3求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域 解：,在收敛域中必须满足|az-1|a|。 3. 左序列 左序列是在nn2时， 序列值不全为零， 而在 nn1， 序列值全为零的序列。 左序列的Z变换表示为,如果n20， 则收敛域为0|z| Rx+ 。 例 2.6.4求x(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域。,X(z)存在要求|a-1 z|1， 即收敛域为|z|a|,4. 双边序列 一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列之和， 其Z变换表示为,X(z)的收敛域是X1(z)和
7、X2(z)收敛域的公共收敛区域。 如果Rx+Rx-， 其收敛域为Rx- |z| Rx+ ， 这是一个环状域， 如果Rx+ Rx- ， 两个收敛域没有公共区域， X(z)没有收敛域， 因此X(z)不存在。 例 2.6.5 x(n)=a|n|， a为实数， 求x(n)的Z变换及其收敛域。 解：,第一部分收敛域为|az|a|。 如果|a|1， 两部分的公共收敛域为|a|z|a|-1， 其Z变换如下式：,|a|z|a|-1,如果|a|1， 则无公共收敛域， 因此X(z)不存在。 当0a1时， x(n)的波形及X(z)的收敛域如图2.6.2所示。,图 2.6.2 例2.6.5图,2.6.3 逆Z变换 已
8、知序列的Z变换及其收敛域， 求序列称为逆Z变换。 序列的Z变换及共逆Z变换表示如下：,(2.6.5),1. 幂级数法(长除法) 按照Z变换定义(2.6.1)式， 可以直接将X(z)写成幂级数形式， 级数的系数就是序列x(n)。,要说明的是， 如果x(n)是右序列， 级数应是负幂级数； 如x(n)是左序列， 级数则是正幂级数。 例 2.6.8已知 用长除法求其逆Z变换x(n)。 解:由收敛域判定这是一个右序列， 用长除法将其展成负幂级数,1-az-1,例 2.6.9 已知求 其逆Z变换x(n)。 解：由收敛域判定，x(n)是左序列，用长除法将X(z)展成正幂级数,-az-1 + 1,2. 部分分
9、式展开法,表2.6.1 常见序列Z变换,2.6.4 Z 变换的性质和定理 Z变换有许多重要的性质和定理，下面进行介绍。 1.线性 设 X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+ Y(z)=ZTy(n), Ry- |z| Ry+ m(n)=a x(n)+b y(n) 则 M(z)=ZTm(n) =aX(z)+bY(z), R m-|z|R m+ (2.6.15) Rm+=min Rx+,Ry+ Rm-=max Rx,Ry-,如果零极点抵消,收敛域扩大,这里M(z)的收敛域(Rm-，Rm+)是X(z)和Y(z)的收敛域的交集，如果没有公共收敛域，例如当 R x+R x-R y+R y-时，则M(z
10、)不存在。 2. 序列的移位 设X(z)=ZTx(n), R x-|z|R x+ 则ZTx(n-m)=z-mX(z), Rx-|z|Rx+ 有时, 在z=0,z= 处的极点有变化.,3. 乘以指数序列 设 X(z)=ZTx(n), R x-|z|R x+ y(n)=anx(n), a为常数 则 Y(z)=ZTanx(n) =X(a-1 z) |a|R x-|z|a|R x+ (2.6.17),证明,因为Rx-|a-1 z|Rx+，得到|a| Rx- |z|a| Rx+ 。 零极点会延径向方向(a为正实数),或圆周方向移动(a为模值为1的复数),4.序列乘以n 设,则,(2.6.18),证明,5
11、. 序列的复共轭 设,则,证明:,6.初值定理 设 x(n)是因果序列，X(z)=ZTx(n),(2.6.20),证明,因此,7.终值定理 若x(n)是因果序列，其Z变换的极点，除可以有一 个一阶极点在z=1上，其它极点均在单位圆内，则,(2.6.21),证明,因为x(n)是因果序列，,因为(z-1)X(z)在单位圆上无极点，上式两端对z=1 取极限,终值定理也可用X(z)在z=1点的留数，因为,因此 如果单位圆上，X(z)无极点，则x()=0。,序列卷积 设,则,证明,W(z)的收敛域就是X(z)和Y(z)的公共收敛域。 遇到零极点抵消的情况,收敛域的范围将扩大.,10.复卷积定理 如果 Z
12、Tx(n)=X(z)， R x-|z|R x+ ZTy(n)=Y(z), R y-|z|R y+ w(n)=x(n)y(n) 则,W(z)的收敛域,(2.6.24)式中v平面上，被积函数的收敛域为,(2.6.24),(2.6.25),(2.6.26),证明,由X(z)收敛域和Y(z)的收敛域，得到,例2.6.12已知x(n)=u(n),y(n)=a|n|, |a|1若w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZTw(n) 解：,因此,W(z)收敛域为|a|z|；被积函数v平面上收敛域为max(|a|,0)|v|min(|a-1|,|z|)，v平面上极点：a、a-1和z, 围线c内极点z=a。,1
13、1.帕斯维尔(Parseval)定理 利用复卷积定理可以证明重要的帕斯维尔定理。,那么,v平面上，c所在的收敛域为,证明 令 w(n)=x(n)y*(n) 按照(2.6.24)式，得到,按照(2.6.25)式，R x-R y-|z|R x+R y+，按照假 设，z=1在收敛域中，令z=1代入W(z)中。,如果x(n)和y(n)都满足绝对可和，即单位圆上收敛，在上式中令v=e j，得到,(2.6.29),令x(n)=y(n)得到,上面得到的公式和在傅里叶变换中所讲的帕斯维 尔定理是相同的。(2.6.28)式还可以表示成下式： Z变换性质的总结P52-53,(2.6.28),2.6.5 利用Z变换
14、解差分方程 在前面介绍了差分方程的时域解法，下面介绍Z变换解法。这种方法将差分方程变成了代数方程，使求解过程简单。 设N阶线性常系数差方程为,(2.6.30),1.求零状态响应 如果输出序列y(n)在n=0以前的状态为零，仅x(n)作用得到的响应叫零状态响应，对(2.6.30)式求单边Z变换，得到,式中,(2.6.31),(2.6.32),2. 零输入响应 对于N阶差分方程，求零输入响应必须已知N个初始条件。设x(n)是因果序列，即x(n)=0,n0，已知初始条件y(-1),y(-2)y(-N)。对(2.6.30)式进行Z变换时，注意这里要用单边Z变换。方程式的右边由于x(n)是因果序列，单边
15、Z变换与双边Z变换是相同的。下面先求移位序列的单边Z变换。 设,(2.6.33),按照(2.6.33)式对(2.6.30)式进行单边Z变换,(2.6.34),完全响应=零状态响应+零输入响应,例2.6.13已知差分方程y(n)=by(n-1)+x(n)，式中x(n)=anu(n),y(-1)=2，求y(n)。 解：将已知差分方程进行Z变换,式中，,于是,收敛域为|z|max(|a|,|b|)，,式中第一项为零输入解，第二项为零状态解。,Z变换和拉氏变换的关系 取样信号的表示,Z变换与拉氏变换的映射关系,Z变换与拉氏变换的映射关系,a,j,Z变换与拉氏变换的映射关系,a,j,Z变换与拉氏变换的映
16、射关系,=0,js/2 j1,=,1=1T,=0,Z变换与拉氏变换的映射关系,j,a,Z变换与拉氏变换的映射关系,j,s/2,-s/2,a,2.7 系统函数,2.7.1 传输函数与系统函数 设系统初始状态为零，输出端对输入为单位脉冲序列(n)的响应，称为系统的单位脉冲响应h(n)，对h(n)进行傅里叶变换得到H(e j),一般称H(e j)为系统的传输函数，它表征系统的 频率响应特性。,设h(n)进行Z变换，得到H(z)，一般称H(z)为系统的系统函数，它表征了系统的复频域特性。对N阶差分方程进行Z变换，得到系统函数的一般表示式,如果H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1，H(e j)与 H(z
17、)之间关系如下式：,(2.6.3),2.7.2用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性 因果(可实现)系统其单位样值响应h(n)一定满足当n0时，h(n)=0，那么其系统函数H(z)的收敛域一定包含点，即点不是极点，极点分布在某个圆的圆内，收敛域在某个圆外。 系统稳定时要求 ，对照Z变换定义，系统稳定要求收敛域包含单位圆。 如果系统因果且稳定，收敛域包含点和单位圆，那么收敛域可表示为 r|z|， 0r1,H(z),h(n),H(ej),差分方程,系统特征：,要求掌握其 内在关系并 互相转换,2.7.系统的特征,例2.6.1已知 分析其因果性和稳定性. 解：H(z)的极点为z=a，z=a-1
18、 (1)收敛域a-1|z|，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应h(n)=(an-a-n)u(n)，这是一个因果序列，但不收敛。 (2)收敛域0|z|a,对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=(a-n-an)u(-n-1)，这是一个非因果且不收敛的序列。,(3)收敛域a|z|a-1，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应h(n) =a|n|，这是一个收敛的双边序列，如图2.6.1(a)所示。,图2.6.1,习 题：,P.152 4.1 ,4.3 P153 4.8,5.1 拉普拉斯变换,一、从
19、傅氏变换到拉氏变换,存在某些信号不便使用 傅氏变换。 幅度不衰 减，甚至增长。 指数增长信号,若乘一衰减因子 （选适当的实常数 ） 从而可求傅氏变换。,双边拉普拉斯变换：,FT: 实频率 是振荡频率 LT: 复频率S 是振荡频率， 控制衰减速度,5.4 复频域分析,一、微分方程的变换解,n阶的微分方程的一般形式：,为实数，初始状态为,变换到复频域,二、系统函数,阿贝尔定理 如果级数 收敛,那么,满足0|z|z+|的z,级数必绝对收敛。 |z+|为最大收敛半径 对于左边序列，若在圆周上收敛，则必在圆内收敛。,3.8 有理Z变换的收敛域（2）,一些序列的收敛域,预备知识,同样,对于级数 级数必绝对收敛。 |z_|为最小收敛半径,3.8 有理Z变换的收敛域（3）,预备知识,对于右边序列，若在圆周上收敛，则必在圆外收敛,序列的傅立叶变换的定义 (或称离散时间信号的傅立叶变换 或称离散时间信号的频谱),八、S域微分和积分,若,则,