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1、4.4 数字特征与极限定理,在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.,然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.,某型号电视机的平均寿命 18000小时200小时,因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的 .,我们先介绍随机变量的数学期望.,在这些数字特征中，最常用的是,期望和方差,随机变量的数学期望是概率论中最重要的概念之一. 它的定义来自习惯上的平均概念.,我们从离散型随机变量的数学期望开始.,一、离散型随机变量的
2、数学期望,1、概念的引入：,某车间对工人的生产情况进行考察. 车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量. 如何定义X的平均值呢？,某电话交换台每天8:00-9:00收到的呼叫数X是一个随机变量. 如何定义X的平均值即该交换台每天8:00-9:00收到的平均呼叫数呢？,我们来看第一个问题.,若统计100天,例1 某车间对工人的生产情况进行考察. 车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量. 如何定义X的平均值呢？,32天没有出废品; 30天每天出一件废品; 17天每天出两件废品; 21天每天出三件废品;,可以得到这100天中 每天的平均废品数为,这个数能否作为 X的平均值呢？,可以想象，若另外统计
3、100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27.,n0天没有出废品; n1天每天出一件废品; n2天每天出两件废品; n3天每天出三件废品.,可以得到n天中每天的平均废品数为,(假定小张每天至多出三件废品),一般来说,若统计n天,这是 以频率为权的加权平均,由频率和概率的关系,不难想到，在求废品数X 的平均值时，用概率代替 频率，得平均值为,这是 以概率为权的加权平均,这样得到一个确定的数. 我们就用这个数作为随机变量X的平均值 .,这样做是否合理呢？,不妨把小张生产中出废品的情形用一个球箱模型来描述:
4、,有一个箱子，里面装有10个大小，形状完全相同的球，号码如图.,规定从箱中任意取出一个球，记下球上的号码，然后把球放回箱中为一次试验.,记X为所取出的球的号码(对应废品数) . X为随机变量，X的概率函数为,对试验次数(即天数)n,及小张的生产情况进行统计，统计他不出废品，出一件、二件、三件废品的天数n0,n1,n2,n3 , 并计算,与,进行比较.,则对X作一系列观察(试验)，所得X的试验值的平均值也是随机的.,由此引入离散型r.vX的数学期望的定义如下:,对于一个随机变量，若它可能取的值是X1, X2, , 相应的概率为 p1, p2, ,但是，如果试验次数很大，出现Xk的频率会接近于pk
5、，于是可期望试验值的平均值接近,定义1 设X是离散型随机变量，它的概率函数是: P(X=Xk)=pk , k=1,2,也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.,例1 某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门. 若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望.,解: 设试开次数为X,P(X=k)= 1/n , k=1,2,n,E(X),于是,二、连续型随机变量的数学期望,设X是连续型随机变量，其密度函数为f (x),在数轴上取很密的分点x0 x1x2 ,则X落在小区间xi, xi+1)的概率是,小区间xi, xi+
6、1),阴影面积 近似为,小区间Xi, Xi+1),由于xi与xi+1很接近, 所以区间xi, xi+1)中的值可以用xi来近似代替.,这正是,的渐近和式.,阴影面积 近似为,该离散型r.v 的数学期望是,由此启发我们引进如下定义.,定义2 设X是连续型随机变量，其密度函数 为 f (x),如果,有限,定义X的数学期望为,也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.,若XU(a,b),即X服从( a,b)上的均匀分布,则,若X服从,若X服从参数为,由随机变量数学期望的定义，不难计算得：,这意味着，若从该地区抽查很多个成年男子，分别测量他们的身高，那么，这些身高的平均值近似是1.68.
7、,已知某地区成年男子身高X,三、随机变量函数的数学期望,1. 问题的提出：,设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？,如何计算随机变量函数的数学期望?,一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把Eg(X)计算出来.,使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的 .,那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得Eg(X)呢？,下面的基本公式指出，答案是肯定的.,类似引入上述E(X)的推理
8、，可得如下的基本公式:,设X是一个随机变量，Y=g(X)，则,当X为离散型时,P(X= xk)=pk ; 当X为连续型时,X的密度函数为f(x).,该公式的重要性在于: 当我们求Eg(X)时, 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便.,将g(X)特殊化，可得到各种数字特征:,其中 k 是正整数.,四、数学期望的性质,1. 设C是常数，则E(C)=C;,4. 设X、Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);,2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X);,3. E(X1+X2) = E(X1)+E(X2);,（诸Xi独立时）,注意:由E(XY)=
9、E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y独立,五、数学期望性质的应用,例1 求二项分布的数学期望,若 XB(n,p)，,则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数.,现在我们来求X的数学期望 .,可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np.,XB(n,p),若设,则 X= X1+X2+Xn,= np,i=1,2，n,因为 P(Xi =1)= p,P(Xi =0)= 1-p,所以 E(X)=,则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数.,例2 把数字1,2,n任意地排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称为一个巧合，求巧合个数的数学期望.,由于 E(Xk)=P(Xk =1),解
10、: 设巧合个数为X,k=1,2, ,n,则,故,引入,例3 设甲、乙两人玩必分胜负的赌博游戏，假定游戏的规则不公正，以致两人获胜的概率不等，甲为p,乙为q，pq,p+q=1.为了补偿乙的不利地位，另行规定两人下的赌注不相等，甲为 a, 乙为b, ab. 现在的问题是：a究竟应比b大多少，才能做到公正？,解：设甲赢的钱数为X，乙赢的钱数为Y，,依题意,解：设甲赢的钱数为X，乙赢的钱数为Y，,为对双方公正,应有,依题意,E(X)=bp+(-a)q, E(Y)=aq+(-b)p,bp-aq=aq-bp=0,故,期望与风险并存数学家从期望值来观察风险，分析风险，以便作出正确的决策,例如，有一家个体户，
11、有资金一笔，如经营西瓜，风险大但利润高(成功的概率为0.7，获利2000元)； 如经营工艺品，风险小但获利少(95会赚，但利润为1000元)究竟该如何决策？,所以权衡下来，情愿“搏一记”，去经营西瓜，因它的期望值高,于是计算期望值：,若经营西瓜，期望值E1=0.72000=1400元,而经营工艺品期望值E20.951000950元,我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.,接下来我们将向大家介绍随机变量另一个重要的数字特征：,方差,我们已经介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.,但是在一些
12、场合，仅仅知道平均值是不够的.,例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：,若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？,测量结果的均值都是 a,因为乙仪器的测量结果集中在均值附近,又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：,你认为哪门炮射击效果好一些呢?,甲炮射击结果,乙炮射击结果,因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 .,为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.,这个数字特征就是我们要介绍的,方差,一、方差的定义,采用平方是为了保证一切 差值X-E(X)都起正面
13、的作用,由于它与X具有相同的度量单位，在实际问题中经常使用.,方差的算术平方根 称为标准差,若X的取值比较分散，则方差较大 .,若方差D(X)=0,则r.v X 以概率1取常数值 .,方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 .,若X的取值比较集中，则方差较小；,D(X)=EX-E(X)2,X为离散型， P(X=xk)=pk,由定义知，方差是随机变量X的函数 g(X)=X-E(X)2的数学期望 .,X为连续型， Xf(x),二、计算方差的一个简化公式,D(X)=E(X2)-E(X)2,展开,证：D(X)=EX-E(X)2,=EX2-2XE(X)+E(X)2,=E(X2)-2E(X)2+
14、E(X)2,=E(X2)-E(X)2,利用期望 性质,请自己用此公式计算常见分布的方差.,例1 设r.v X服从几何分布，概率函数为,P(X=k)=p(1-p)k-1, k=1,2,，n,其中0p1,求D(X),解：,记q=1-p,求和与求导 交换次序,无穷递缩等比 级数求和公式,D(X)=E(X2)-E(X)2,+E(X),三、方差的性质,1. 设C是常数,则D(C)=0;,2. 若C是常数,则D(CX)=C2 D(X);,3. 若X1与X2 独立，则 D(X1+X2)= D(X1)+D(X2);,可推广为：若X1,X2,Xn相互独立,则,X1 与X2不一定独立时， D(X1 +X2 )=？
15、 请思考,4. D(X)=0 P(X= C)=1， 这里C=E(X),下面我们用一例说明方差性质的应用 .,例2 二项分布的方差,设XB(n,p), 则X表示n重贝努里试验中的 “成功” 次数 .,故 D(Xi)= E(Xi2)-E(Xi)2,E(Xi)=P(Xi=1)= p,E(Xi2)= p,则 是n次试验中“成功” 的次数,= p- p2= p(1- p),于是,i=1,2，n,D(Xi)= E(Xi2)-E(Xi)2 = p- p2= p(1- p),由于X1,X2,Xn相互独立,= np(1- p),四、切比雪夫不等式,设随机变量X有期望E(X)和方差 ，则对于 任给 0,或,由切比
16、雪夫不等式可以看出，若 越小，则事件|X-E(X)| 的概率越大，即随机变量X集中在期望附近的可能性越大.,由此可体会方差的概率意义： 它刻划了随机变量取值的离散程度.,如图所示,当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.v X与它的期望的偏差不小于 的概率的估计式 .,如取,可见，对任给的分布，只要期望和方差 存在，则 r.v X取值偏离E(X)超过 3 的概率小于0.111 .,例3 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率 .,解：设每毫升白细胞数为X,依题意，E(X)=7300,D(X)=7
17、002,所求为 P(5200 X 9400),P(5200 X 9400),=P(5200-7300 X-7300 9400-7300),= P(-2100 X-E(X) 2100),= P |X-E(X)| 2100,由切比雪夫不等式,P |X-E(X)| 2100,即估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率不小于8/9 .,例4 在每次试验中，事件A发生的概率为 0.75, 利用切比雪夫不等式求：n需要多大时，才能使得在n次独立重复试验中, 事件A出现的频率在0.740.76之间的概率至少为0.90?,解：设X为n 次试验中，事件A出现的次数，,E(X)=0.75n,的最小的n .,
18、则 XB(n, 0.75),所求为满足,D(X)=0.75*0.25n=0.1875n,=P(-0.01nX-0.75n 0.01n),= P |X-E(X)| 0.01n,P(0.74n X0.76n ),可改写为,= P |X-E(X)| 0.01n,解得,依题意，取,即n 取18750时，可以使得在n次独立重复 试验中, 事件A出现的频率在0.740.76之间的 概率至少为0.90 .,我们介绍了随机变量的方差.,它是刻划随机变量取值在其中心附近离散程度的一个数字特征 .,下面我们将介绍刻划两r.v间线性相关程度的一个重要的数字特征：,相关系数,概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象.,研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:,下面我们先介绍大数定律,大量的随机现象中平均结果的稳定性,大数定律的客观背景,大量抛掷硬币 正面出现频率,字母使用频率,生产过程中的 废品率,