七章节一阶电路.ppt

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1、第七章 一 阶 电 路,含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。 由于动态元件是储能元件，其 VAR 是对时间变量 t 的微分和积分关系，因此动态电路的特点是：当电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。,1、动态电路,电阻、电容和电感电路在换路时的表现。,1)电阻电路 图6.1（a）所示的电阻电路在 t =0 时合上开关，电路中的参数发生了变化。电流 i 随时间的变化情况如图6.1（b）所示，显然电流从t0时的稳定状态直接进入t0 后的稳定状态。说明纯电阻电路在换路时没有过渡期。,图 6.1 （a）,图 6.1 （b）,2)电容电路

2、图 6.2(a)所示的电容和电阻组成的电路在开关未动作前，电路处于稳定状态，电流 i 和电容电压满足：i=0，uC=0。 t=0 时合上开关，电容充电， 接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态，电流 i 和电容电压满足：i=0，uC=US 。 电流 i 和电容电压uC 随时间的变化情况如图6.2（c）所示，显然从t0 时的稳定状态不是直接进入t0后新的稳定状态。说明含电容的电路在换路时需要一个过渡期。,图 6.3 （a） （b） （c）,3)电感电路 图 6.3(a)所示的电感和电阻组成的电路在开关未动作前，电路处于稳定状态，电流i 和电感电压满足：i=0，uL=0。 t=0

3、时合上开关。接通电源很长时间后，电路达到新的稳定状态，电流 i 和电感电压满足：i=0，uL=US/R 。 电流 i 和电感电压uL 随时间的变化情况如图6.3（c）所示，显然从t0时的稳定状态不是直接进入t0后新的稳定状态。说明含电感的电路在换路时需要一个过渡期。,图 6.3 （a） （b） （c）,从以上分析需要明确的是： 1) 换路是指电路结构、状态发生变化，即支路接入或断开或电路参数变化； 2) 含有动态元件的电路换路时存在过渡过程，过渡过程产生的原因是由于储能元件L、C ，在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放需要一定的时间来完成； 3) 代替电路方向就是研究换路后动态电路中电压、

4、电流随时间的变化过程。,2. 动态电路的方程,分析动态电路，首先要建立描述电路的方程。动态电路方程的建立包括两部分内容： 一是应用基尔霍夫定律， 二是应用电感和电容的微分或积分的基本特性关系式。下面通过例题给出详细的说明。,设 RC 电路如图 所示，根据 KVL 列出回路方程为：,由于电容的 VCR 为 ：,从两式中消去电流得以电容电压为变量的电路方程：,若以电流为变量，则有：,对以上方程求导得：,1） RC 电路,设 RL 电路如图 所示的，根据 KVL 列出回路方程为：,由于电感的 VCR 为：,以上两式中消去电感电压得以电流为变量的电路方程：,若以电感电压为变量，则有：,对以上方程求导得

5、：,2） RL 电路,根据 KVL 和电容、电感的 VAR 可得方程为：,整理以上各式得以电容电压为变量的二阶微分方程：,3） RLC电路,考察上述方程可得以下结论：,（1）描述动态电路的电路方程为微分方程； （2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数，一般而言，若电路中含有 n 个独立的动态元件，那么描述该电路的微分方程是 n 阶的，称为 n 阶电路； （3）描述动态电路的微分方程的一般形式为：,描述一阶电路的方程是一阶线性微分方程：,描述二阶电路的方程是二阶线性微分方程：,高阶电路的方程是高阶微分方程,方程中的系数与动态电路的结构和元件参数有关。,动态电路的分析要点,1、解微分方程

6、2、分解的观点,7.1 分解方法在动态电路分析中的应用,7.2 一阶微分方程的求解,7.3 零输入响应,7.4.零状态响应,7.5 线性动态电路的叠加定理,7.6 三要素法,7.7 阶跃函数和阶跃响应,7.8 一阶电路的子区间分析,7.1 分解方法在动态电路分析中的应用,1、利用等效（戴维南定理或诺顿定理）的概念简化电路 2、列写电路的状态方程 3、解方程求电容电压或电感电流 4、利用置换定理，用电压源或电流源置换电容电压或电感电流，使原电路成为一个纯电阻电路，运用电阻电路的分析方法求解电路的其余支路变量。,1、直接积分法 2、 猜试法,7.2 一阶微分方程的求解,猜试法求解一阶微分方程：,1

7、）齐次方程通解：,2）非齐次方程特解： W = Q 常数,3）K确定：,常系数非齐次一阶微分方程,由初始条件解出K,通解答为：,若已知初始条件：,则带入通解式得：,从而可以解得K的值。,P55 例7-1 P56 练习题7-1，7-2,1、什么叫一阶电路？,1）用一阶微分方程描述其变量的电路。,2）只含一个动态元件(C、L)的电路。如：,7.3 零输入响应,电路在没有外界输入的情况下，只由电路中动态元件初始储能作用而产生的响应为零输入响应。,2、什么是零输入响应？,输入为零，且 初始状态为零则响应为零,一、RC 电路的零输入响应,（输入为零）,图(a)所示电路，开关原来在1端，电容电压已 经达到

8、U0，在t=0时开关由1端转换到2端，如图(b) 求： uC(t)；iC(t), t 0, t 0 充电, t = 0 换路, t0 放电,若把电路发生换路的时刻记为 t =0 时刻，则换路前一瞬间记为0，换路后一瞬间记为0。,由于电容电压和电感电流是时间的连续函数，从而有：,以上式子称为换路定律，它表明： 1） 换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）在换路前后保持不变，这是电荷守恒定律的体现。 2）换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）在换路前后保持不变。这是磁链守恒的体现。,1. 定性分析,结论： 通过定性分析，我们可以得到图示的电压电流的大致变化曲线。,要想得

9、到确切的响应曲线，还需要经过定量分析。,建立图(b)电路的一阶微分方程,其解为：,根据初始条件：,齐次方程通解：,2. 定量分析,最后得到电路的零输入响应为,3、有关概念 时间常数： = RC 。它决定了 UC 衰减的快慢 。 RC 大，表示衰减的慢;RC 小，表示衰减的快。,以 为例，说明电压的变化与时间常数的关系,当t=0时，uC(0)=U0，当t=时，uC()=0.368U0由于波形衰减很快，实际上只要经过45的时间就可以认为放电过程基本结束。,固有频率：即系统的特征根。 当系统的特征根为负实数时，电路的零输入响应总是按指数规律衰减。,换 路：电路由电源接入或断开，元件参数或电路结构突然

10、改变。,过渡过程：电路由一种稳定状态向另一种稳定状态过渡的过程。,时间常数： = RC 它决定了 uC 衰减的快慢 RC 大，表示衰减的慢;RC 小，表示衰减的快。,电阻在电容放电过程中消耗的全部能量为：,换路定律：,二、RL 电路的零输入响应,已知 iL(0) = I0 ，求 iL(t) , uL(t) , t 0,解：1. 定性分析, t 0 储磁场能, t = 0 换路, t0 衰减到零,列出KCL方程，得到微分方程,通解为,代入初始条件iL(0+)=I0求得,最后得到,三、结论：,RC电路（或RL电路）电压与电流的零输入响应都是从它的初始值按指数规律衰减到零。 2 表达式：,X(0+)

11、初始值 时间常数,衰减的快慢取决于时间常数 。时间常数具有对偶性。 = RC ； = L/R 其中，UC(0+)和IL(0+)根据其连续性判别，其余各个分量的初始值则由0+时刻的KCL和KVL判别。 零输入响应和初始状态呈现出比例性。,P62 思考题 7-1,例1：电路如图(a)所示，已知电容电压uC(0-)=6V。 t=0闭合开关，求t 0时uC(t)、 iC(t) 、iR(t) 。,解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，得到,将连接电容两端的单口网络等效于一个电阻，为,电阻中的电流iR(t)可以用与iC(t)同样数值的电流源代替电容，用电阻并联的分流公式求得 iR(t),例2：,已知 uC

12、 (0+) = 18V,求： uC (t) , i1(t) , t 0。,例3：已知i (0 +)= 2A,求：i(t) , u(t) ,t 0,作业：3，4，7,7.4.零状态响应,零状态响应定义： 电路中动态元件的初始状态为零，电路只在外加激励作用下产生的响应。,一、一阶RC电路的零状态响应,电路原处于稳态， t = 0时开关打向电源端，求uC(t),i(t),t 0。,1. 定性分析：, t 0 无响应, t = 0 换路, t0 电路达到直流稳态,注意：和教材中的电路图进行比较。,各分量的基本波形如下：,2. 定量分析,其解为：,根据初始条件：,通解：,特解：,代入原方程解得：,1）u

13、C(t) 的零状态响应是从零按指数规律 上升到它的稳态值 uC();,O,2）当t4 ,uC()=Us是电容 C 开路时 uC 的值。,表示为iC =0，,求电流：,二、RL电路的零状态响应,求 iL(t) , uL(t) , t 0,1.推测电感电流的响应表达式及响应规律：,1）iL 的零状态响应是从零按指数规律上升到它的稳态值 iL()。当t4， iL() = IS , 是电感短路时的值。,2）iL 零状态响应的快慢，取决于电路的时间 常数（ = L/R）。 越小，上升越快。,. 定量分析,则：,解得：,三、结论：,uC(t)和iL(t) 的零状态响应是从零按指数 规律上升到它的稳态iL(

14、)；iC(t)和uL(t) 是按指数规律衰减到零。 2.状态量：（初始状态为零对应的变量）,X()稳态值; 时间常数,3.非状态量：iC(t)和 uL(t)。,求解方法：先求状态量，再求非状态量。,例1 电路如图(a)，已知 uC(0-)=0。t = 0 打开开关， 求：t0的uC(t)，iC(t) 及电阻电流 i1(t)。,解：在开关打开瞬间，电容电压不能跃变，得到,将连接电容两端的单口网络等效为戴维南电路图(b),电路的时间常数为,当电路达到新的稳定状态时，电容相当开路得,根据图（a）所示电路，用KCL方程得到,例2 电路如图(a)所示，已知电感电流iL(0-)=0。 t=0闭合开关，求：

15、t0的iL(t)，uL(t)，i(t)。,解：电感电流不能跃变，即,将连接电感的单口网络用诺顿等效电路代替，得图(c),注意：以上规律是在直流激励的作用下得到的，如果是非直流输入，则只能选择求解微分方程的方法，先求出电感电流或电容电压，然后利用置换定理求出其它支路的响应分量。 P73 例 7-6,作业：12，15，18,叠加定理： 适用于任何线性电路。 考虑：在动态电路中，除了独立源是一种激励外，动态元件的初始状态也可看作为一种激励。利用线性电路的叠加性，则电路的完全响应应该是各个激励单独作用是所引起响应的叠加。 事实是否如此？,7.5 线性动态电路的叠加定理,一、一阶RC电路的完全响应： 由

16、动态元件的初始储能和外施激励 共同引起的响应，称为全响应。,例：已知电路如图(a)所示，uC(0-)=U0，t=0 时开关倒向2端。求：uC(t) , t 0。,以电容电压uC(t)为变量，列出图(b)电路微分方程,其解为,代入初始条件,求得,于是得到电容电压表达式 ：,结论：线性动态电路中任一支路电压或电流的 全响应等于零输入响应与零状态响应之和。,uC(0+),例题：P80 例7-7,二、线性动态电路响应的齐次性,以RC电路为例 1. 零输入响应： U0增大K倍，UC也会增大K倍。 2. 零状态响应： US增大K倍，UC也会增大K倍。 3. 完全响应：必须U0和 US同时增大K倍， UC才

17、增大K倍。,P79 ：思考题,三、全响应的三种分解方式：,1.全响应 =零输入响应+零状态响应,新名词：1、固有频率： 2、固有响应： 3、暂态响应： 4、强制响应： 5、稳态响应：,2.全响应 =暂态响应+稳态响应,3.全响应（全解）= 通解 + 特解,第一项是对应微分方程的通解uCh(t)，称为电路的固有响应或自由响应。将随时间增长而按指数规律衰减到零，也称为暂态响应。,第二项是微分方程的特解uCp(t)，其变化规律与输入相同，称为强制响应。当 t时uC(t)=uCp(t) 也称为稳态响应。,从响应表达式上看：,固有响应：与输入无关，由电路本身决定。,暂态响应：在过渡过程(0-4 )的响应

18、。,强制响应：与外加激励有关。,稳态响应：在过渡过程完成以后的响应。,注意,例题：P81例7-7（法二） P81 例7-8（自己看）,作业：19，22，25（上交） 26，27，28，29（课下自己做）,7.6 三要素法,一、直流一阶电路状态变量响应的特点,电容电压：,电感电流：,一般式：,二、直流一阶电路非状态变量响应的特点,已求得电容电压：,则电容电流：,电阻电压：,同样满足一般式：,猜想：,任意的一阶直流电路，其任意支路的电 压或电流的全响应可以由以下三个要素直接求出。,初始值 ,三个要素：,稳态值 ,时间常数 ,三要素法证明：P86-P87,三、三个要素的求解步骤,2. 求初始值 f(

19、0+ ),由 换路定律：uC(0+ ) = uC(0 ) 或iL(0+ ) = iL(0 ) 和置换定理得到 0+ 时刻的等效电路，从而求出待求量的初始值f(0+ ),3. 求稳态值 f(),画 t = 时的等效电路：将 电路的电容开路，或电感短路，作直流分析，求出 f() 。,1. 画 t = 0-时的等效电路，求 uC(0 )或 iL(0 ),4. 求时间常数,先求输出电阻R0 ，, = R0C,先求 R0 ,5. 根据三要素公式得出全响应,例1：已知 t 0 时电路已处于稳态， 求 uC(0+ ) , i1(0+ ) , i2(0+ ) 。,解：1）. 先求 uC(0 )：,画t = 0

20、等效电路,2）. 再求 i1(0+ ) , i2(0+ ) ：,画t = 0+等效电路,例2 ：已知 t 0 时电路已处于稳态，求i1(0+ ) ,iL(0+ ) , uL(0+ ) 。,解：1. 先求 iL(0 ) ：,2. 再求 i1(0+) , uL(0+),例3 图(a)所示电路处于稳定状态。t=0时开关闭合， 求：t0的电容电压uC(t)和电流i(t)，并画波形图。,解：1. 求uC(0+),2. 求uC()，电容开路，运用叠加定理求得,3.求 ：计算与电容相连接的电阻单口网络ab 的输出电阻，它是三个电阻的并联,a,b,4. 代入三要素一般表达式,求得电容电压后，电阻电流i(t)可

21、以利用欧姆定律求得,也可以用叠加定理分别计算2A电流源，10V电压源和电容电压uC(t)单独作用引起响应之和,由于电路中每个响应具有相同的时间常数，不必重新计算，用三要素公式得到,值得注意的是该电阻电流在开关转换时发生了跃变，i(0+)=1A i(0-)=1.667A，因而在电流表达式中，标明的时间范围是t0，而不是t0。,电阻电流i(t)还可以利用三要素法直接求得,例4：图示电路中，开关转换前电路已处于稳态，t=0 时开关S由1端接至2端，求：t0时的电感电流 iL(t)，电阻电流i2(t)，i3(t)和电感电压uL(t)。,解：1. 求iL(0+) ：开关转换前，电感相当于短路,2. 求i

22、L()：,3. 求：,4. 计算iL(t)， uL(t)， i2(t)和i3(t)。,例5： 图(a)所示电路，在t=0时闭合开关， 求：电容电压 uC(t)和电流i2(t)的零状态响应。,解：开关闭合后，与电容连接的单口网络用图(c) 所示的戴维南等效电路代替，其中,用外施电源法求图(b) 单口网络的输出电阻Ro,时间常数为,代入三要素公式得到,从图(a)电路中开关闭合后的电路求得电流 i2(t),1,1,1,+,_,+,_,2V,2i1,0.8F,i1,t = 0,例 6,已知 t 0 时 电路已处于稳态, 求 i1 (t) , t 0,解：令：,.,.,由、可得：,所以初始储能为20时，

23、激励为 时的全响应：,(1)当 x(0+ ) x() ,则其波形为由其初始值按指数规律下降到其稳态值，即,一般式,五、利用三要素作出响应波形,(2)当 x(0+ ) x() 时，则其波形为由其初始值按指数规律上升到其稳态值，即,例：P91 例7-11,作业：32，33，35,作业：40，41，42，43,7.7 阶跃函数和阶跃响应,二、阶跃函数的作用： 1) 代替开关,2) 分段常量信号可表示为一系列阶跃信号之和,分段常量信号：一些阶梯形状波形和矩形脉冲波形。,三、阶跃响应,1、定义：电路在阶跃信号作用下的零状态响应。电路在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，记作S（t）。, =

24、 RC,US,非时变性的表现,2、阶跃响应的特点,首先，记单位阶跃响应为S（t) 1）比例性：若阶跃信号的幅度增大K倍，则响应也增大K倍，即为：KS（t)。 2）非时变性： 若阶跃信号有延时t0 ，则响应也会有相应的延时，即为： S（t- t0)。 3) 叠加性：,3 、分段直流信号作用下一阶电路的响应,例1：已知p(t)波形，求uC,解一： uC(0)=0 0- t0 充电 t t0 放电,p(t),o,t0,t,US,对 p(t)：,对p(t)：,例2 已知：uS(t) = 5(t2) V，uC(t) = 10V, t 0,3.68,求：uC(t) , i(t) , t 0,例3 已知 N

25、R 是只含电阻的电路，并知 uC的单位阶 跃响应为：,V,求：在同样的 激励情况下，若 uC(0) = 2V 时的 uC(t) 和 uR(t)。,V,例4 图示RC分压器电路模型，试求输出电压 uC2(t)的阶跃响应。,解：由于将图(a)电路中的电压源用短路代替后， 电容C1 和C2并联等效于一个电容,现在计算初始值uC2(0+)。在t0时，(t)=0，电路处于零状态，uC1(0-)=uC2(0-)=0。在t=0+时刻，两个电容电压应该满足以下KVL方程,上式说明电容电压的初始值要发生跃变。为了计算出uC2(0+)，需要应用电荷守恒定律，即在跃变的瞬间一电容所失的电荷必为另一电容所得,在t0时

26、，该电路是由1V电压源激励的一阶电路，可以用三要素法计算。当t电路达到直流稳态时，电容相当开路，输出电压的稳态值为,用三要素公式得到输出电压的表达式为,由上可见，输出电压的稳态分量由两个电阻的比值确定，其暂态分量还与两个电容的比值有关。我们改变电容C1可以得到三种情况： 当R1C1=R2C2时，暂态分量为零，输出电压马上达到稳态值，这种情况称为完全补偿； 当R1C1R2C2时，暂态分量不为零，输出电压要经过一段时间才达到稳态值，前者称为欠补偿，后者称为过补偿。,7.8 一阶电路的子区间分析,解： (一) 当 T 时,例：已知 uC(0) 和uS(t),求 uC(t) , t 0,(二) 当 T 或 T 时,本 章 小 结,1 掌握以下概念：,零输入响应、零状态响应、全响应、 暂态、稳态、换路、过渡过程,2 全响应求解方法：,1）全解 = 通解 + 特解,2）全响应 =零输入响应 + 零状态响应,3）熟练掌握一阶电路的三要素法。,3 会分析计算一阶电路的阶跃响应。,