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1、数学建模（一）,学院：物理与光电信息科技学院 学号：20100810 专业：通信与信息系统 姓名：戴彩艳,数学建模的起源,首先做个游戏 一笔画出如图1的图形来， 规则：笔不离开纸面，每根线都只能画一次。 你能画出来吗？ 如果你画出来了，那么请再看看图2能不能一笔画出来？,图2,图1,哥尼斯堡七桥问题的提出,关于这样一个游戏，要追溯到二百年前的一个著名问题：哥尼斯堡七桥问题。濒临蓝色的波罗的海，有一座古老而美丽的城市，叫做哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）。 布勒格尔河的两条支流在这里汇合，然后横贯全城，流入大海。河心有一个小岛。河水把城市分成了块，于是，人们建造了座各具特色的桥，把哥尼斯堡连成一体
2、，如图3所示。由于岛上有古老的哥尼斯堡大学，有教堂，还有哲学家康德的墓地和塑像，因此城中的居民，尤其是大学生们经常沿河过桥散步。渐渐地，爱动脑筋的人们提出一个问题：一个散步者能否一次走遍7座桥，而且每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点？,图3,A,D,B,C,图4,哥尼斯堡七桥问题的解决,这个问题似乎不难，谁都乐意用它来测试一下自己的智力。 可是，谁也没有找到一条这样的路线。连以博学著称的大学教 授们，也感到一筹莫展。“七桥问题”难住了哥尼斯堡的所有居 民。哥尼斯堡也因“七桥问题”而出了名。 哥尼斯堡七桥问题传开后，引起了大数学家欧拉的兴趣。 欧拉没有去过哥尼斯堡，这一次，他也没有去亲自测试
3、可能的 路线。他知道，如果沿着所有可能的路线都走一次的话，一共要走5040次。就算是一天走一次，也需要13年多的时间，实际上欧拉只用了几天的时间就解决了七桥问题，得出了不可能不重复的走完这七座桥的结论。他是怎么样得出这样的结论的呢？ 第一步，欧拉把七桥问题抽象成一个合适的“数学模型”。他想：两岸的陆地与河中的小岛，都是桥梁的连接点，它们的大小。形状均与问题本身无关。因此，不妨把它们看作是4个点。7座桥是7条必须经过的路线，它们的长短、曲直，也与问题本身无关。因此，不妨任意画7条线来表示它们。 就这样，欧拉将七桥问题抽象成了一个如图4的“一笔画”问题。怎样不重复地通过7座桥，变成了怎样不重复地画
4、出一个几何图形的问题。,欧拉,哥尼斯堡七桥问题的解决,欧拉注意到，如果一个图能一笔画成，那么一定有一个起点开始画，也有一个终点。图上其它的点是“过路点”-画的时候要经过它。现在看“过路点”具有什么性质。它应该是“有进有出”的点，有一条边进这点，那么就要有一条边出这点，不可能是有进无出，如果有进无出，它就是终点，也不可能有出无进，如果有出无进，它就是起点。因此，在“过路点”进出的总边数应该是偶数，即“过路点”是偶点。如果起点和终点是同一点，那么它也是属于“有进有出”的点，因此必须是偶点，这样图上全体点都是偶点。如果起点和终点不是同一点，那么它们必须是奇点，因此这个图最多只能有二个奇点。也就是说，
5、能一笔画成的图只有两类：一类是所有的点都是偶点，另一类是只有二个奇点。 现在对照图4，所有的顶点都是奇点，共有四个，所以这个图肯定不能一笔画成。,偶数边偶点 奇数边奇点,数学建模的一般涵义,数学建模根据需要针对实际问题构建数学模型的过程，亦即， 通过抽象和简化，使用数学语言对实际现象和实际问题进行近似刻画， 以便于更深刻地认识所研究的对象。 数学模型不是对现实系统的简单的复制和模拟，而是经过对现实现象进行分析、提炼、归纳、升华的结果，是以数学语言来正确地描绘现实对象的基本内在特征，从而通过数学上的演绎推理和分析，运用解析、实验（保持相似律成立）或数值求解。 整个建模过程要注意高瞻远瞩、抓大放小
6、，把握问题的内在本质。当研究问题有了正确的数学描述后，寻找适当的数学工具分析求解。关于求解方法的改进方面，要尽可能使所用的方法精确化、细致化和全面化。必须结合实例，就建模的正确性、有效性、可用性和适用范围进行准确的界定；对所产生的误差和不确定性进行实事求是的分析；对所得的结果，必须从物理学视角和实际应用角度进行解读。,数学建模的一般过程,首先，基于一系列基本的简化假设，把实际问题中的数学描绘明确地表述出来，也就是说，通过对实际问题的分析、归纳、简化，给出用以描述该问题的数学提法；然后采用数学的理论和方法进行求解，得出结论；最后再返回去阐释所研究的实际问题，总结一般规律 ，在数学理论和所要解决的
7、实际问题之间构建一座桥梁。 数学建模的步骤如下： 1. 通过调研，掌握实际问题的背景材料：明确研究对象（如物理问题、工程问题）和研究目的，了解相关的数据资料和基本事实（包括已有理论结果、观察结果、观测数据、实验资料等），提出清晰的基本目标，并在实际研究过程中随时准备不断修正预期目标；,数学建模的一般过程,2. 辨识并列出与问题有关的各主要因素： 建立基本假设，简化所研究的问题。明确模型中必须考虑的主要因素，预测、分析它们在问题中的作用，以变量或参数的形式表示这些因素。建模之初通常应最大限度地简化问题，建立最简单的模型，然后不断调整假设，提出修正，使得模型尽可能接近实际；,数学建模的一般过程,3
8、. 运用物理和数学知识和技巧建立问题中变量之间的关系： 通常可以用离散的或连续的数学表达式来描述，例如，比例关系（如：牛顿粘性定律）、线性关系（如：广义牛顿粘性定律、胡克定律等）、非线性关系（如：非牛顿流体的本构关系、物理非线性材料的本构方程）、经验关系（如：反映非光滑管的阻力系数的尼古拉捷规律、水动力学摩阻的Manning公式等）、输入输出原理（如：元胞自动机模型的演进规则）、平衡原理（如：热动平衡规律、捕食者和猎物之间的关系等）、守恒原理（如：能量守恒、质量守恒、动量守恒、KdV守恒律等）、牛顿运动定律、微分方程或差分方程、矩阵关系、概率关系、统计分布等等（变量之间的关系不一定非要用方程来
9、描述，只要能解决问题，可用各种方法确定问题的物理量之间的关系，例如离散映射关系），从而建立问题的数学模型。常见的表述各物理量之间的关系的有：代数方程，映射关系，差分方程，常微分方程，偏微分方程，积分方程，积分-微分方程等等；,数学建模的一般过程,4.进行参数辨识或参数标定 使用观测数据或问题的相关背景知识，辨识出问题中的参数的估计值；设计专门实验，标定参数。参数识辨和标定经常采用实测方法和数理统计方法。由于问题的参数识辨较为困难，所以成功的模型应该是简单的，所涉及参数尽可能地少且容易识辨； 5.运用所得的模型，进行分析求解 采用各种有效的数学工具求解所得到的数学方程等，然后，分析、解释模型的结
10、果或把模型运行的结果与实际观测进行比较，开展进一步的案例分析，验证模型的正确性； 6.总结一般规律 对验证成立的数学模型进行总结归纳，尽可能上升到新的理论高度,数学模型的分类,按数学表述的形式分：连续模型；离散模型； 按表述的确定性分：确定性模型；非确定性模型（随机模型）;混合模型； 按问题的求解步骤分：正问题模型；反问题模型； 按数学物理工具分：基于量纲分析的轮廓模型； 基于数据拟合的经验模型； 基于守恒原理的方程模型； 基于平衡原理的机理模型； 基于运筹优化的规划模型； 基于网络分析的图论模型； 基于复杂性研究的层次分析模型等等,数学建模的软件工具,一般来说学习数学建模，常用的软件有四种，
11、分别是：matlab、lingo、Mathematica和SAS下面简单介绍一下这四种。 1.MATLAB的概况 MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）之意。除具备卓越的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学,工程中常用的形式十分相似,故用MATLAB来解算问题要比用C,FORTRAN等语言完相同的事情简捷得多。 当前流行的MATLAB 5.3/Simulink 3.0包括拥有数百个内部函数的主包和三十几种工具包(Toolbox).工具包又可以分为功能性工具包和学科工
12、具包.功能工具包用来扩充MATLAB的符号计算,可视化建模仿真,文字处理及实时控制等功能.学科工具包是专业性比较强的工具包,控制工具包,信号处理工具包,通信工具包等都属于此类。开放性使MATLAB广受用户欢迎.除内部函数外,所有MATLAB主包文件和各种工具包都是可读可修改的文件,用户通过对源程序的修改或加入自己编写程序构造新的专用工具包。,数学建模的软件工具,2.Mathematica的概况 Wolfram Research 是高科技计算机运算( Technical computing )的先趋，由复杂理论的发明者 Stephen Wolfram 成立于1987年，在1988年推出高科技计算
13、机运算软件Mathematica，是一个足以媲美诺贝尔奖的天才产品。Mathematica 是一套整合数字以及符号运算的数学工具软件，提供了全球超过百万的研究人员，工程师，物理学家，分析师以及其它技术专业人员容易使用的顶级科学运算环境。目前已在学术界、电机、机械、化学、土木、信息工程、财务金融、医学、物理、统计、教育出版、OEM 等领域广泛使用。 Mathematica 的特色 A.具有高阶的演算方法和丰富的数学函数库和庞大的数学知识库，让 Mathematica 在线性代数方面的数值运算，例如特征向量、 反矩阵等，皆比Matlab R13做得更快更好，提供业界最精确的数值运算结果。Mathe
14、matica不但可以做数值计算，还提供最优秀的可设计的符号运算。,数学建模的软件工具,B.丰富的数学函数库，可以快速的解答微积分、线性代数、微分方程、复变函数、数值分析、机率统计等等问题。 C.Mathematica可以绘制各专业领域专业函数图形，提供丰富的图形表示方法，结果呈现可视化。 4.Mathematica可编排专业的科学论文期刊，让运算与排版在同一环境下完成，提供高品质可编辑的排版公式与表格，屏幕与打印的 自动最佳化排版，组织由初始概念到最后报告的计划，并且对 txt、html、pdf 等格式的输出提供了最好的兼容性。 D.可与 C、C+ 、Fortran、Perl、Visual B
15、asic、以及 Java 结合，提供强大高级语言接口功能，使得程序开发更方便。 Mathematica本身就是一个方便学习的程序语言。 Mathematica提供互动且丰富的帮助功能，让使用者现学现卖。强大的功能，简单的操作，非常容易学习特点，可以最有效的缩短研发时间。,数学建模的软件工具,3.lingo的概况 LINGO则用于求解非线性规划（NLPNONLINEAR PROGRAMMING）和二次规则（QPQUARATIC PROGRAMING）其中LINGO 6.0学生版最多可版最多达300个变量和150个约束的规则问题，其标准版的求解能力亦再104量级以上。虽然LINDO和 LINGO不
16、能直接求解目标规划问题,但用序贯式算法可分解成一个个LINDO和LINGO能解决的规划问题。 Lingo的特色：模型建立语言和求解引擎的整合 A. Lingo是建立和求解线性、非线性和整数最佳化模型更快更简单更有效率的综合工具。提供强大的语言和快速的求解引擎来阐述和求解最佳化模型。 B. Lingo可以将线性、非线性和整数问题迅速得予以公式表示，并且容易阅读、了解和修改。 C. LINGO建立的模型可以直接从数据库或工作表获取资料。同样地， LINGO可以将求解结果直接输出到数据库或工作表。 D. LINGO内建的求解引擎有线性、非线性(convex and nonconvex)、二次、二次限制和整数最佳化。 E.LINGO提供完全互动的环境供您建立、求解和分析模型。LINGO也提供DLL和OLE界面可供使用者由撰写的程序中呼叫。 F.LINGO提供的所有工具和文件可使你迅速入门和上手。LINGO使用者手册有详细的功能定义。,The end Thank you!,