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1、数学建模讲义,建模概论与初等模型,风洞中的飞机,物理模型,地图、电路图,符号模型,模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行 简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。,模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征.,我们常见 的模型,什么是数学模型,一、数学建模概论,玩具、照片,实物模型,数学模型 (Mathematical Model) 数学建模（Mathematical Modeling),数学建模指建立数学模型的全过程。 包括模型建立、求解、分析、检验。,数学模型对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。,数学建模是利用数学方
2、法解决实际问题的一种实践过程. 即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后, 将实际问题用数学方式表达，以建立起数学模型, 然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解.,观点：“所谓高科技就是一种数学技术”,数量关系,1. 解释孟德尔遗传定律的“3:1”,数学建模三大功能解释, 判断, 预见,美国原子能委员会提出如下处理浓缩放射性废物：封装入密封性很好的坚固的圆桶中，沉入300ft的海里，而一些工程师提出质疑？需要判断方案的合理性。,2.判断放射性废物处理,3.预见谷神星的发现,行星的轨道半径,水、金、地、火、木、土,1781年, 利用这个结果发现了天王星, 1802年，发现了谷神星与3对应
3、(有故事)，之后还发现了海王星、冥王星。,你碰到过的数学模型航行问题,用x表示船速，y表示水速，列出方程：,求解得到 x=20, y=5,答：船速每小时20公里.,甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少？,航行问题建立数学模型的基本步骤,作出简化假设(船速、水速为常数, 方向一致);,用符号表示有关量(x, y表示船速和水速)；,用物理定律(匀速运动的距离等于速度乘以 时间)列出数学式子(二元一次方程)；,求解得到数学解答（x=20, y=5）；,回答原问题（船速每小时20公里）。,录象机计数器的用途,问 题,经试验，一盘录像带从头走
4、到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152。在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？,要求,不仅仅回答问题, 而且建立计数器读数与录像带转过时间的关系一个数学模型!,思考,本题中计数器读数是均匀增长的吗？,日常问题：常见的录音机的转轴转动是匀速的吗?,问 题 分 析,录象机计数器的工作原理,录象带运动,观察或分析:,计数器读数增长越来越慢！,模 型 假 设,录象带的运动速度是常数 v ；,计数器读数 n与右轮转数 m成正比，记 m=kn；,录象带厚度(含夹在两圈间的空隙)为常数 w；,空右轮盘半径记作 r ；,时间 t=0
5、时读数 n=0 .,建 模 目 的,建立时间t与读数n之间的关系,(设v，k ，w ，r 为已知参数),模 型 建 立,建立t与n的函数关系有多种方法:,1. 右轮盘转过第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 等于录象带在时间t内移动的长度vt, 所以,模 型 建 立,2. 考察右轮盘面积的变化,等于录象带厚度乘以转过的长度,即,3. 考察t到t+dt录象带在右轮盘缠绕的长度,有,思 考,1. 3种建模方法得到同一结果,2.模型中有待定参数,确定参数的一种办法是测量或调查，试设计测量方法参数估计.,参 数 估 计,将模型改记作,只需估计,理论上，已知t=183.5, n=6152, 再有一
6、组(t, n)数据即可；,实际上, 由于测试有误差, 最好用足够多的数据作拟合。,若现有一批测试数据：,用最小二乘法可得,模 型 检 验,应该另外测试一批数据检验模型：,模 型 应 用,回答提出的问题：由模型算得 n = 4580 时 t = 118.5分, 剩下的录象带能录 183.5-118.5 = 65分钟的节目，可以录制60分钟的节目。,2. 揭示了“t 与 n 之间呈二次函数关系”这一普遍规 律，当录象带的状态改变时，只需重新估计 a, b 即可。,基本方法,机理分析,测试分析,根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律。,将研究对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，
7、找出与数据拟合最好的模型,二者结合,机理分析建立模型结构,测试分析确定模型参数,数学建模的方法和步骤,机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(Case Studies)来学习.以下建模主要指机理分析.,数 学 建 模 的 一 般 步 骤,数学模型的分类： 按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型等。 按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等。,为了便于学习掌握，可对数学模型做适当的分类：,数 学 建 模 的 重 要 意 义,电
8、子计算机的出现及飞速发展,数学以空前的广度和深度向一切领域渗透,数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。,数学建模,计算机技术,知识经济,四、近几年全国大学生数学建模竞赛题,怎 样 学 习 数 学 建 模,数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术!,技术大致有章可循,艺术无法归纳成普遍适用的准则,想象力,洞察力,判断力,学习、分析、评价、改进别人作过的模型,亲自动手，认真作几个实际题目,创新意识,数学建模的论文结构,1、摘要问题、模型、方法、结果,2、问题重述,4、分析与建立模型,5、模型求解,6、模型检验,7、模型推广,8、参考文献,9、附录,3、模型假设,谢
9、谢 ！,例1 哥尼斯堡七桥问题 符号表示“一笔画问题”(抽象分析法) 游戏问题图论(创始人欧拉) 完美的回答连通图中至多两结点的度数为奇数，则该图可一笔画.,二、初等模型,(1111),(1110),(1010),(1011),(1101),(0000),(0001),(0101),(0100),(0010),例2 人狗鸡米过河问题,模型表示：建立(人,狗,鸡,米)的4维0/1向量;,是一个简单的游戏，但可以建立经典计算机编程求解。,如:(1,0,1,0)表示狗、米已过河, 人、鸡没有等;,可取状态：24610种,可取过河方式：4种(1100) (1010) (1001) (1000),运算方
10、式：按位异或运算(xor),例：一次运算过程,(0011) (0101) (0110) (0111),XOXX,图论解法：,示例3 椅子能在不平的地面上放稳吗?,模型假设,模型构成,椅脚连线为正方形ABCD(如右图). t 椅子绕中心点O旋转角度,f(t)A,C两脚与地面距离之和 g(t)B,D两脚与地面距离之和,f(t), g(t) 0,1. 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈正方形; 2. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断(没有像台阶那样的情况)，即地面可视为数学上的连续曲面; 3. 对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子的任何位置
11、至少有三只脚同时着地。,模型构成,由假设1，f和g都是连续函数,由假设3，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地：对任意t ，f(t)和g(t)中至少有一个为0。当t=0时,不妨设g(t)=0, f(t)0, 原题归结为证明如下的数学命题：,已知f(t)和g(t)是t的连续函数,对任意t, f(t) g(t)=0,且g(0)=0,f(0)0。则存在t0，使f(t0)= g(t0)=0,模型求解,最后，因为f(t) g(t)=0，所以f(t0)= g(t0)=0。,令h(t)= f(t)-g(t),则h(0)0和h( ) 0，由f和g的连续性知h也是连续函数。根据连续函数的基本性质,必存在t0 （0
12、t0 ),使h(t0 )=0，即f(t0)= g(t0)。,将椅子旋转90,对角线AC与BD互换. 由g(0)=0,f(0)0可知g( )0,f( )=0,方法总结,1) 一个变量t表示位置； 引入距离函数(只设两个)； 证明技巧转动90度。,模型推广,1) 若对象是4条腿同长的长方形桌子，结果怎样？,2) 某甲早8时从山下旅店出发沿一路径上山，下午5时到达山顶并留宿。次日早8时沿同一路径下山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点，为什么？ (数学解法、巧妙的形象解法),建模示例4 商人们怎样安全过河,问题(智力游戏),随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人
13、数比商人多, 就杀人越货.,但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?,问题分析,多步决策过程,决策 每一步(A到B或B到A)船上的人员,要求在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河!,模型构成,xk第k次渡河前A岸的商人数,yk第k次渡河前A岸的随从数,xk, yk=0,1,2,3; k=1,2,sk=(xk , yk)过程的状态,S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,S 允许状态集合,uk第k次渡船上的商人数,vk第k次渡船上的随从数,dk=(uk , vk)决策,D=(u , v) u+v=
14、1, 2 允许决策集合,uk, vk=0,1,2; k=1,2,sk+1=sk+(-1)k dk,状态转移律,求dkD(k=1,2, n), 使skS按转移律由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).,多步决策问题,模型求解,穷举法 编程上机,图解法,状态s=(x,y) 16个格点,允许决策D 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.,s1,sn+1,d1, d11给出安全渡河方案,评注和思考,规格化方法, 易于推广,考虑4名商人各带一随从的情况,允许状态S,S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,D=(u , v) u+v=
15、1, 2,建模示例5 报童的诀窍！,问题: 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b，零售价为a，退回价为c。请为该报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大收入？,假设和分析:,1. 设abc, 且一般地a-bb-c;,2. 需求量是随机的，但是有规律, 可以通过市场调查和经验统计其规律，比如在其销售范围内每天报纸需求量为r的概率是f(r) (r=0, 1, 2, )一个概率分布;,3. 若设其购进n份报纸，每天报童的销售净收益是随机的! 于是讨论其平均净收益G(n)(期望收益), 如下,平均净收益G(n)(期望收益)：,问题转化为：,模
16、型建立一个离散概率模型：最大化期望收益,模型求解,求导等技巧直接不能用！,数学模型, 姜启源编P273：将离散量r看成连续量，这时上面的求和可改为积分，进一步就可以求导(利用变限积分函数求导法则)，寻找其极值点！,下面给出另一种不同的方法！,分析G(n)的改变量G(n)=G(n)- G(n-1)：,相当于求G(n)的稳定点！,相当于球G(n)的稳定点！,结论：最优决策n满足使需求量不超过n的概率和需求量超过n的概率之比接近(a-b)/(b-c)！或需求量不超过n的概率为(a-b)/(a-c)赚赔比,相识问题 设有n个人参加一个宴会，已知没有人认识所有的人，问是否有两个人，他们认识的人一样多？,
17、简例,棋子颜色的变化问题 任意取黑白两种颜色的棋子8个，排成一个圆圈，然后在两颗同色棋子间放一个白棋子，异色棋子间放一个黑棋子，拿去原来的棋子。多次重复该过程后，棋子颜色会如何变化？ (数目不是8而是任意自然数n时如何?),找关键量,1、某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6时抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家。一日他提前下班搭早一班火车于5:30抵T市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前来，在路上遇到他接回家时，发现比往常提前了10分钟，问他步行了多长时间？,假如相遇时车还是象往常一样前行会和往常一样回家！-推出相遇时间！,找关键量,2、两兄妹分别在离家2千米和1千米且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4千米/小时和2千米/小时的速度步行回家，一小狗以6千米/小时的速度从哥哥处奔向妹妹，又从妹妹处奔向哥哥，如此往返直至回家中，问小狗奔波了多少路程？,如果兄妹上学时小狗也奔波在他们之间，问当他们到达学校时小狗在何处？,