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1、第二章 分离变量法,2.0 预备知识常微分方程,二阶常系数线性方程的标准形式,2.0 预备知识常微分方程,特征根,(1) 有两个不相等的实根,两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,齐次方程,特征方程,2.0 预备知识常微分方程,(2) 有两个相等的实根,齐次方程的通解为,特解为,(3) 有一对共轭复根,齐次方程的通解为,特征根为,特解为,2.0 预备知识常微分方程,2.0 预备知识常微分方程,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,二阶常系数非齐次线性方程,2.0 预备知识常微分方程,2.1 有界弦的自由振动,分离变量法是求解偏微分方程最基本和常用的方法。 理论依据：线性方程的叠加
2、原理和Sturm-Liouville 理论。 基本思想：将偏微分方程的求解化为对常微分方程的求解,2. 1 有界弦的自由振动,2.1 有界弦的自由振动,研究两端固定均匀的自由振动.,定解问题为：,特点: 方程齐次, 边界齐次.,(1) 没有波形的传播，即各点振动相位与位置无关，按同一方式随时间振动，可统一表示为 ;,(2) 各点振幅 随点 而异，而与时间无关，用 X(x) 表示,所以驻波可用 表示。,驻波的特点：,端点会引起波的反射，弦有限长，波在两端点之间往返反射。两列反向行进的同频率的波形成驻波。,2.1 有界弦的自由振动,2. 1 有界弦的自由振动,设 且 不恒为零，代入方程和边界条件中
3、得,由 不恒为零，有：,取参数, ,利用边界条件,2.1 有界弦的自由振动,则,特征值问题,分三种情形讨论特征值问题的求解,函数X(x)称为特征函数,2.1 有界弦的自由振动,2. 1 有界弦的自由振动,由边值条件,(i) 方程通解为,(ii) 时，通解,由边值条件得,C1 =C 2=0 从而 ， 无意义.,无意义,2.1 有界弦的自由振动,由边值条件,从而,即,(iii） 时，通解,故,而,得,2.1 有界弦的自由振动,再求解T：,其解为,所以,叠加,.,2. 1 有界弦的自由振动,将 展开为Fourier级数，比较系数得,代入初始条件得：,定解问题的解是Fourier正弦级数，这是在 x0
4、 和 x=l 处的第一类齐次边界条件决定的。,关于二阶常微分方程 特征值问题（施特姆-刘维尔问题），存在如下结论：,1.所有特征值均不为负 2.不同特征值所对应的特征函数正交，在区间上构成完备系。 3.任意一个具有连续一阶导数及分段连续二阶导数的函数且满足特征值问题的边界条件，则可以按照特征函数系展开,利用特征函数的正交性,在等式两边同乘,并在区间上取积分，利用特征函数的正交性,可求系数,（特征值问题）,齐次边 界条件,（特征函数）,分离变量法图解,2.1 有界弦的自由振动,则无穷级数解,为如下混合问题的解,2.1 有界弦的自由振动,弦上各点的频率 和初位相 都相同，因而没有 波形的传播现象。
5、,弦上各点振幅 因点而异,在 处，振幅永远为0,二、解的物理意义,特点,最大振幅,频率,初位相,u(x,t )是由无穷多个振幅、频率、初位相各不相同的驻波叠加而成。,n1的驻波称为基波,n1的驻波叫做n次谐波.,2.1 有界弦的自由振动,例1 设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦做微小横向振动时的位移，其中 与弦的材料和张力有关 .,解 设位移函数为 ，则需要求解下列定解问题,2.1 有界弦的自由振动,因此，所求的解为：,=,2.1 有界弦的自由振动,解：令 , 得,化简:,例2：研究两端自由棒的自由纵振动问题.,第二类边界条件,引入参数 得,2.1 有界弦的自由振
6、动,2.1 有界弦的自由振动,得C1 =C 2=0 从而 ，无意义,分离变量：,时，,由边值条件,(ii) 时, ,(iii) 时,则 而,由边值条件,由边值条件,从而,2.1 有界弦的自由振动,本征值,本征函数,2.1 有界弦的自由振动,T 的方程,其解为,所以,故,代入初始条件:,将 展开为傅立叶余弦级数，比较系数得,2.1 有界弦的自由振动,与1 1类边界条件的定界问题区别在于特征值不同,2 2类边界条件,特征值,特征函数,利用特征函数的正交性求系数,一维振动方程对应的特征值问题，特征值，特征函数系,分离变量法求得的级数解的物理意义：,两端固定的有界弦自由振动,振动波，角频率为 初相位为
7、,振幅， 依赖于空间位置x,振动波：弦上各点以同一角频率作简谐振动，位相相同，振幅依赖于点x的位置,振幅为0,振幅达到最大,振动波 的节点，波节 个,振动波 的腹点，波腹 个,：弦的振动，就像是由互不连接的几段组成，每段的端点，恰好就固定在各个节点上，永远保持不动。含有节点的振动波称为驻波。,由一系列频率不同，位相不同，振幅不同的驻波叠加而成。频率 由特征值确定，与初始条件无关，也称为固有频率。振幅的大小和相位的差异由初始条件决定。,分离变量法求得的级数解,由固有频率可得到形成驻波的条件（对弦长的要求）,为谐频，相应的波为谐波,2章作业 2、6、8、9、13,2. 2 有限长杆的热传导问题,例
8、1细杆的热传导问题,长为 l 的细杆，设与细杆线垂直截面上各点的温度相等，侧面绝热, x=0 端温度为0，x=l 端热量自由散发到周围介质中，介质温度恒为0 ，初始温度为 求此杆的温度分布。,解：定解问题为,2.2 有限长杆的热传导问题,得本征问题,2.2 有限长杆的热传导问题,当 或 时,当 时,由 得,由 得 故,即,令,有,函数方程,2.2 有限长杆的热传导问题,由图1看出，函数方程有成对的无穷多个实根,故本征值为：,2.2 有限长杆的热传导问题,2.2 有限长杆的热传导问题,对应的本征函数,的方程：,解为,故,由初始条件得,可以证明,函数系 在 上正交，,且模值,（二）利用边界条件,得
9、到特征值问题并求解,（三）将特征值代入另一常微分方程， 得到,（四）将 叠加，利用初始条件确定系数,（一）将偏微分方程化为常微分方程,（方程齐次）,分离变量法解题步骤,（边界条件齐次）,2.2 有限长杆的热传导问题,分离变量法适用范围：偏微分方程是线性齐次的，并且边界条件也是齐次的。 其求解的关键步骤：确定特征函数和运用叠加原理。,注,2.2 有限长杆的热传导问题,总结：端点边界条件与特征值，特征函数的关系,2.2 有限长杆的热传导问题,练习： 求下列定解问题的解,其中,2.2 有限长杆的热传导问题,2.3 二维拉普拉斯方程 的边值问题,2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题,1. 矩形域上拉普拉
10、斯方程的边值问题,例1矩形薄板稳恒状态下温度分布.设薄板上下底面绝热，一组对边绝热，另一组对边的温度分别为零摄氏度和 ，求稳恒状态下薄板的温度分布。,定解问题为：,解,再利用 x = 0 和 x = a 处的齐次边界条件得,故,当 时， ，,2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题,2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题,当 时，,将 代入 有解：,考虑边界条件（y方向上），有,解得,比较系数,所以解为,作为例子取 ， ， 可求得,于是,2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题,考察一个半径为r0的圆形薄板稳恒状态下的温度分布问题, 设板的上下两面绝热, 圆周边界上的温度已知为,求稳恒状态下的温度分布规律。,
11、2. 圆域上的拉普拉斯方程的边值问题,2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题,采用平面极坐标。,令,2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题,分离变量,代入方程得,齐次偏微分方程化为两个常微分方程:,（一）将偏微分方程化为常微分方程,由 可知，,又圆内各点的温度有界，因而,2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题,（二）利用条件,确定特征值问题并求解,得到两个常微分方程的定解问题,(1),(2),2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题,先求哪一个？,先求(1)啊!,可以确定特征值啊!,为什么？,1) 时，无非零解；,特征值,特征函数,以 为周期, 必须是整数 ,2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题,（三）将特征值代
12、入另一常微分方程，得,得到方程通解,满足有界性条件的通解,2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题,2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题,（四）将 叠加, 利用边界条件确定系数,满足周期性和有界性条件的通解为:,利用边界条件，得,由此可以确定系数,2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题,注: 经过化简, 方程的解可以表示为,称为圆域内的泊松公式.,2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题,2.4 非齐次方程的解法,2.4 非齐次方程的解法,(I),非齐次振动方程定解问题,特征函数法,令,其中, (1), (2),2.4 非齐次方程的解法,令,为待定函数.,并将 按特征函数系展为级数,其中, (3), (4),
13、(1),2.4 非齐次方程的解法,将(3),(4) 代入 (1) 得,两端比较,将(3)代入初始条件,2.4 非齐次方程的解法,常数变易法,所以,2.4 非齐次方程的解法,例 在环形区域 内求解下列定解问题,解 考虑极坐标变换:,2.4 非齐次方程的解法,定解问题可以转化为:,相应的齐次问题的特征函数系为:,2.4 非齐次方程的解法,于是可以设原问题的解为:,代入方程，整理得,2.4 非齐次方程的解法,比较两端 和 的系数可得,2.4 非齐次方程的解法,由边界条件，得,所以,2.4 非齐次方程的解法,由边界条件，可知,满足的方程是齐次欧拉方程，其通解的形式为,2.4 非齐次方程的解法,下面求
14、.,方程的通解为,由端点的条件， 得,原问题的解为,2.4 非齐次方程的解法,2.5 非齐次边界条件的处理,2.5 非齐次边界条件的处理,处理非齐次边界条件问题的基本原则是: 选取一个辅助函数 , 通过函数之间的代换: 使得对新的未知函数 边界条件为齐次的.,例1振动问题,（I）,解：,取,故,2.5 非齐次边界条件的处理,代入(I),得 的定解问题(II),令,2.5 非齐次边界条件的处理,如果仍取 的线性函数作为 ，则有,此时除非 ，否则这两式互相矛盾。,当x0和x=l 满足第二类边界条件,应取,2.5 非齐次边界条件的处理,例 定解问题,其中A, B为常数.,解:令,2.5 非齐次边界条
15、件的处理,代入方程，得,选 满足,它的解为,2.5 非齐次边界条件的处理,于是 满足的方程为：,2.5 非齐次边界条件的处理,利用分离变量法，求解得,其中,从而，原定解问题的解为,2.5 非齐次边界条件的处理,一. 选择适当的坐标系. 原则:边界条件的表达式最简单. 二. 若边界条件是非齐次的, 引进辅助函数把边界条件化为齐次的。 三. 对于齐次边界条件、非齐次方程的定解问题，可将问题分解为两个, 其 一是方程齐次, 并具有原定解条件的定解问题 (分离变量法)； 其二是具有齐次定解条件的非齐次方程的定解问题(特征函数法).,一般的定解问题的解法,2.5 非齐次边界条件的处理,例 求下列定解问题
16、的解,其中 为常数。,解 1）边界条件齐次化，令,2.5 非齐次边界条件的处理,于是 满足如下定解问题,2）将问题分解为两个定解问题。设,2.5 非齐次边界条件的处理,2.5 非齐次边界条件的处理,3）求解问题 (I), (II) 。,首先，利用分离变量法求解问题 (I) 。,特征值及相应的特征函数,2.5 非齐次边界条件的处理,则,利用初始条件确定系数,计算可得,2.5 非齐次边界条件的处理,其次，利用特征函数法求解问题 (II),将 按问题（I）的特征函数系进行傅立叶展开,代入问题（II）的方程及初始条件，得,2.5 非齐次边界条件的处理,问题转化为求解下列常微分方程的初值问题,解得,所以,2.5 非齐次边界条件的处理,4）综合上述结果, 得到原问题的解,2.5 非齐次边界条件的处理,对于二维拉普拉斯方程的边值问题而言, 应根据求解区域的形状适当的选取坐标系, 使得在此坐标系下边界条件的表达方式最简单, 便于求解. 例如, 对于圆域、圆环可以采用极坐标。应当指出,只有当求解区域非常规范时，才可以应用分离变量法求解拉普拉斯方程的定解问题，或利用特征函数法求解泊松方程的定解问题.,注： 圆域内的周期性条件及有界性条件在题目中是不给出的，这些条件需根据对题目的分析自己写出.,2.5 非齐次边界条件的处理,