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1、第八单元 平面解析几何,第一节 直线与方程,基础梳理,1. 直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴_与直线l_方向之间所成的角a叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为_ 倾斜角的范围为_ (2)直线的斜率 定义 一条直线的倾斜角a的_叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k=_，倾斜角是90的直线斜率不存在,过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1 x2)的直线的斜率公式为k=_. 2. 直线方程的五种形式,3. 几种特殊直线的方程 (1)过点P(a，b)垂直于x轴的直
2、线方程为_；过P(a，b)垂直于y轴的直线方程为_ (2)已知直线的纵截距为b，可设其方程为_ (3)已知直线的横截距为a，可设其方程为_ (4)过原点且斜率是k的直线方程为_,答案：1. (1)正方向 向上 0 0，180) (2)正切值 tan a ,2. y-y0=k(x-x0) y=kx+b Ax+By+C=0(A2+B2 0),3. (1)x=a y=b (2)y=kx+b (3)x=my+a (4)y=kx,基础达标,1. (教材改编题)经过A(-4，-3)，B(5，-1)两点的直线的倾斜角是( ) A. 锐角 B. 钝角 C. 直角 D. 零度角 2.(教材改编题)若直线ax+b
3、y+c=0经过第一、二、三象限，则有( ) A. ab0，bc0 B. ab0，bc0 D. ab0，bc0 3.(教材改编题)过点(2,4)且在坐标轴上的截距相等的直线共有( ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 4. 直线kx-y+1=3k，当k变动时，所有直线都通过定点_ 5. (教材改编题)过点A(1,1)和B(-1,5)的直线方程为_,答案：1. A 解析：k=tan a= 0，所以倾斜角为锐角，故选A. 2. D 解析：数形结合可知- 0，- 0，即ab0，bc0. 3. B 解析：截距为0时有一条，截距不为0时有一条 4. (3,1) 解析：将kx-y+1=3k变为
4、直线的点斜式方程为y-1=k(x-3)，知直线过定点(3,1) 5. 2x+y-3=0 解析： 过A、B两点的斜率为k= =-2，由点斜式写出直线方程化简得2x+y-3=0.,解：当m=0时，a=90，满足题意； 当m 0时，45a135， k1或k-1， 1或 -1，解得0m 或m0. 综上，m的取值范围是 .,经典例题,题型一 直线的倾斜角和斜率 【例1】 已知经过A(m,2)，B(-m,2m-1)的直线的倾斜角为a，且45a135，试求实数m的取值范围,变式1-1 直线xcos q+y-1=0(qR)的倾斜角的范围是 ( ),答案：D 解析： 设倾斜角为a，则k=tan a=-cos q
5、. qR，-1-cos q1，-1tan a1， a,解：方法一：由题意可知直线在坐标轴上的截距不能为零，设直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为12-a，直线方程 为 + =1，因为直线过点A(-3,4)， 所以 + =1， 整理得a2-5a-36=0，解得a=9或a=-4， 所以直线方程为 + =1或 + =1， 即x+3y-9=0或4x-y+16=0.,题型二 求直线的方程 【例2】 求经过点A(-3,4)，且在两坐标轴上的截距之和等于12的直线方程,方法二：因为直线在两坐标轴上都存在截距且不为零，故直线的斜率存在且不为零，故设直线方程为y-4=k(x+3)(k0) 当x=0时，y=
6、4+3k， 当y=0时，x=- -3， 所以3k+4- -3=12，即3k2-11k-4=0，解得k=4或k=- ，所以直线方程为y-4=4(x+3)或y-4=- (x+3)， 即4x-y+16=0或x+3y-9=0.,方法三：设直线方程为y=kx+b， 因为直线过点A(-3,4)， 所以3k-b+4=0， 又直线在两坐标轴上的截距之和为12， 所以b+ =12. 由解得k=4，b=16或k=- ，b=3， 所以直线方程为y=4x+16或y=- x+3， 即4x-y+16=0或x+3y-9=0.,变式2-1 求过点P(3,4)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程,解：当直线过原点
7、时，方程为y= x； 当直线不经过原点时，设方程为 + =1， 把P(3,4)代入得a=5, 方程为2x+y-10=0， 综上，所求方程为y= x或2x+y-10=0.,题型三 与直线方程有关的最值问题 【例3】 直线l过点M(2,1)，且分别与x、y轴正半轴交于A、B两点，O为原点求当AOB面积最小时，直线l的方程,解：方法一：设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k0)， 则有A 与B ， 所以S(k)= (1-2k) = (4+4)=4，当且仅当-4k= ，即k=- 时，等号成立 故直线l的方程为y-1=- (x-2)，即x+2y-4=0.,方法二：设过M(2,1)的直线为 + =1(a0，b0)，则 + =1. 由基本不等式得2 + =1，即ab8， SAOB=ab4，当且仅当 = = ，即a=4，b=2时，等号成立 故直线方程为 + =1，即x+2y-4=0.,变式3-1 过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，则|PA|PB|的值最小时直线l的方程是_,答案：x+y-3=0 解析：设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k0)，则A ，B(0,1-2k)，|PA|PB|= = 4，,