例测定恢复系数将一种材料制成小球另一种材料制成.ppt

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1、例：测定恢复系数：将一种材料制成小球，另一种材料制成平板，水平放置，使小球从高度 H 处自由落下。设小球反跳的高度为 h，求该材料的恢复系数。,解：小球在碰撞前后的速度分别为： v10 =( 2gH )1/2, v1 = -( 2gh )1/2 . 而平板在碰撞前后的速度 分别为：v20 = 0, v2 = 0 . 两种材料的恢复系数为： e = (v2 - v1 )/( v10 - v20 ) =( 2gh )1/2/( 2gH )1/2 = ( h/H )1/2,例4-1 设质量为 m1的粒子 1以速度 V1与原来静止的粒子 2发生对心的弹性碰撞，粒子2的质量为 m2，碰撞后粒子2的速度为

2、V2。又设粒子 1仍以速度 V1与原来静止的粒子 3发生对心的弹性碰撞，粒子 3的质量为 m3，碰撞后粒子 3的速度为V3。求粒子 1的质量 m1。,解：考虑粒子 1与粒子 2的碰撞 动量守恒: m1V1 + m2 V2 = m1V1 + m2 V2 弹性碰撞 e = 1： V1 - V2 = V2 - V1 由于 V2= 0，可得：V2= 2m1V1/(m1+ m2) 同理可得： V3= 2m1V1/(m1+ m3),V2= 2m1V1/(m1+ m2) V3= 2m1V1/(m1+ m3) 消去 V1，可得粒子 1的质量为： m1 = ( m3V3 - m2V2 )/(V2 - V3 )

3、中子的质量最初就是用这个例题所采用的方法测定的。 1932年英国物理学家查德威克发现：若用中子分别与氢原子 ( 原子量为 1 )的核及氮原子( 原子量为14 )的核碰撞，则氢原子的核获得的速度是氮原子的核获得的速度的7.5倍。由此查德威克求出中子的质量近似等于氢原子核(质子)的质量。,例4-2 求一均匀细棒相对于(a)垂直于棒且通过棒的一端的轴和(b)垂直于棒且通过棒中心的轴的转动惯量。,解：(a)设L为棒AB的长度，S为棒的截面，假定S非常小，dx小段的体积为dv=Sdx，由每一小段到Y轴的距离为 x，并令密度恒定，则得： IA = LO x2 Sdx =S LO x2 dx =L3S/ 3

4、 SL为棒的体积 SL为棒的质量 故： IA= mL2/ 3,(b)计算通过质心YC 轴的转动惯量(三种方法) 第一种：分段两段，每一段的质量为 m/2 ，长度为L/2，它们绕YC 轴的转动惯量为,第二种：与(a)中相同， 但积分范围是从 -L/2 到 + L/2 ，我们把这 个解留给学生去完成。 第三种： 利用平行轴定理 IA= IC + md2 = IC + m( L/2)2 ( d= L/2) 得： IC = IA - m( L/2)2 = mL2/3 - mL2/4 = mL2/12,例4-4 半径相同的球，圆柱的圆环，从高度h处开始沿一斜面无滑动滚动下来。试求每一物体在斜面底部的速度

5、。,解：质心定理： Mg sin - f = Ma （1） 质心转动定律： f R = IC =MK2 （2） 角量与线量关系： a = R （3） 式中K为回转半径。 （1）式 R： MgR sin - f R = MRa （4） （3）式代（2）式： f R = MK2 a / R （5）,MgR sin - f R = MRa （4） f R = MK2 a / R （5） （4）式 +（5）式 ： MgR sin = MRa + MK2 a / R = MRa ( 1 + K2/R2 ) 得： a = g sin /(1 + K2/R2 ) v2 = 2aS = 2gsin/(1+K2

6、/R2 ) h/sin = 2g h /(1+K2/R2 ), 例 一质量为M长度为L的均质细杆可 绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于铅垂 状态。现有一质量为m的橡皮泥以速度v 和 杆子发生完全非弹性碰撞并且和杆子粘在一 起。,试求： 1. 碰撞后系统的 角速度； 2. 碰撞后杆子能 上摆的最大角度。,碰撞过程角动量守恒,得：,上摆过程机械能守恒，得：,非保守内力作正功 ，机械能增加,由角动量守恒,例4-4 半径相同的球，圆柱的圆环，从高度h处开始沿一斜面无滑动滚动下来。试求每一物体在斜面底部的速度。,解：因为静摩擦力不作功， 所以总能量守恒。 起始B点： 总能量 E = Mgh 在斜面底部：

7、 E = MV2/ 2 + IC2/2 = MV 2/ 2 + MK2 V2/R2/2 = M (1 + K2 /R2 ) V2/2 式中V为质心平动速度，K为回转半径。,总能量守恒： M (1 + K2 /R2 ) V2/2 = Mgh,换句话说，球体向下滚得最快，其次是圆柱，最慢的是圆环。 重要结果：均匀物体沿着具有一定斜率的斜面无滑动滚下时，其速率与物体的质量和实际尺寸大小均无关，仅取决于物体的形状。,例4-5 物体沿X轴简谐振动，振幅为 0.12m，周期为 2s 。当t = 0时，位移为 0.06 m，且向X 轴正方向运动。求运动表达式，并求以 x = - 0.06m处回到平衡位置所需

8、的最少时间。,解：已知 A = 0.12 m，T = 2 s， = 2/T = ( rad/s ). (1) 初态 t = 0 时， x = 0.06， v 0， 初相 = /3 , 运动表达式为： x = 0.12 cos (-/3 ) (m),(2) 当 x = - 0.06 m时，物体在旋转矢量图中的位置可能在 B 或 B处，显然 B 处回到平衡位置 C 处所需时间为最少。 因为 OB 与 OC 夹角为 =/6，所以最少时间为： t = / = (/6) / = 1/6 秒,、,0,0,0,=,3,1,1,0,1,=,2,1,=,t,1,+,=,1,3,=,2,=,5,6,x,A,3,A

9、,2,x,x,A,A,2,1.0,0,t,t = 0时,x,=,A,2,v,t =1时,x,=,0,v,=,d,x,d,t,以及振动方程。,求：, 例 一谐振动的振动曲线如图所示。,x = A cos (,5,6,t,3,),本题,3,2,A,x,A,t =1,t = 0,2,+,3,2,=,T,1,T,=,12,5,的另一种求法：,b,0,b,x, 例 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m 的小球，弹簧伸长量为b 。用手将重物上托 使弹簧保持自然长度后放手。 求证：放手后小球作简谐振动，并写出 振动方程。,自然 长度,b,平衡 位置,0,x,x,任意位置时小球所受到的合外力为：,=,k,m,g,b

10、,=,0,0,x = b cos (,g,t + ),b,当,得,t,0,x,b,A,=,=,=,:,v,0,=,b,=,可见小球作谐振动。由,得：,mg - kb = 0,F = mg - k ( b + x ) = - kx,例4-7 在一轻弹簧下端悬挂 mo = 100 g 砝码时，弹簧伸长 8 cm，现在这根弹簧下端悬挂 m = 250 g 的物体，构成弹簧振子。将物体从平衡位置向下拉动 4 cm，并给以向上 21cm/s 的初速度（这时 t =0）。选 x 轴向下，求振动方程的表达式。,解：k =mog/ l = 0.1100.08 =12.5 N/m =(k/m)1/2 =(12.

11、5/0.25)1/2 =7 rad/s 初始条件：t = 0 , xo = 0.04 m, vo = - 0.21 m/s A = (xo2+vo2/2)1/2 = 0.05 m tg = - vo /xo = - (- 0.21)/(7 0.04) = 0.75 = 0.64 rad 振动方程: x = 0.05cos( 7t + 0.64 ) m,例4-6 单摆 Simple Pendulum：单摆的运动是简谐振动的一个典型的实例。单摆定义为质量为m的质点用一长为 l 而其质量可忽略的细绳悬挂在固定点O 的系统。,解：由于拉力 T v ， T 不作功，故质点在摆动过程中机械能守恒。 设在平

12、衡位置C点的势能为零，则质点在A点的机械能为： EM = mv2/2 + mgl (1-cos),因为= l d/dt 代入上式整理得： EM = ml 2(d/dt)2 /2 + mgl (1-cos) = 恒量 对上式两边对时间求导整理可得： d2/dt2 + g sin /l = 0 在一般情况下，单摆的摆动不正好是简谐振动。但是，如果摆动的角度 很小时， sin (在 10内)，这样上式可改为： d2/dt2 + g /l = 0 表明在小角度的范围内，单摆的角位移作简谐振动。 圆频率： 周期：,例4-8 复摆 Physical Pendulum：复摆是能够在重力作用下绕水平轴自由振荡

13、的任意刚体。ZZ水平轴，C为物体质心，质量为 mg。,解：转动定理 MZ = I MZ = - mgb sin = d2 /dt2 I d2 /dt2 = -mgb sin 假定振动是小振幅的， sin ，利用 I = mK2， 式中K为摆的回转半径，得： d2 /dt2 + gb /K2 = 0 表明在 小范围内，角运动是简谐振动 2 = gb/K2,2 = gb/K2 因此，振动的周期为,其中 l = K2/ b叫做等效单摆长度 Length of the equivalent simple pendulum，因为具有这个长度的单摆，其周期与复摆的相同。 可以看出，复摆的周期与其质量无关，

14、也与其几何形状无关，只要 K2/ b保持相同。,习题4-17 两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为 20 cm，与第一个简谐振动的相位差为 - = /6，若第一个简谐动的振幅为 17.3 cm，试求： 1、第二个简谐振动的振幅 A2 2、第一、二两个简谐振动的相位差 1 - 2,解：已知 A = 20 cm A1 = 17.3 cm A2 =A2 +A12 -2AA1cos( - )1/2 = 10 cm,A2 = A12 + A22 + 2A1A2 cos ( 1 - 2 ) cos (1 - 2 ) = A2 - A12 + A22 / 2A1A2 = 0 2 1 = /2 1 2

15、 = /2,例4-9 试用等效弹性常数重新计算例4-6单摆的周期,解：单摆的势能: EP = mgl (1 - cos)，其极小值位置=0，单摆离开平衡点的水平位移x =l sin，因此 ：,单摆的 圆频率:,周期:,例: 两球有相同的质量和半径，悬挂于同一高度，静止时两球恰好能接触且悬线平行。已知两球碰撞的恢复系数为 e ，若球 A 自高度 h1 释放，求该球碰撞后能达到的高度。,mvA0 = mvA + mvB vA - vB = - e vA0,vA = ( 1 - e ) vA0 / 2 0 vB = ( 1 + e ) vA0 / 2 vA,mghA = m vA2 / 2 mghB

16、 = m vB2 / 2,hA = vA2 / 2g hB = vB2 / 2g,hA = ( 1 - e )2 h1 / 4 hB = ( 1 + e )2 h1 / 4,解：A球与 B球碰撞前一刻的速度为 vA0=(2gh1)1/2 ，碰撞后两者的速度分别为 vA ，vB 。,hB hA,A-1 一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡位置向X轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为： （A）T/4 （B）T/12 （C）T/6 （D）T/8,A-1 一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡位置向X轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为：

17、（A）T/4 （B）T/12 （C）T/6 （D）T/8 解： = t t = / ,X,O,=T/2 ,A,A-1 一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡位置向X轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为： （A）T/4 （B）T/12 （C）T/6 （D）T/8 解： = t t = / ,X,O,=T/2 ,A,to,A-1 一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡位置向X轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为： （A）T/4 （B）T/12 （C）T/6 （D）T/8 解： = t t = / ,X,O,=T/2 ,A,to,to+ t

18、,A/2,A-1 一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡位置向X轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为： （A）T/4 （B）T/12 （C）T/6 （D）T/8 解： = t t = / = ( /6)/(2 / T) = T/12 答案 （B）,A-5 一质量M的物体在光滑水平面上作谐振动，振幅为 12cm，在距平衡位置 6cm处速度为 24cm/s，求（1）周期 T；（2）当速度为 12cm/s 时的位移。 解：（1）设振动方程为： x = Acos（ + ） 6 = 12 cos（ + ） v = A sin（ + ） 24 = 12 sin（ + ） 62

19、 +（24/ ）2 = 122 1/ =（122-62）1/2/24 = 0.433 s T = 2/ = 0.866 s,（2）设速度 v = 12 cm / s 时，位移为 x x = 12 cos（ + ） 12 = 12 sin（ + x2 +（12/ ）2 = 122 x = 122 -（ 12 / ）2 1/2 = 10.82 cm 或 x = - 10.82 cm,A-6 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（t =0 ），经过 2 秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A、B 两点具有相同的速率，

20、且 AB = 10cm 。求： 1、质点的振动方程； 2、质点在 A 点处的速率。,A-6 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（t =0 ），经过 2 秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A、B 两点具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求： 1、质点的振动方程； 2、质点在 A 点处的速率。 解：,A-6 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（t =0 ），经过 2 秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A、B 两点具有相

21、同的速率，且 AB = 10cm 。求： 1、质点的振动方程； 2、质点在 A 点处的速率。 解：,A-6 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（t =0 ），经过 2 秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A、B 两点具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求： 1、质点的振动方程； 2、质点在 A 点处的速率。 解：,A-6 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（t =0 ），经过 2 秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A

22、、B 两点具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求： 1、质点的振动方程； 2、质点在 A 点处的速率。 解：,A-6 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（t =0 ），经过 2 秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A、B 两点具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求： 1、质点的振动方程； 2、质点在 A 点处的速率。 解：1、由旋转矢量图和 vA = vB 可知 T/2 = 4s，即 T = 8s = 2 /T = /4 rad/s AO = BO = AB/2 = 10/2 = 5cm,因为 2

23、1 = t 所以 1 = t/2 =( /4) (4-2) 2 = /4 初相 =+1 =+/4=5/4 振幅 A = AO/cos( /4) = 5 0.707 = 7.07 cm 所以，质点的振动方程为： x = 7.07 cos (t / 4 + 5 / 4 ) cm,A-3 一质点作简谐振动，其运动速度与时间的曲线如图所示。若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初位相为 （A） /6 （B）5 /6 （C）- 5 /6 （D）- /6 （E）- 2 /3,因为 = + /2 = - /3 所以 = - /2 - /3 = - 5 /6 答案 （C）,A-9 在一轻弹簧下端悬挂 mo =

24、100 g 砝码时，弹簧伸长 8 cm，现在这根弹簧下端悬挂 m = 250 g 的物体，构成弹簧振子。将物体从平衡位置向下拉动 4 cm，并给以向上 21 cm/s的初速度（这时 t =0）。选 x 轴向下，求振动方程的表达式。,解：k =mog/ l = 0.1100.08 =12.5 N/m =(k/m)1/2 =(12.5/0.25)1/2 =7 rad/s 初始条件：t = 0 , xo = 0.04 m, vo = - 0.21 m/s A = (xo2+vo2/2)1/2 =0.05 m tg = - vo /xo = - (- 0.21)/(7 0.04) = 0.75 = 0

25、.64 rad 振动方程: x = 0.05cos( 7t+0.64 ) m,A-10 有一水平放置的板，在此板上放有一物体，沿水平方向作简谐振动 T = 0.5 秒。物体与板之间的摩擦系数为 0.5 ，试问要使此板上的物体不致滑动的最大振幅为多少？若将此板改为垂直方向作简谐振动，振幅为 5 cm，要使物体一直保持与板接触的最大频率为多少？,解：静摩擦力最大值为 fsmax = N = mg 振动时，最大加速度值：amax = 2A (1) 不打滑条件：板上物体的加速度有静摩 擦力提供。 Fsmax = mamax mg = m2Amax,故：Amax = g/2 = gT2/42 = 0.5

26、9.80.52(43.142 ) = 0.032 m (2) 垂直方向上下振动时，物体在垂直方向 受的力为 ( 向下为正值 )： F合 = mg - N = mamax = m 2A 不接触时，N = 0 mg = m2maxA max = (g/A)1/2 = ( 9.8/0.05 )1/2 = 14 rad /s max = /2 = 14/23.14 = 2.2 Hz,A-8 如图，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数 k =24 N/m，重物的质量 m = 6 kg ，重物静止在平衡位置上。设以一水平恒力 F = 10 N 向左作用于物体 ( 不计摩擦 )，使之由平衡位置向左运动了 0.0

27、5 m，此时撤去力 F，当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程。,解：设物体运动方程： x = Acos(t + ) A外 = Fx1 =10 0.05 = 0. 5 J,功能原理： A外 = E = EP = kx2/2 x = - ( 2A外/k )1/2 = - ( 2 0.5/24 )1/2 = - 0.204 m = (k/m)1/2 = (24/6)1/2 = 2 rad/s t = 0 , xo = x = - 0.204 m , vo = 0 A =( xo2 +vo2/2 )1/2 =0.204 m tg = - vo /xo = 0 = 故 x = 0.204

28、 cos( 2t + ) m,A-11 一劲度系数为 k的轻弹簧，其上端与 一质量为 m 的平板 A 相联，且板 A 静止。今有一质量也为 m 的物体 B 自距今A 为 h 高处自由落下，与 A 发生完全非弹性碰撞，(1) 证明碰撞后系统作简谐振动。 (2) 试求其振幅 A、周期 T及初相 。,B,A,h,L,A-11 一劲度系数为 k的轻弹簧，其上端与 一质量为 m 的平板 A 相联，且板 A 静止。今有一质量也为 m 的物体 B 自距今A 为 h 高处自由落下，与 A 发生完全非弹性碰撞，(1) 证明碰撞后系统作简谐振动。 (2) 试求其振幅 A、周期 T及初相 。,解：物体 B自由落下

29、h 高时，速度为 v = ( 2gh )1/2 设 A、B碰撞后共同速度 u 动量守恒：mv = (m + m)u 故 u = v /2 = ( gh/2 )1/2,碰撞后，平衡位置 O为原点，垂直向下 X为轴正方向。平衡时，弹簧静压缩量=2mg/k 当系统处于任一位置 x 时，牛顿第二定律： 2mg - k( x + ) = 2md2x/dt2 - kx = 2md2x/dt2 d2x/dt2 + ( k/2m ) x = 0,故碰撞后系统作简谐振动。 =( k/2m )1/2 , T = 2 / = 2 (2m/k)1/2 t = 0 , xo = - mg/k , vo= u = ( g

30、h/2 )1/2,故碰撞后系统作简谐振动。 =( k/2m )1/2 , T = 2 / = 2 (2m/k)1/2 t = 0 , xo = - mg/k , vo= u = ( gh/2 )1/2 A = ( xo2 + vo2/2 )1/2 = mg ( 1 + kh/mg )1/2 / k tg = - vo /xo = ( kh/mg )1/2 = + tg -1 ( kh/mg )1/2,A-12 弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时，弹性力在半个周期内所作的功为,(A) k A2 (B) k A2/2 (C) k A2/4 (D) 0 解： A弹性力 = - ( EP末 - EP初

31、 ) = - k(-x)2/2 -kx2/2 = 0 答案 ( D ),A-13 一质点作谐振动，其振动方程为 x = 6.010-2cos( t/3 - /4 ) ( SI ) (1) 当 x 值为多大时，系统的势能为总能量 的一半 ？ (2) 质点从平衡位置移动到此位置所需最短 时间为多少 ？,解：(1) 势能 EP =kx2/2 , 总能 E = kA2/2 . 由题意 kx2/2 = kA2/4 x =4.2410-2 m,A-13 一质点作谐振动，其振动方程为 x = 6.010-2cos( t/3 - /4 ) ( SI ) (1) 当 x 值为多大时，系统的势能为总能量 的一半

32、？ (2) 质点从平衡位置移动到此位置所需最短 时间为多少 ？,解: (2) 周期 T = 2 / = 6 s,A-13 一质点作谐振动，其振动方程为 x = 6.010-2cos( t/3 - /4 ) ( SI ) (1) 当 x 值为多大时，系统的势能为总能量 的一半 ？ (2) 质点从平衡位置移动到此位置所需最短 时间为多少 ？,解: (2) 周期 T = 2 / = 6 s 从平衡位置移动到 x = 4.2410-2 m 的最短时间为,A-13 一质点作谐振动，其振动方程为 x = 6.010-2cos( t/3 - /4 ) ( SI ) (1) 当 x 值为多大时，系统的势能为总

33、能量 的一半 ？ (2) 质点从平衡位置移动到此位置所需最短 时间为多少 ？,解: (2) 周期 T = 2 / = 6 s 从平衡位置移动到 x = 4.2410-2 m 的最短时间为,x,-x,O,X,A-13 一质点作谐振动，其振动方程为 x = 6.010-2cos( t/3 - /4 ) ( SI ) (1) 当 x 值为多大时，系统的势能为总能量 的一半 ？ (2) 质点从平衡位置移动到此位置所需最短 时间为多少 ？,解: (2) 周期 T = 2 / = 6 s 从平衡位置移动到 x = 4.2410-2 m 的最短时间为,A-13 一质点作谐振动，其振动方程为 x = 6.01

34、0-2cos( t/3 - /4 ) ( SI ) (1) 当 x 值为多大时，系统的势能为总能量 的一半 ？ (2) 质点从平衡位置移动到此位置所需最短 时间为多少 ？,解: (2) 周期 T = 2 / = 6 s 从平衡位置移动到 x = 4.2410-2 m 的最短时间为 T/8 = 6/8 = 0.75 s,A-14 一物体作简谐振动，其振动方程为 x = Acos( t + /2 ) ，则该物体在 t = 0 时的动能与 t = T/8 ( T 为振动周期 ) 时的动能之比为多少 ？,解：t = 0, x = 0, Ek 1 = kA2/2,A-14 一物体作简谐振动，其振动方程为 x = Acos( t + /2 ) ，则该物体在 t = 0 时的动能与 t = T/8 ( T 为振动周期 ) 时的动能之比为多少 ？,解：t = 0, x = 0, Ek 1 = kA2/2 t =T/8, =t = T/8 =/4, x = - 0.707A Ek 2 = kA2/2 - kx2/2 = kA2/4 Ek 1/Ek 2 =( kA2/2 )/( kA2/4 ) = 2,