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1、第六章 习题课,1.基本概念 2.典型例题 3.练习,一、集合,1、定义,2、集合的表示方法:,3、集合间的关系,4、集合间的运算,交： ；,并：,2 线性空间的定义,那么， 就称为（实数域 上的）向量空间（ 或线性空间）， 中的元素不论其本来的性质如 何，统称为（实）向量,简言之，凡满足八条规律的加法及乘数运算， 就称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，就 称为向量空间,3 线性空间的性质,4 子空间,定义 设 是一个线性空间， 是 的一个非空子 集，如果 对于 中所定义的加法和乘数两种运算 也构成一个线性空间，则称 为 的子空间,定理 线性空间 的非空子集 构成子空间的充分 必要条件是：
2、对于 中的线性运算封闭,定义,5 线性空间的维数、基与坐标,定义,一般地，设 与 是两个线性空间，如果在 它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关 系保持线性组合的对应，那么就说线性空间 与 同构,线性空间的结构完全被它的维数所决定 任何 维线性空间都与 同构，即维数相等 的线性空间都同构,6 基变换,7 坐标变换,8 线性子空间,设V是数域P上的线性空间，集合,若W对于V中的两种运算也构成数域P上的线性空间,则称W为V的一个线性子空间，简称为子空间,线性子空间的判定：,设V为数域P上的线性空间，集合,，若W对于V中两种运算封闭，即,则W是V的一个子空间,称为V的由 生成的子空间，,9.生成
3、子空间,定义：V为数域P上的线性空间，,则子空间,，,记作 ,称 为 的一组 生成元.,也为V的子空间，,设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合,10、子空间的交,1、定义,称之为V1与V2的交空间.,11、子空间的和,设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合,称之为V1与V2的和空间.,12、子空间的交与和的有关性质,2、设 为线性空间V的子空间，则以下三,1、设 为线性空间V的子空间,1）若 则,2）若 则,条件等价:,3、 为线性空间V中两组,向量，则,4、维数公式 （定理7）,设 为线性空间V的两个子空间，则,或,13、直和,定义：设 为线性空间V的两个子空间，若和,是唯一的，和 就
4、称为直和，记作,中每个向量 的分解式,设 为线性空间V的子空间，则下面,四个条件等价:,2）零向量分解式唯一,1） 是直和,3）,4）,判定,线性空间中两种运算的条运算规律缺一不 可，要证明一个集合是线性空间必须逐条验证 若要证明某个集合对于所定义的两种运算不 构成线性空间，只需说明在两个封闭性和条运 算规律中有一条不满足即可,典型例题,解,解,证一,证二,解,解一 由过渡矩阵的定义有,整理得,从上面的解法可以看到，由定义出发，利用 解方程组，求出线性表达式中的系数，得到过渡 矩阵，这种方法计算量太大，因此，当线性表达 式不容易得到时，可采用下面的解法,解二 引入一组新的基,练习,一、 填空题(每小题4分，共24分),则向量 在这组基下的坐标为,二、 解答题(每小题8分，共16分),五、下列变换是否线性变换？为什么？(每小题5 分，共10分),求 的值域与核的维数和基,求 的特征值与特征向量,一个基,求微分运算 在这个基下的矩阵,对于函数的线性运算构成3维线性空间，在 中取,练习答案,维数为6,