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1、1,这里主要讨论符合相对论要求的单电子（自旋1/2） 的量子力学，并以粒子数守恒和低能的非相对论量子 力学为主。主要内容有：,1.建立狄拉克方程以及若干有关的概念，为进一步 学习全面的相对论理论打基础；,2.以单电子为研究对象，给出其哈密顿，求得狄拉 克方程的严格解。,在本章的处理中电磁场仍看作外场，并按照经典场 处理。,第三章 狄拉克方程,15 电子的相对论运动方程,2,15.2 克莱因-高登方程和狄拉克方程,不符合狭义相对论要求，因为其中的H是根据经典 非相对论分析力学写出来的. 现在任务是改写这个 原理中的运动方程，使之符合相对论的要求。,在前面所介绍的量子力学的五个基本原理中， 只有原
2、理4，即,微观系统的状态 随时间的变化规律是薛定 谔方程,3,将此式与经典单粒子的动能与动量的关系式,一.克莱因-高登方程的推导,按照相对论的时空对等性要求和方程在洛伦兹变换 下的不变性要求，我们在坐标表象下讨论这个问题。,相比较，发现 与 相对应，而 与 相对应。,在坐标表象下，外场下单粒子的薛定谔方程为,第一个相对论运动方程正是仿照这种对应方式而 得到的。,4,根据相对论关系,并考虑上述对应关系,这个方程称为克莱因-高登方程。,在克莱因-高登方程提出后立即发现其有许多问题：,(1) 不是正定的,无法解释为粒子的位置概率；,(令 ,若对任意 , 则 为正定),并对任意波函数发生作用，有,5,
3、(5)这一方程除了V=0的自由形式外，无法纳入量子 力学已有的体系之中，即无法写成含时薛定谔方 程的形式。,(2)总能量有负的本征值，而且没有下限，这将造成 严重的困难。因为在量子理论中存在自发跃迁的 概念，因而这个方程的所有定态解将不断自发辐 射到 的能级；,(3)这是一个对时间的二阶方程，解此方程时除了需 要初始时刻的 外, 还需要 作为初始条件；,(4)用此方程计算H原子能级与实验值符合得不好；,6,总之，克-高方程无法纳入现有量子力学的框架，而 且至少对于电子是不适用的。然而又不能简单地否定。 因为：,（1）这个方程的非相对论极限 正是薛定谔方程,（2）从这一方程可以导出一个连续性方程
4、,其中,7,而上述流密度表达式与非相对论的表达式,十分相似。,如此看来，既然克莱因-高登方程符合相对论的要 求，那么很可能是态函数不对：,即态函数虽然满足克-高方程，但还要满足另一个比此方程要求更高的方程。,这个要求更高的方程就是狄拉克方程。,8,二. 狄拉克方程,基于克-高方程的上述情况，狄拉克开始他寻找这 个方程的工作。他希望,（1）这首先是一个对时间的一阶方程，以便纳入 已有的量子力学框架；,（2）同时又要求它的解仍然满足克-高方程。,于是狄拉克假设自由电子正确的相对论方程应取下 列形式：,或简写成,9,式中 和 是四个与时间和位置无关的待 定常量,c是光速。引人c的目的是保证 无量纲。
5、,为了使满足此方程的态函数仍能满足克-高方程，用,从左边作用到（15.5）上，并与克-高方程（V=A=0）,相比较，得待定常数应满足,10,其中对于自由电子，有,既是时间和位置的一阶方程，其解 又满足克- 高方程。,（具体过程看曾谨言量子力学卷II p349）,在此情况下, 式,上式就称为狄拉克方程。写成含时薛定谔方程形式为,11,若 不含时间，则狄拉克方程也有定态解,而 满足,从（15.9）式可以看出， 显然不可能是普通 的数，除了满足下式，,还应该是厄米的，以保证哈密顿算符的厄米性。,对电磁场中的电子，有,12,由于哈密顿算符的构成单元 与单电子 哈密顿算符的构成单元 有很大差别，算 符
6、的作用空间显然不是单电子的函数空间，而 是另外一个新的空间。,这样，电子的态函数 应是在单电子的函 数空间和这新的空间的直积空间中的矢量。下一节 我们会知道，这个新空间是和电子的自旋有关系的。,以后我们把 笼统地写成 ，以强调它不 是单纯的时空的标量函数，而是这种标量函数空间 和另一个空间的直积空间中的矢量。,13,三. 狄拉克方程的协变形式,概念：(1)罗仑兹变换,在洛仑兹变换下具有确定的变换性质。,(2)协变,为了展示方程的相对论不变性，常把方程写成协 变的形式。为此，令,14,（这些算符在后面的推导中非常重要）,将狄拉克方程写成如下形式,定义4D形式的动量算符为,并且定义四个新的算符,用
7、 左乘（15.12）式，利用,15,可证明（这里不证）Dirac方程在洛伦兹变换、空 间反演和时间反演下确实是协变的。,这样就得到狄拉克方程的协变形式,16,再定义 ：,则有,称为 算符。由于常以矩阵的形式出现，又常之 为 矩阵。,既然 都是厄米算符，根据前面的定义， 算符和 算符也是厄米的。此外由厄米性及式,可知四个 算符以及 都是幺正的。,17,15.3 自旋算符,前面在建立Dirac方程的过程中引入了算符 ， 这就是说，在整体运动的位形Hilbert空间之外又发现了一个新的空间，我们说过这个新空间与自旋有关。,一. 自旋算符的寻找,1. 从对易关系入手,设电子的自旋算符为S，它应满足角动
8、量对易关系和自旋算符的反对易关系。,令 ，则 的三个分量应满足,18,为了寻找满足这些关系的（也称自旋算符）， 试用 来构造。,由前面所得结论可知，算符 满足,但不满足,若取两个 的乘积，肯定满足（15.19）式：,注意：c 是待定常数，不是光速！,为使（15.18）式得到满足，c可以是i。,19,对于,因为,所以只要取 ，则找到了满足正确对易关系的自旋算符：,也可写成紧凑的形式,容易验证，上式即,20,对于上面给出的算符，容易证明,2.一些算符的关系,此外，有,21,利用,设A,B是位形空间的算符，因而与新的自旋空间的算符 对易，即,以上各式利用有关算符的定义及算符的运算公式比较容易推出。,另外还有,22,1.自旋角动量是否守恒量？,二. 自由电子的守恒量,已知自由电子的哈密顿为,所以自由电子的自旋并不是守恒量。,利用,利用,23,2. 轨道角动量是否守恒量？,所以自由电子的轨道角动量不是守恒量。,24,3. 总角动量是否守恒量？,由前可知，对角动量,所以总角动量是守恒量。对于自由电子，这是一个 必然的结果，这说明自旋算符的构造 是正确的。,4. 自由电子的动量P是否守恒量？,由 前可知,故自由电子的动量P显然是守恒量。,25,利用,5. 自由电子的螺旋度是否守恒量？,定义螺旋度为自旋在动量方向上的投影，即,所以自由电子的螺旋度是一个守恒量。,