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第五节 高阶偏导数,本节主要内容：,一、高阶偏导的概念,二、抽象复合函数的高阶偏导,第五节 高阶偏导数,定义,一阶偏导的偏导数,称为二阶偏导.,二阶偏导的偏导数,称为三阶偏导.,三阶偏导的偏导数,称为四阶偏导.,二阶以及二阶以上的称为高阶偏导.,二元函数,二阶偏导数,的二阶偏导数.,对,的二阶偏导数.,对,的混合,对,二阶偏导数.,二阶偏导数的记号:,二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项,例1 求,的二阶偏导数.,解,问题: 在什么条件下混合偏导数相等?,定理,若,和,在点,处连续,则,二元函数,三阶偏导数,二元函数,的三阶偏导数,共23=8项.,例2 设,求,解,(2)高阶偏导主要掌握二阶偏导.,(1)n阶偏导一共,个.,(3)二阶偏导记号:,例3,所确定的函数,求,解,令,则,故,例3,所确定的函数,求,解,注,隐函数求二阶偏导时:,1.要在一阶偏导的基础上用原始法则求,3.遇到,的地方先写一偏导符号,再将前面求出的代入.,2.同时注意到,例:,还是 的函数!,抽象复合函数的高阶偏导,仍为u、v的函数.,例4 设,求,解,令,则,令,则,例5 设,具有二阶,连续偏导,求,解,例6 设,其中,二阶偏导连续,求,二阶,可导,解,例7 设,求,解,作业题,习题八(A) 9、20.,例8 设,存在二阶连,偏导数,且,求,解,记,则,