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1、利用常微分方程的数学模型,姓名：杨 倩 学号：20081101232 指导教师姓名：徐 标,引 言,常微分方程作为数学科学的中心学科，已经有300多年的发展历史，其解法和理论的日臻完善，人们越来越关注用该理论建立数学模型解决实际问题。比如现在常见到的传染病模型，人口预测和控制等。一般它的推导过程显繁琐，但其结果却相当简明，并且可以给出合理的解释。,本课题研究的关键问题及解决问题的思路,常微分方程,数学模型,案例,文献,如果知道自变量、未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，我们称这种微分方程为常微分方程。 如，方程 常微分方程的解
2、、通解、特解、所有解,数学模型 是一种抽象的模拟, 它用数学符号、数学公式、程序、图、表等刻画客观事物的本质属性与内在联系, 它是对部分现实世界而做的抽象简化的数学结构。 数学建模 即是对实际问题中的复杂现象进行分析，发现其中可以用数学语言来描述的关系或规律，从中抽象出恰当的数学关系，将这个实际问题化成一个数学问题，并运用数学系统的知识方法对数学问题进行解，对现实问题给出一个解释的过程。,数学建模的分类 数学建模的基本过程 建立常微分方程模型的原则 如何利用常微分方程建立数学模型,经典的常微分方程数学模型案例分析,经典力学问题建模Lagrange方程模型 生物种群数量问题 利用常微分方程模型分
3、析预防和隔离措施对SARS发病率的影响,（1）,（2）,（3）,（物体的自由下落问题） 设质量为 的物体，在时间 时，从距离地面初始高度为 地方，以为初始速度 垂直下落到地面，试 建立物体在下落过程中的动力学方程模型。 提出问题: 建立自由落体在下落过程中的动力学方程模型。,建立模型： 物体在自由下落的运动过程中，受到了重力和空气阻力的作用。在理想的真空中，空气的阻力是可以忽略的。这时，物体的运动就是一种在有势力作用下的质点运动。因此，假设空气阻力可以忽略。,（生物种群数量问题 ）设某生物种群在其适应的环境下生存，试讨论该生物种群的数量变化情况 问题假设： 1、假设该生物种群的自然增长率为常数
4、 2、设在其适应的环境下只有该生物种群生存或其他的生物种群的生存不影响该生物种群的生存。 3、假设时刻t生物种群数量为 ，由于 的数量很大，可视为时间t的连续可微函数。 4、假设在t=0时刻该生物种群的数量为N0,由于在SARS传播期内，政府对人口的流动进行了限制，并且对部分感染源也进行了隔离，有效的控制了人员流动，所以可假定所考察地区内的总人数不变，（即不考虑生死，也不考虑迁移），时间以天为计量单位。考虑SARS的传播因为患者在被收治隔离之前与其他人的传染性接触而发生的。,1）人群分为四类 . 正常而可被感染者 病愈具有免疫或经采用预防措施而具免疫者 其中类人可因接触感染而变为1类人，也可因
5、采取预防措施而变为类人；1类人可因被隔离而变为2类人，而1，2类让人统称类人，他们均可因治愈变成类人；而类人也可因失去免疫力而变为类人，,设：类人在时刻 在总人数占比例为 类人在时刻 在总人数占比例为 1 类人在时刻 在总人数占比例为 2类人在时刻 在总人数占比例为 类人在时刻 在总人数占比例为 2）患病而未被隔离者每天有效接触的平均人数是 正常人可被感染，同时我们记 和 为1和2类人的日治愈率（患者每天被治愈占病人总数的比例）： 为 1类人的日隔离率； 为类人的日预防率 为类人的日失去免疫率。,参考文献： 1 王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程M.高等教育出版社，2007. 2 姜启
6、源，谢金星，叶俊.数学模型M.高等教育出版社，2003. 3葛渭高，田玉，廉海荣.应用常微分方程M.科学出版社,2010. 4化存才,杨慧，刘海鸿.常微分方程解法与建模应用选讲M. 科学出版社新,2009 5东北师大微分方程教研室.常微分方程M.高等教育出版社，2005 6李连忠，李晓雯. 数学建模的微分方程方法J.泰山学院学报,2006 . 3 7宋文清.微分方程建模例析J.山东农业大学学报,2002 . 1 8王鑫，郭玉翠. 用常微分方程模型分析预防和隔离措施对SARS发病率的影响J.数学的实践与认识,2004.12,结束语,微分方程模型在现代生活的许多方面都有着极其广泛的应用, 本文所做的分析只是其众多应用中的一个方面, 随着现代科学技术的飞速发展, 有理由相信基于微分方程的数学建模有着更加广阔的前景。,