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1、为什么理科的差生比文科多,物理系 倪致祥,问题 班级教学是我国普遍采用的一种教学模式。在班级教学的模式下，入学时的水平基本相同的学生经过一段时间的班级教学之后往往会出现不同程度的成绩分化。一般来说，理科课程的分化程度要比文科课程明显；应试教育的分化程度要比非应试教育明显，教育的应试程度越高分化越明显。其中的原因究竟是什么？你能不能找出学生水平分化的规律，并且用数学语言来加以说明？,分析 在班级教学的模式下，传授知识的主要手段是课堂集体教学，而不是针对各个人的不同特点的因材施教。因此，班级教学模式的本身不是产生分化的根本原因。那么产生分化的根本原因是什么呢？这要从学生的个性差异中去寻找。虽然学生
2、在入学时的水平基本相同，但不可避免的存在一些差异，他们在学习态度、学习方法等方面的差异往往更大。这些差异在班级教学的模式下得到了放大，因此在一段时间之后就出现了明显的分化现象。,马克思曾经说过：“一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步”。为了能在教学规律的研究中运用数学，我们必需建立一个模型。 下面将给出一个班级教学模式的简单数学模型，并由此应用数学为工具来研究学生水平演化的规律及其相应的教学方法。,不失一般性，假定班里有n个学生。设第 i个学生的水平为xi ，其接受能力（该学生水平的提高量与教师的知识传授量之比）可以用自然接受系数 k i 来描述。如教师在单位时间内的知识传
3、授量为 m , 而在单位时间里学生水平的提高量为 d xi / d t , 则应有 d xi / d t = k i m 。 (1) 为了简单起见, 我们假定知识传授量 m 为常数, 由此可得 xi = k i m t , (2) 上式中我们已经取了xi (t = 0 ) - 0 , 即假定学生入学时起点都是零, 水平没有差别。,由(1)式还可得到 d X / d t = K m , (3) 其中X为学生的平均水平, K 为学生的平均接受能力。由方程(3)可解得学生平均水平的演化规律为 X = K m t 。 (4) 一般来说, 教学进度应该与学生平均水平的发展相一致。因此(4)式也可以看成是
4、教学进度。比较(2)、(4)两式，不难看出由于接受能力的差别，学生水平xi 与教学进度Kmt的偏差 xi 的绝对值将随时间而增大，即 xi = ( ki K ) m t 。 (5) 这种情况与我们的经验是一致的。,在实际教学中，新知识的学习是在旧知识的基础上进行的，往往受旧知识掌握程度的影响。新旧知识之间联系越密切，影响越大。设 为新旧知识之间的联系因子，考虑这个因素后公式 (1) 应该修正为 d xi / d t = k i m + ( xi K m t) 。 (6) 上式可解得 xi = K m t + m ( k i K) (e t 1)/ 。 (7) 这时新的偏差为 xi = m (
5、k i K) (e t 1)/ 。 (8),由于(e t 1)/ t ，可见考虑新旧知识之间的联系后，学生具体水平与教学进度的偏差将变得更大。这种偏差的程度随着新旧知识之间联系因子的增大而迅速增大。一般来说，理科课程中新旧知识之间的联系往往要比文科课程密切的多，因此学生理科成绩的分化程度和分化速度也往往要比文科课程严重的多。上面的模型从理论上定量地说明了这种教学现象，揭示了它的内在原因。,现在我们在上述模型的基础上来考虑应试教育的情况。顾名思义，应试教育的主要目的是对付升学考试。因此它的教学重点在一部分升学有望的尖子学生身上，教学的进度以适应这部分学生的需要为主。在我们的模型中，则表现在教学进
6、度大幅度地超过了学生平均水平的发展。由方程(4)容易看出，这将大大地增大中等及中等以下学生的水平 xi与教学进度之间的偏差xi 。而这种增大了的偏差又在班级教学模式下受到了进一步的放大，造成了学生大面积的掉队的结果。,补救措施1补课 在班级教学模式下，为了进行正常教学，往往要求学生水平与教学进度相比不能过低。否则就必须对部分差生进行补课，使其能够跟上新课。为了方便，我们定义一个补课强度因子：单位时间内补课节数与正常上课的节数之比，记为 。则对于那些自然接受系数 ki 小于平均接受系数 K的同学来说，在补课的条件下，其水平演化的微分方程为 d xi / d t = k i m + ( xi K
7、m t) + k i m 。 (9),上式可以简化为 d xi / d t = ( 1 + ) k i m + ( xi K m t) 。 (10) 将(10)式与(6)式相比，不难看出补课的作用相当于把接受系数 ki 提高到 ki = ( 1 + ) k i.。由此可知，补课后能跟上班级教学的条件为 ki = ( 1 + ) k i. K 。 (11) 因为补课强度因子的大小受到在校时间等因素的限制，有一个上限，故自然接受能力过差的学生将由于跟不上班而需要留级。,补救措施2努力 一般来说, 学生的实际接受情况还与其主观努力程度有关。俗话说得好，熟能生巧，勤能补拙。上面没有考虑学生的主观能动性
8、， 因此不够全面。设个人努力程度用因子g i来描述，则其实际接受系数应为g i k i 。用实际接受系数取代(6)式中的自然接受系数，我们得到 d xi / d t =g i k i m + ( xi K m t) 。 (12) 与前面类似地可以得到通过努力能跟上班级教学的条件为 g i k i. K 。 (13),同时采取补课和提高个人努力程度两种方法，我们得到 d xi / d t = ( 1 + ) g i k i m + ( xi K m t) 。 (14) 于是得到通过努力和补课后能跟上班级教学的条件为 ( 1 + ) g i k i. K 。 (15) 从灵敏度的角度看，提高个人努力程度比增大补课强度更有效。这个结果与实际情况是相符合的，它从理论上定量地说明了加强思想教育，鼓励学生努力学习的作用及其对提高教学质量的重要性。,小 结 很明显，上面所建立的班级教学的数学模型并不很精确，但是考虑到问题的复杂性和模型的简单程度，我们的尝试还是相当成功的。如果考虑到学生之间的相互影响，比如说互相帮助和互相竞争，应该怎样进一步修改这个模型呢？请同学们课后自己考虑。,