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1、為何要學微積分 ? 理由: 1.必修課 2.資訊科學的必要基礎知識 ? 3.以後工作可能有用? 為何要學微積分 ? 其他的理由: 1.想暸解宇宙運行的規則 2.想知道為何微積分是科學與技術的基礎? 3.宇宙真的 “依照”數學的法則在運行嗎? 4. Newton 認為 “神是數學家” ,到底是什麼意思? 微積分 極限的概念 微分( 計算 ”變化率” )積分( 計算面積,體積 ) 微分的數學意義就是: 計算函數在每一點的 ”變化率 “, 而”變化率 “也是一個函數 微分的物理意義 : 運動的 “軌跡”的 “變化率”就是 “速度”, “速度”的“變化率”就是 “加速度 “., 計算 “ 變化率 “
2、的圖示 y=f(x) = x3-x 積分的數學意義: 計算函數曲線與 x軸所形成區域之面積: 積分的物理意義: 計算平面圖形面積或立體形狀的體積 n內切長方形面積總和 外接長方形面積總和兩項的平均值 203.141592651.57079633 41.110720732.681517061.89611890 81.581532522.366930681.97423160 161.797220802.189919881.99357034 321.900218592.096568131.99839336 641.950511002.048685771.99959839 1281.975355912
3、.024443291.99989960 2561.987703062.012246741.99997490 5121.993857802.006129641.99999372 10241.996930472.003066401.99999844 阿基米德計算圓周率 的近似方法 外切正八邊形 內接正八邊形 denoted by Pn, are approximations for C and in this case therefore also approximations for p: The perimeter of the inscribed 2n-gon, denoted by pn,
4、 and the perimeter of the circumscribed 2n-gon, denoted by Pn, are approximations for C and in this case therefore also approximations for : In terms of the perimeters of the polygons, this means: In terms of the perimeters of the polygons, this means: and used a spread sheet to obtain values for th
5、e first 12 iterations of the algorithm using the previously mentioned formulas: : npnPn 23 3.46410161513775 33.105828541230253.21539030917347 43.132628613281243.15965994209750 53.139350203046873.14608621513143 63.141031950890513.14271459964537 73.141452472285463.14187304997982 83.141557607911863.141
6、66274705685 93.141583892148323.14161017660469 103.141590463228053.14159703432153 113.141592105999273.14159374877135 123.141592516692163.14159292738510 133.141592619365383.14159272203861 143.141592645033693.141592670702 : 計算變化率,面積,體積之外,微積分這個 數學 “工具”還有更深刻的意義嗎? 1. “精確”預測天體運行,物體運動 ( Newton ),上至太空 科技,下到粒
7、子物理 2.人類 “發現”一個從 “渾沌” ( Chaos)中整理出”秩序” 的偉大工具,並藉此工具改變世界., 工業時代 資訊時代生技時代 數學為何能 “相當精確”地描述,甚至預測某些自然界的現象 ? “各種說法都有”,無定論: 世界是神“依據數學規則”建構起來的 ( Kepler, Newton, etc. ). 數學是神的恩賜,衪賞賜人類一個 (非惟一)可以瞭解這個世 界的方法 ( A. Einstein ) 數學只是人類心智建構的一套自圓其說而己, ( B. Russell ) 自然界 “顯現”的數學規則 .黃金比例與費氏數列 ( Fibonancci Sequence ) 黃金比例的
8、定義(歐基里德Euclid) Ratio obtained when you divide a line segment into two unequal parts such that the ratio of the whole to the larger part is the same as the ratio of the larger to the smaller. ABC 一元二次方程式的解 的解 Expanding Recursively Continued Fraction Representation Bernoulli Spiral When the growth of
9、the organism is proportional to its size A Nautilus shell intersections of the golden rectangle fit a logarithmic spiral. This is the shape of a Nautilus shell. Fibonacci Sequence 的定義 F(n)=F(n-1) + F(n-2) F(1)=1, F(2)=1 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89, 如果 n趨向無限大, F(n)/F(n-1)會不會趨向一個 固定的數字? 1,1,2,3,5,8,13,
10、21,34,55,. 2/1 =2 3/2=1.5 5/3=1.666 8/5=1.6 13/8=1.625 21/13=1.6153846 34/21=1.61904 = 1.6180339887498948482045 這個數字 “恰恰好”是黃金比例 ! Why? “恰恰好”有何較深刻的意義? Fibonacci數列 (從數字出發) 黃金比例 (從圖形出發) = 1.6180339887498948482045 微積分 互為反運算 ! 極限的概念 微分( 計算 ”變化率” ) 積分( 計算面積,體積 ) 本課程的目標 1.充分暸解 “極限”的概念 2.基本的微分,積分計算 3.簡單的應用 4.本學期:第零章至第四章 本學期成績計算方式 1.作業: 40% 2.期中考: 30% 3.期末考: 30%