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1、四、 旋转体的侧面积 (补充) 三、已知平行截面面积函数的 立体体积 第二节 一、 平面图形的面积 二、 平面曲线的弧长 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分在几何学上的应用 第六章 一、平面图形的面积 1. 直角坐标情形 设曲线与直线 及 x 轴所围曲 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 边梯形面积为 A , 右下图所示图形面积为 例1. 计算两条抛物线在第一象限所围 所围图形的面积 . 解: 由 得交点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 计算抛物线与直线 的面积 . 解: 由 得交点 所围图形 为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结
2、束 例3. 求椭圆 解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . 有 利用椭圆的参数方程 应用定积分换元法得 当 a = b 时得圆面积公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值 则曲边梯形面积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 求由摆线 的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 . 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 极坐标情形 求由曲线 及 围成的曲边扇形的面积 . 在区间上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 所求曲边扇形的面积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应 从 0
3、 变例5. 计算阿基米德螺线 解: 点击图片任意处 播放开始或暂停 机动 目录 上页 下页 返回 结束 到 2 所围图形面积 . 例6. 计算心形线 所围图形的 面积 . 解: (利用对称性) 心形线 目录 上页 下页 返回 结束 心形线(外摆线的一种) 即 点击图中任意点 动画开始或暂停 尖点: 面积: 弧长: 参数的几何意义 例7. 计算心形线与圆 所围图形的面积 . 解: 利用对称性 , 所求面积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8. 求双纽线所围图形面积 . 解: 利用对称性 ,则所求面积为 思考: 用定积分表示该双纽线与圆 所围公共部分的面积 . 机动 目录 上页 下页 返回
4、结束 答案: 二、平面曲线的弧长 定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大 边长 0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即 并称此曲线弧为可求长的. 定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的. (证明略) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称 (1) 曲线弧由直角坐标方程给出: 弧长元素(弧微分) : 因此所求弧长 (P168) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 曲线弧由参数方程给出: 弧长元素(弧微分) : 因此所求弧长 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 曲线弧由极坐标方程给出: 因此所求弧长 则得 弧长元素(弧微
5、分) : (自己验证) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量, 成悬链线 . 求这一段弧长 . 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 下垂 悬链线方程为 例10. 求连续曲线段 解: 的弧长. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例11. 计算摆线一拱 的弧长 . 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例12. 求阿基米德螺线相应于 02 一段的弧长 . 解: (P349 公式39) 小结 目录 上页 下页 返回 结束 三、已知平行截面面积函数的立体体积 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 则对应于小区间的体积元素为 因此所求立
6、体体积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上连续, 特别 , 当考虑连续曲线段 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 当考虑连续曲线段 绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例13. 计算由椭圆所围图形绕 x 轴旋转而 转而成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程 则(利用对称性) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方法2 利用椭圆参数方程 则 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例14. 计算摆线 的一拱与 y0 所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 . 解: 绕 x
7、轴旋转而成的体积为 利用对称性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 绕 y 轴旋转而成的体积为 注意上下限 ! 注 注 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分 注 (利用“偶倍奇零”) 柱壳体积 说明: 柱面面积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 偶函数 奇函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例15. 设在 x0 时为连续的非负函数, 且 形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积 , 证明: 证: 利用柱壳法 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 例16. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 ,并 与底面交成 角, 解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为 垂直于x 轴 的截面是
8、直角三角形, 其面积为 利用对称性 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 此时截面面积函数是什么 ? 如何用定积分表示体积 ? 提示: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 垂直 x 轴的截面是椭圆 例17. 计算由曲面所围立体(椭球体) 解: 它的面积为 因此椭球体体积为 特别当 a = b = c 时就是球体体积 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的体积. 例18. 求曲线 与 x 轴围成的封闭图形 绕直线 y3 旋转得的旋转体体积. (94 考研) 解: 利用对称性 , 故旋转体体积为 在第一象限 机动 目录
9、上页 下页 返回 结束 四、旋转体的侧面积 (补充) 设平面光滑曲线 求 积分后得旋转体的侧面积 它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 . 取侧面积元素: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 侧面积元素 的线性主部 . 若光滑曲线由参数方程 给出, 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的 不是薄片侧面积S 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 侧面积为 例19. 计算圆 x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S . 解: 对曲线弧 应用公式得 当球台高 h2R 时, 得球的表面积公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例20. 求由星形线 一周所得的旋转体的表面积 S . 解: 利
10、用对称性 绕 x 轴旋转 星形线 目录 上页 下页 返回 结束 星形线 星形线是内摆线的一种. 点击图片任意处 播放开始或暂停 大圆半径 Ra 小圆半径 参数的几何意义 (当小圆在圆内沿圆周滚动 时, 小圆上的定点的轨迹为是内摆线) 内容小结 1. 平面图形的面积 边界方程 参数方程 极坐标方程 2. 平面曲线的弧长 曲线方程参数方程方程 极坐标方程 弧微分: 直角坐标方程 上下限按顺时针方向 确定 直角坐标方程 注意: 求弧长时积分上 下限必须上大下小 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 已知平行截面面面积函数的立体体积 旋转体的体积 绕 x 轴 : 4. 旋转体的侧面积 侧面积元素为
11、 (注意在不同坐标系下 ds 的表达式) 绕 y 轴 : (柱壳法) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s . 提示: 交点为 弧线段部分直线段部分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 以 x 为积分变量 , 则要分 两段积分, 故以 y 为积分变量. 2. 试用定积分求圆 绕 x 轴 上 半圆为 下 求体积 : 提示: 方法1 利用对称性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 旋转而成的环体体积 V 及表面积 S . 方法2 用柱壳法 说明: 上式可变形为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上 半圆为 下 此式反映了环体微元的另
12、一种取法(如图所示). 求侧面积 : 利用对称性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上式也可写成 上 半圆为 下 它也反映了环面微元的另一种取法. 作业 P279 2 (1) , (3) ; 3; 4; 5 (2) , (3) ; 8 (2) ; 9; 10; 22; 25; 27 ; 30 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 面积及弧长部分： 体积及表面积部分： P279 13; 14 ; 15 (1), (4); 17; 18 补充题: 设有曲线 过原点作其切线 , 求 由此曲线、切线及 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一 周所得到的旋转体的表面积. 备用题 解： 1. 求曲线所围图形的面积. 显然 面积为 同理其它. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 又 故在区域 分析曲线特点 2. 解:与 x 轴所围面积 由图形的对称性 ,也合于所求. 为何值才能使与 x 轴围成的面积等 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 3. 求曲线 图形的公共部分的面积 . 解： 与所围成 得 所围区域的面积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设平面图形 A 由与所确定 , 求 图形 A 绕直线 x2 旋转一周所得旋转体的体积 . 提示： 选 x 为积分变量. 旋转体的体积为 4. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若选 y 为积分变量, 则