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1、 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 四、 旋转体的侧面积 (补充) 三、已知平行截面面积函数的立体体积 第二节 一、 平面图形的面积 二、 平面曲线的弧长 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分在几何学上的应用 第六章 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 一、平面图形的面积 1. 直角坐标情形 设曲线与直 及 x 轴所 则 机动 目录 上页 下页 返回
2、 结束 围曲边梯形面积为 A , 右下图所示图形面积为 线 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例1. 计算两条抛物线在第一 象限所围所围图形的面积 . 解: 由 得交点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例2. 计算抛物线与直线 围图形的面积 . 解: 由 得交点 所 为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有 机动
3、目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例3. 求椭圆 解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . 有 利用椭圆的参数方程 应用定积分换元法得 当 a = b 时得圆面积公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值 则
4、曲边梯形面积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例4. 求由摆线 的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 . 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 2. 极坐标情形 求由曲线 及 围成的曲边扇形的面积 . 在区间上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 所求曲边扇形的面积为
5、 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 对应例5. 计算阿基米德螺线 解: 点击图片任意处 播放开始或暂停 机动 目录 上页 下页 返回 结束 从 0 变到 2 所围图形面积 . YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例6. 计算心形线所围图形的 面积 . 解: (利用对称性) 心形线 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZ
6、HOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 心形线(外摆线的一种) 即 点击图中任意点 动画开始或暂停 尖点: 面积: 弧长: 参数的几何意义 心形线 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例7. 计算心形线 与圆所围图形的面积 . 解: 利用对称性 , 所求面积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZ
7、HOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例8. 求双纽线所围图形面积 . 解: 利用对称性 ,则所求面积为 思考: 用定积分表示该双纽线与圆 所围公共部分的面积 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案: YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 二、平面曲线的弧长 定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大 边长 0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 此极限为曲线弧 AB 的弧长 ,
8、即 并称此曲线弧为可求长的. 定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的. (证明略) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY (1) 曲线弧由直角坐标方程给出: 弧长元素(弧微分) : 因此所求弧长 (P168) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY (2) 曲线弧由参数方程给出: 弧长元素(
9、弧微分) : 因此所求弧长 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY (3) 曲线弧由极坐标方程给出: 因此所求弧长 则得 弧长元素(弧微分) : (自己验证) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量, 成悬链线 . 求这一段弧长 . 解: 机动
10、目录 上页 下页 返回 结束 下垂 悬链线方程为 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例10. 求连续曲线段 解: 的弧长. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例11. 计算摆线 一拱 的弧长 . 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YA
11、NGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例12. 求阿基米德螺线相应于 02 一段的弧长 . 解: (P349 公式39) 小结 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 三、已知平行截面面积函数的立体体积 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 则对应于小区间 的体积元素为 因此所求立体体积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上连续, YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSI
12、TY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 特别 , 当考虑连续曲线段 绕 x 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 当考虑连续曲线段 绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例13. 计算由椭圆所围图形绕 x 轴 旋转而转而成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程 则(利用对称性) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY
13、YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 方法2 利用椭圆参数方程 则 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例14. 计算摆线的一拱与 y0所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 . 解: 绕 x 轴旋转而成的体积为 利用对称性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERS
14、ITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 绕 y 轴旋转而成的体积为 注意上下限 ! 注 注 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 分部积分 注 (利用“偶倍奇零”) YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 柱壳体积 说明: 柱面面积 机动 目录 上页
15、下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 偶函数 奇函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例15. 设在 x0 时为连续的非负函数, 且 形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积 , 证明: 证: 利用柱壳法 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU
16、UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例16. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 并 与底面交成 角, 解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为 垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为 利用对称性 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 此时截面面积函数是什么 ? 如何用定积分表示体积 ? 提示
17、: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 垂直 x 轴的截面是椭圆 例17. 计算由曲面 所围立体(椭球体) 解: 它的面积为 因此椭球体体积为 特别当 a = b = c 时就是球体体积 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的体积. YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例18. 求曲线 与 x 轴围成的封闭图形 绕直线
18、 y3 旋转得的旋转体体积. (94 考研) 解: 利用对称性 , 故旋转体体积为 在第一象限 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 四、旋转体的侧面积 (补充) 设平面光滑曲线 积分后得旋转体的侧面积 求它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 . 取侧面积元素: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UN
19、IVERSITY 侧面积元素 的线性主部 . 若光滑曲线由参数方程 给出, 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的 不是薄片侧面积S 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 侧面积为 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例19. 计算圆 x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S . 解: 对曲线弧 应用公式得 当球台高 h2R 时, 得球的表面积公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZH
20、OU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例20. 求由星形线 轴旋转一周所得的旋转体的表面积 S . 解: 利用对称性 绕 x 星形线 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 星形线 星形线是内摆线的一种. 点击图片任意处 播放开始或暂停 大圆半径 Ra 小圆半径 参数的几何意义 (当小圆在圆内沿 圆周滚动时, 小圆上的定点的轨迹为是内摆线) 星形线 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYAN
21、GZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 内容小结 1. 平面图形的面积 边界方程 参数方程 极坐标方程 2. 平面曲线的弧长 曲线方程参数方程方程 极坐标方程 弧微分: 直角坐标方程 上下限按顺时针方向 确定 直角坐标方程 注意: 求弧长时积分上 下限必须上大下小 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 3. 已知平行截面面面积函数的立体体积 旋转体的体积 绕 x 轴 :
22、4. 旋转体的侧面积 侧面积元素为 (注意在不同坐标系下 ds 的表达式) 绕 y 轴 : (柱壳法) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 思考与练习 1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s . 提示: 交点为 弧线段部分直线段部分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 以 x 为积分变量 , 则要分 两段积分, 故以 y 为积分变量. YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHO
23、U UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 2. 试用定积分求圆 上 半圆为 下 求体积 : 提示: 方法1 利用对称性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 绕 x 轴旋转而成的环体体积 V 及表面积 S . YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 方法2 用柱壳法 说明: 上式可变形为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上 半圆为 下 此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示). YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY
24、 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 求侧面积 : 利用对称性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上式也可写成 上 半圆为 下 它也反映了环面微元的另一种取法. YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 作业 P279 2 (1) , (3) ; 3; 4; 5 (2) , (3) ; 8 (2) ; 9; 10; 22; 25; 27 ; 30 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 面积及弧长部分： 体积及表面积部分： P279 13;
25、 14 ; 15 (1), (4); 17; 18 补充题: 设有曲线 过原点作其切线 , 求 由此曲线、切线及 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一 周所得到的旋转体的表面积. YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 备用题 解： 1. 求曲线所围图形的面积. 显然 面积为 同理其它. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 又 故在区域 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVE
26、RSITY 分析曲线特点 2. 解:与 x 轴所围面积 由图形的对称性 ,也合于所求. 为何值才能使与 x 轴围成的面积等 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 3. 求曲线 所围成图形的公共部分的面积 . 解： 与 得 所围区域的面积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 设平面图形 A 由与所确定 , 求 图形 A 绕直线 x2 旋转一周所得旋转体的体积 . 提示： 选 x 为积分变量. 旋转体的体积为 4. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若选 y 为积分变量, 则