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1、25 同角三角函数的基本关系式(一) 一、素质教育目标 (一)知识教学点 1同角三角函数的基本关系式 2已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角函数 值 3利用同角三角函数关系式化简三角函数式 4利用同角三角函数关系式证明三角恒等式 (二)能力训练点 1牢固掌握同角三角函数的八个关系式并能灵活运用于 解题,提高学生分析,解决三角问题的思维能力 2灵活运用同角三角函数关系式的不同变形,提高三角 恒等变形的能力,进一步树立化归思想方法 二、教学重点、难点、疑点及解决办法 1教学重点:理解并掌握同角三角函数关系式 2教学难点:(1)已知某角的一个三角函数值,求它 的其余各三角函数值时正负号的选择;
2、(2)三角函数 式的化简;(3)证明三角恒等式 3教学疑点:运用同角三角函数关系式中三个平方 关系解题,在开平方时,根据角所在象限选择符号 三、课时安排 本课题安排2课时,本节课是第1课时 四、教与学过程设计 (一)复习任意角三角函数定义 师:上节课我们已学习了任意角三角函数定义如 图217示,设是任意大小的角,角的六个三角函 数是如何定义的呢? 生:在的终边上任意取一点P(x,y),它与原点 的距离是r(r0),则角的六个三角函数值是: (二)推导同角三角函数关系式 师:请同学们观察上述六个三角函数的定义,哪些 是互为倒数、商数关系?(学生在草稿纸上演算,教 师巡视) 生甲:通过计算我们容易
3、发现有三对函数是互为倒 数关系由于sin 所以sin与csc,cos与sec,tg与ctg互为倒数 ctg与sin,cos之间存在商数关系 师:这些三角函数中还存在平方关系,请同学们计算 sin2+cos2的值 师:我们现在sin2+cos2=1作恒等变形,当cos20时,等 式 理当sin20时,等式两边同除以sin可得 1+ctg2=csc2现在我们将同角三角函数的基本关系 式总结如下: (1)倒数关系sincsc=1,cossec=1,tgctg=1 (3)平方关系sin2+cos2=1,1+tg2=sec2, 1+ctg2=csc2 上面这些关系式,我们都称之为恒等式,即当取使 关系式
4、两边都有意义的任意值时,关系式两边的值相 等请同学们注意,以后我们所说的恒等式都是指这 个意义下的恒等式例如1+tg2=sec2,使恒等 时,如果没有特别说明,一般都把关系式看成是有意 义的,其次,在利用同角三角函数的基本关系式时, 要注意其前提“同角”的条件 (三)同角三角函数关系式的应用 师:同角三角函数关系式十分重要,应用广泛,其中 一个重要应用是根据一个角的某一个三角函数值,求 出这个角的其它三角函数值 解:是第三象限角,cos0 提问:若去掉是第三象限这个条件,应如何求的其它三 角函数值? 可能是第三象限或第四象限角,应分象限进行讨论 (1)当是第二象限角时 (2)当是第四象限角时
5、例3 已知ctg=m(m0),求cos 分析:由于ctg=m,m正负未定,故要分象限讨论 联想到1+ctg2=csc2,考虑按csc的符号分第一 、二象限角及第三、四象限角两种情形讨论 解:ctg=m0, 的终边不落在坐标轴上 (1)当是第一,二象限角时,则有csc0 (2)若是第三、四象限角时,则有csc0 在三角求值过程中应尽量避免开方运算,在不可避免 时,先计算与已知函数有平方关系的三角函数,这样 可只进行一次开方运算,并可只进行一次符号的说明 师:同角三角函数关系式还经常用于化简三角函数式 ,请看例4 例4 化简下列各式: =|sin20-cos20|=cos20-sin20 总结:在
6、(2)中运用1的代换1=sin2+cos2,从而构造 完全平方数,下节课我们还会进一步研究1的代换技 巧 师:同角三角函数关系式还经常用于求证三角恒等式 ,请看例5 左=右,原命题成立 又sin2A(csc2A-ctg2A)=sin2A1=sin2A, (1-sin2A)(sec2A-1)=sin2A(csc2A-ctg2A) 总结:三角恒等式证明的基本策略是化繁为简,证 一是分别从左、右两边推向相同的结果,还经常从 左证到右或从右证到左,在化简证明过程中还要注 意化归思想方法的运用 (四)总结 本节课我们学习了同角三角函数的八个关系式,要 注意其前提条件是“同角”,还学习了同角三角函数 关系式的三个主要应用,下节课我们进行更深入的 研究 五、作业 P148中9-14 六、板书设计