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1、第三节 偏导数与全微分 一.二元函数的偏导数 1.改变量 全改 变量 偏改 变量 偏改 变量 2.偏导数 设有函数如果极限 存在,则称此极限值为在点 处对的偏导数. 注 (1)记号 (2)在处对的偏导数等于 在处的导数.一元函数 2.偏导数 设有函数如果极限 存在, 则称此极限为 在点 处对的偏导数. 注 (1)记号 (2) 在处对的偏导数等于 在处的导数.一元函数 函数在某点各偏导数都存在, 显然 例如, 注意 ： 但在该点不一定连续. 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续! 3.偏导函数 如果函数在区域 内每一点 处都有偏导数, 则称其为对自变量或 的偏导函数,简称偏
2、导数. 注 (1)记号 (2)记号 (4)偏导函数求法 对求偏导把看作常数, 对求偏导把看作常数, 按一元函数求导法则求. (3)关系 偏导函数在处的函数值. 函数在处的偏导数等于 重要注意事项 原 始 法 则 二元函数偏导数的几何意义: 是曲线 在点 M0 处的切线 对 x 轴的斜率. 在点M0 处的切线 斜率. 是曲线 对 y 轴的 x y z O . . 偏导数的几何意义: 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 偏导数定义为 (请自己写出) 例1 . 求 解法1: 解法2: 在点(1 ,
3、 2) 处的偏导数. 例2 已知 求 解 例3 设求证 证 补充 设则 （2009年考研真题4分） 解 例4 求函数的偏导数. 解 第八章 *二、全微分在数值计算中的应用 应用 第三节 一元函数 y = f (x) 的微分 近似计算 估计误差 本节内容: 一、全微分的定义 全微分 二元函数的全微分 (1)是关于的线性式子 (2)是比高阶的无穷小量 和 二元函数的全微分 1.定义 如果函数在点处的全 改变量可以表成如下形式 其中与无关,则称函数可微, 并称为函数在点 处的全微分.记作:或 2.可导与可微及连续的关系 定理 证因可微 则 故连续. 可微必连续. 定理8.1 如果函数在点处可微, 则
4、它在该点存在两个偏导,且 证 因可微 所以 令则 从而 故 注 因为 所以 对x偏微分 对y偏微分 推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. 例如, 三元函数 习惯上把自变量的增量用微分表示, 记作 的全微分为 于是 附:偏导存在不一定可微. 例如 函数 用定义求但不可微. 反证法: 假设在处可微 则 即而不存在. 例1. 计算函数在点 (2,1) 处的全微分. 解: 例2. 计算函数的全微分. 解: 例5 求 的全微分. 解 例6 求的全微分. 解 补充 (2005年考研真题4分) 设二元函数 则 解 定理8.2 如果函数在点及其邻域 内有连续的偏导数和 则该函数在点 处可微. 证
5、 又 故 而 故从而函数可微. 多元函数连续、可导、可微的关系 函数可微 函数连续 偏导数连续 函数可偏导 可知当 *二、全微分在数值计算中的应用 1. 近似计算 由全微分定义 较小时,及有近似等式: (可用于近似计算; 误差分析) (可用于近似计算) (1)函数改变量的近似值 例7 有一两端封闭的圆柱形金属桶,底半径 5厘米,高18厘米,若在其表面上涂厚0.01 厘米的油漆,问共需油漆多少立方厘米? 解设圆柱的底半径为高为体积为 则 令 则 (立方厘米). 半径由 20cm 增大 解: 已知 即受压后圆柱体体积减少了 例8. 有一圆柱体受压后发生形变, 到 20.05cm , 则 高度由10
6、0cm 减少到 99cm , 体积的近似改变量. 求此圆柱体 (2)函数值的近似值 例9 求的近似值. 解 设 则 令代入得 作业题 习题八(A) 2、3、4、5、6、7、8、14. 思考与练习 ： 函数在可微的充分条件是( ) 的某邻域内存在 ; 时是无穷小量 ; 时是无穷小量 . 1. 选择题 2. 设 解: 利用轮换对称性 , 可得 注意: x , y , z 具有 轮换对称性 在点 (0,0) 可微 . 备用题 在点 (0,0) 连续且偏导数存在, 续, 证: 1) 因 故函数在点 (0, 0) 连续 ; 但偏导数在点 (0,0) 不连 证明函数 所以 同理 极限不存在 ,在点(0,0)不连续 ; 同理 , 在点(0,0)也不连续 . 2) 3) 4) 下面证明可微 : 说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件. 令则