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1、偏微分方程的建立 n运输方程的建立 n弦振动方程的建立 n热传导方程的建立 n泊松方程的建立 偏微分方程的导出-运输方程 1.运输方程 （石油管道运输、南水北调） 偏微分方程的导出-运输方程 偏微分方程的导出-运输方程 运输方程 ut+cux=0 水平管道内有一种流体（比如，水）以恒定速度c流动 水中含有某物质（如，污染物），以u（x, t）记其含量 方程意义：污染物含量的变化率ut正比于其梯度ux 偏微分方程的导出-运输方程 0 b u(x, t) c ch b+ch 污染物在t时刻、区间0,b内的总量 M=0bu(x, t) dx =chb+chu(x, t) dx 对b求导可得 u(b,
2、 t)=u(b+ch, t+h) 对h求导，并令h=0,可得 0=cux+ut 偏微分方程的导出-运输方程 高维运输方程 偏微分方程的导出-振动方程 2. 弦振动方程 （小提琴、吉他、二胡） 偏微分方程的导出-振动方程 u(x, t) 0 l T(x1, t) ux 1 T(x0, t) x0 x1 偏微分方程的导出-振动方程 物理假设： 柔软、均匀、细小弹性弦作微小横振动 柔软 张力方向指向弦的切线方向 均匀 弦的线密度为常数 细小 重力忽略不计 微小横振动 u, ux很小 偏微分方程的导出-振动方程 物理定律：牛顿第二定律 F=ma 纵向 横向 偏微分方程的导出-振动方程 数学简化 泰勒展
3、开式 微分可得 偏微分方程的导出-振动方程 张力T大小为常数 偏微分方程的导出-振动方程 弦振动方程的变种 空气阻力 正比于 速度 横向弹性力 正比于 位移 系统受外力 偏微分方程的导出-振动方程 弦振动方程的其他来源CRL电路 R C L 物理量：电流u(x,t), 电容 C，电阻 R，电感 L，电漏 G 物理定律：Kirchhoff定律 偏微分方程的导出-振动方程 CRL电路的方程 理想传输线：R=G=0 偏微分方程的导出-振动方程 高维振动方程-鼓面（薄膜）的振动 偏微分方程的导出-振动方程 物理假设 水平方向没有运动， D u(x,y,z,t)为竖直方向位移 平面区域 D，边界 物理定
4、律 牛顿第二定律 偏微分方程的导出-振动方程 数学化简 Green公式 弹性张力大小为常数 偏微分方程的导出-扩散方程 扩散方程油滴、墨渍等在水中扩散 x0 x1 管内从x0到x1扩散物质总质量及其变化率 偏微分方程的导出-扩散方程 物理定律Fick扩散定律 扩散物从浓度高的区域向浓度低的区域 扩散，扩散速度正比于浓度的梯度 流入量-流出量 偏微分方程的导出-扩散方程 数学简化 对x1求导，得到扩散方程 偏微分方程的导出-扩散方程 高维扩散方程 对任意区域D，有等式 由区域的任意性，可得 偏微分方程的导出-热传导方程 热传导方程 u(x,y,z,t)表示温度，H(t)表示区域D内 的总热量，c
5、为比热，为密度 热量的变化率 偏微分方程的导出-热传导方程 物理定律-傅里叶热传导定律 热量总是从温度高的区域流向温度低 的区域，流速正比于温度的梯度，因此 ，沿区域D的边界热量流出流入量为 能量守恒定律 偏微分方程的导出-热传导方程 数学化简散度定理 由区域的任意性，可得微分方程 偏微分方程的导出-泊松方程 波动或扩散的稳态方程 u(x,y,z,t)不依赖于t，则ut=0 u=0 静电场 q 偏微分方程的导出-薛定谔方程 n氢原子的薛定谔波函数方程 m电子质量，e电子电量， 普朗克常数除以 2，坐标原点为质子位置，波函数u（x,y,z,t）满 足薛定谔方程 偏微分方程的导出-薛定谔方程 物理
6、意义： 在量子力学中，物理量不能够精确测定， 只能以概率形式测定，积分 表示电子出现在区域D内的概率， 偏微分方程的导出-薛定谔方程 n薛定谔波函数方程 被认为是公理，而不是由其他更为简 单定律的推论；它解释了为什么原子结 构是稳定的，不会塌陷；波尔观察到的 氢原子中电子的能级；理论上，它可以 解释原子和分子的结构以及其化学性质 。（多粒子薛定谔方程变量太多，而不 好解。） 偏微分方程的导出-麦克斯韦方程组 n麦克斯韦方程组电磁学的基石 电磁学表述了带电粒子之间的相互 作用：带电粒子产生电场E，运动的带电 粒子产生磁场B。 n真空中的麦克斯韦方程组（齐次） 偏微分方程的导出-麦克斯韦方程组 n数学化简 真空中的电场E和磁场B满足波动方程 偏微分方程的导出-麦克斯韦方程组 n非真空中的麦克斯韦方程组（非齐次）