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1、命题及其关系 思考 下列语句的表述形式有什么特点?(句型)你能判 断 它们的真假吗? l（1） 125; l（2） 3是12的约数; l（3） 0.5是整数; l（4）对顶角相等; l（5）3 能被2整除; l（6）若x2=1,则x=1. 语句都是陈述句， 并且可以判断真假。 命题的概念 l用语言、符号或式子表达的，可 以判断真假的陈述句叫做命题。 l判断为真的语句叫做真命题。 l判断为假的语句叫做假命题。 判断下列语句是不是命题？ 判断一个语句是不是命题，关键看这语句是否符合“是陈 述句”和“可以判断真假” 这两个条件。 1)7是23的约数吗? 2)X5. 3)-23。 x4。 看看下列语句
2、是不是命题？ 不是（疑问句） 不是（疑问句） 不是（感叹句） 是（否定陈述句） 是（肯定陈述句） 不是（开语句） “若p则q”形式的命题 命题“若整数a是素数，则a是奇数。” 具有“若p则q”的形式。 qp l p叫做命题的条件,q叫做命题的结论。 l“若p则q”形式也可写成“如果p,那么q” ,其 中p和q可以是命题也可以不是命题. 例 指出下列命题中的条件p和结论q： l若整数a能被2整除，则a是偶数； l菱形的对角线互相垂直且平分。 解：1) 条件p：整数a能被2整除， 结论q：整数a 是偶数。 2) 先写成若p，则q 的形式： 若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分。 条件p：四边
3、形是菱形， 结论q：四边形的对角线互相垂直且平分。 把下列命题改写成“若p则q”的形式, 并判定真假。 (1) 负数的平方是正数. (2) 正方形的四条边相等. (3) 面积相等的两个三角形全等. (4) 等边三角形的三个内角相等. 真命题 真命题 假命题 真命题 下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件p和结论q, 你能发现各命题之有什么关系？ l若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； l若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； l若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数； l若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。 观察命题(1)与命题(2)的条件和
4、结论之间 分别有什么关系？ l若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； l若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条 件， 这两个命题叫做互逆命题。 原 命 题：其中一个命题(1)叫做原命题。 逆 命 题：另一个命题(2)叫做原命题的逆命题。 pq qp 即 原命题:若p,则 q 逆命题:若q,则p 观察命题(1)与命题(3)的条件和结论之间 分别有什么关系？ l若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； 3. 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数. p q p 原命题:若p,则q q 为书写简便,常把条件p的否定和结论q 的否
5、定分别记作 “p” “q”,读做“非p” 否命题:若p,则q 互否命题 原命题 (原命题的)否命题 观察命题(1)与命题(4)的条件和结论之间 分别有什么关系？ l若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； 4. 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数. p q q 原命题: 若p, 则q p 逆否命题: 若q, 则p 互为逆否命题 原命题 (原命题的)逆否命题 原命题,逆命题,否命题,逆否命题 四种命题形式: l 原命题: l 逆命题: l 否命题: l逆否命题: 若 p, 则 q 若 q, 则 p 若p, 则q 若q, 则p 原命题 若p 则q 逆命题 若q 则p 否命题 若 则
6、 逆否命题 若 则 互 逆 互 逆 互 否 互 否 互为 逆否 互为 逆否 四种命题之间的相互关系 （1）判断下列命题的真假？ l若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； l若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； l若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函 数； l若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函 数。 原命题原命题 (真) 逆命题逆命题 (假) 否命题否命题 (假) 逆否命题逆否命题 (真) （2）:指出下列命题的关系？并判 断真假？ l如果两个三角形全等，那么它们的面积相等； l如果两个三角形的面积相等，那么它们全等； l如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等
7、 ； l如果两个三角形面积不相等，那么它们不全等； 原命题原命题 (真) 逆命题逆命题 (假) 否命题否命题 (假) 逆否命题逆否命题 (真) 原命题:若两个角相等,则两角是对顶角 逆命题: 若两角是若两角是对顶角,则两角相等. 否命题: 若若两角不相等,则两个不是对顶角. 逆否命题: 若两角若两角不是对顶角,则两个不相等. (3)相等的角是对顶角 原命题 (假) 逆命题逆命题 (真) 否命题 (真) 逆否命题逆否命题 (假) 逆命题: 凡奇数都是质数. 否命题: 不是质数就不是奇数. 逆否命题: 不是奇数就不是质数. (4)凡质数都是奇数. 原命题 (假) 逆命题逆命题 (假) 否命题 (假
8、) 逆否命题逆否命题 (假) l原命题的真假与其它 三种命题的真假有什么 关系？ （1 1）原命题）原命题 (真) 逆命题逆命题 (假) 否命题否命题 (假) 逆否命题逆否命题 (真) （2 2）原命题）原命题 (真) 逆命题逆命题 (假) 否命题否命题 (假) 逆否命题逆否命题 (真) （3）原命题 (假) 逆命题逆命题 (真) 否命题 (真) 逆否命题逆否命题 (假) （4）原命题 (假) 逆命题逆命题 (假) 否命题 (假) 逆否命题逆否命题 (假) 原命题与逆命题未必同真假. 原命题与否命题未必同真假. 原命题与逆否命题一定同真假. 原命题的逆命题与原命题的否命题 一定同真假. 几条结
9、论: 判断正误,并说明理由: (1)若原命题是“对顶角相等”, 它的否命题是“对顶角不相等”。 (2)若原命题是“对顶角相等”, 它的否命题是“不成对顶关系的 两个角不相等”。 否命题与命题的否定 l否命题是用否定条件也否定结论的方式 构成新命题。 l命题的否定是逻辑联结词“非”作用于 判断,只否定结论不否定条件。 l对于原命题: 若 p , 则 q 有 否命题: 若p , 则q 。 命题的否定: 若 p ，则q 。 例 设原命题是“当c 0 时，若a b ，则ac bc ”，写出它 的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假： 解： 逆命题：当c 0 时，若ac bc ，则a b 逆命
10、题为真 否命题：当c 0 时，若a b ，则ac bc 否命题为真 逆否命题：当c 0 时，若ac bc ，则a b 逆否命题为真 原结论 反设词 原结论 反设词 是 至少有一个 都是 至多有一个 大于 至少有n个 小于 至多有n个 对所有x, 成立 对任何x， 不成立 准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的， 下面是一些常见的结论的否定形式. 不是 不都是 不大于 大于或等于 一个也没有 至少有两个 至多有（n-1)个 至少有（n+1)个 存在某x， 不成立 存在某x， 成立 命题及其关系 l小 结 这节课主要是学习了一个命题的逆 命题、否命题、逆否命题。并且进行 一个命题的改写成其它三种
11、命题。在 改写过程中，一定要注意命题的条件 和结论是什么。 作业 回顾 l交换原命题的条件和结论，所得的命题 是_ l同时否定原命题的条件和结论，所得的 命题是_ l交换原命题的条件和结论，并且同时否 定，所得的命题是_ 逆命题。 否命题。 逆否命题。 原命题,逆命题,否命题,逆否命题 四种命题形式: l 原命题: l 逆命题: l 否命题: l逆否命题: 若 p, 则 q 若 q, 则 p 若p, 则q 若q, 则p 例 证明：若p2q22，则pq2. 分析：将“若p2q22，则pq2”看成原 命题。由于原命题和它的逆否命题具有 相同的真假性，要证原命题为真命题， 可以证明它的逆否命题为真命
12、题。 练 p9 反证法： l要证明某一结论A是正确的，但不直接 证明，而是先去证明A的反面（非A）是 错误的，从而断定A是正确的。 l即反证法就是通过否定命题的结论而导 出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命 题的论证的一种数学证明方法。 反证法的步骤： l假设命题的结论不成立，即假设结论的 反面成立。 l从这个假设出发，通过推理论证，得出 矛盾。 l由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题 的结论正确。 可能出现矛盾四种情况： l与题设矛盾； l与反设矛盾； l与公理、定理矛盾； l在证明过程中，推出自相矛盾的结论。 反证法的步骤： l(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立 l(2)从这个假
13、设出发，通过推理论证，得出矛盾 l(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确 例 用反证法证明： 如果ab0，那么 . 练 用反证法证明： 圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。 已知：如图，在O中，弦AB、CD交于P，且 AB、CD不是直径. 求证：弦AB、CD不被P平分. 反证法的步骤： l(1)假设命题的结论不成立，即假 设结论的反面成立 l(2)从这个假设出发，通过推理论 证，得出矛盾 l(3)由矛盾判定假设不正确，从而 肯定命题的结论正确 若a2能被2整除，a是整数， 求证：a也能被2整除. 证：假设a不能被2整除，则a必为奇数， 故可令a=2m+1(m为整数), 由此得 a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明a2是奇数， 这与题中的已知条件（a2能被2整除）相 矛盾, a能被2整除.