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1、,8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,目錄,目錄,8.3 三角形中各線之間的關係,目錄 8.1,目錄,例題演示,8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題, 根據全等三角形、 相似三角形和等腰三角形的性質或判定條件，我們可以運用演繹法去證明及推論出更多的幾何結果。,A),全等三角形,在四邊形 OABC 中，OA = OC 及 AB = BC。 證明 OAB = OCB。,目錄,連接 OB，得 OAB 和 OCB，如圖所示。,OA = OC,已知,AB = CB,已知,OB = OB,公共邊, OAB OCB,SSS, OAB = OCB,全等 的對應角,8.1 利用演繹法解決與三角
2、形有關的幾何問題,重點理解 8.1.1,在圖中，AN OB，BM OA，BM 和 AN 相交於 P 。如果 OM = ON，證明,目錄,8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,(a) OAN OBM， (b) AM = BN。,返回問題,目錄,(a) 在 OAN 和 OBM中，,8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,ANO = BMO = 90,已知,ON = OM,已知,AON = BOM,公共角, OAN OBM,ASA,AM = OA OM BN = OB ON AM = BN,(b) OAN OBM,在 (a) 已證, OA = OB,全等 的對應邊,又OM = ON,已
3、知,重點理解 8.1.1,在 ACD，BD AC。E 是 BD 上的一點，且 AE = DC 及 BE = BC。,目錄,8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,(a) 證明 BA = BD。 (b) 證明 DAE = BCD 45。,(a) 在 ABE 和 DBC中，,ABE = DBC = 90,已知,AE = DC,已知, ABE DBC,RHS, BA = BD,全等 的對應邊,BE = BC,已知,返回問題,目錄,(a) 在右圖所示，設未知角 x 和 z。 在 ABD 中，,8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題, BA = BD,在 (a) 已證, x = z,等腰.
4、底角, BCD = BEA,全等 的等應角,x + z = 90, 外角, x = z = 45, DBC ABE,在 (a) 已證,= z + DAE, 外角,= 45 + DAE,即 DAE = BCD 45,重點理解 8.1.1,目錄, 根據相似三角形的性質及判定條件（AAA，三邊成比例，兩邊成比例且夾角相等）我們以演繹法作簡單證明及推論出更多的幾何結果。,例題演示,B),相似三角形,8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,目錄 8.1,在圖中，AEC 和 BED 都是直線。若 AB = 4，BC = 6，CD = 9，AC = 8 和 BD = 12，證明 (a) ABC BCD
5、， (b) ABC = BCD。,目錄,8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,返回問題,目錄,(a) 考慮 ABC 和 BCD。,8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,三邊成比例, ABC BCD,返回問題,目錄,(b) ABC BCD,8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題, ABC = BCD,在 (a) 已證,相似 的對應角,在圖中，BCD 是一條直線。若 AB = 24 cm， BC = 18 cm，CD = 14 cm 及 AC = 21 cm，,目錄,8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,(a) 證明 ABC DBA； (b) 求 AD 的長度。,返回
6、問題,目錄,8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,公共角,兩邊成比例且夾角相等,(a) 在 ABC 和 DBA 中，,ABC = DBA, ABC DBA,返回問題,目錄,8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,(b) ABC DBA,在 (a) 已證,在相似的對應邊,目錄,8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,在圖中，M 和 N 分別是 AB 和 AC 的中點。 MC 和 NB 相交於 G 點。 證明,(a) AMN ABC； (b) GMN GCB； (c),返回問題,目錄,8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,(a) 在 AMN 和 ABC 中，,已知,M
7、是 AB 的中點。,即,已知,N 是 AC 的中點。,即,公共角,兩邊成比例且夾角相等,MAN = BAC, AMN ABC,返回問題,目錄,8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,(b) AMN ABC,相似 的對應角, AMN = ABC, MN / BC,在 GMN 和 GCB中，,AAA, GMN GCB,在 (a) 已證,同位角相等,MGN = CGB,對頂角,GMN = GCB,內錯角，MN / BC,GNM = GBC,內錯角，MN / BC,返回問題,目錄,8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,(c) AMN ABC,相似 的對應邊,在 (a) 已證, GMN G
8、CB,在 (b) 已證,即,相似 的對應邊,重點理解 8.1.2,目錄,例題演示,C),等腰三角形,目錄 8.1,8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,在 ABC 中，AB = AC。D 是 AC 上的一點，使 BD AC。 證明 BAC = 2DBC。,目錄,8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,即 ACB = 90 x,設 DBC = x。,BDA = 90,已知,在 BCD 中，,DCB + x = 90, 外角,DCB = 90 x,返回問題,目錄,8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,在 ABC 中，,AB = AC,已知, ABC = ACB,BAC = 2
9、DBC,等腰 底角,即 ABC = 90 x, BAC + ABC + ACB = 180, 內角和,BAC + (90 x) + (90 x) = 180,即 BAC = 2x,目錄,8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,在圖中，D 是 AB 上的一點，AD = 12.5 cm， DB = 10 cm 及 BC = 15 cm。,(a) 證明 ABC CBD 。 (b) 若CBD = CDB，證明 ABC 是等腰三角形。,返回問題,目錄,8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,(a) 考慮 ABC 和 CBD 。,ABC = CBD,公共角, ABC CBD,兩邊成比例且夾角相
10、等,返回問題,目錄,8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,(b) 在 CBD 中，,CBD = CDB,已知, CB = CD,等角對邊相等, ABC CBD,在 (a) 已證,相似 的對應邊,即 AB = AC, ABC 是等腰三角形。,重點理解 8.1.3,目錄, 參看各圖中的 ABC：,三角形內一些特殊的線,8.2 三角形內一些特殊的線,i. 角平分線 是將一個內角平分的線段。 例如：圖中的 AD 是A 的角平分線。,目錄,三角形內一些特殊的線,8.2 三角形內一些特殊的線,ii. 垂直平分線 是垂直且平分一條邊的直線。 例如：圖中的 DE 是 AC 的垂直平分線。,iii. 中
11、線 是連接頂點與它對邊中點的線段。 例如：圖中的 BD 是一條中線。,目錄,三角形內一些特殊的線,8.2 三角形內一些特殊的線,例題演示,iv. 頂垂線是從頂點向它對邊所作的垂直線段。 例如：圖中的 BD 是一條頂垂線。,目錄,8.2 三角形內一些特殊的線,如圖中，P、Q、R 分別是 ABC 中 AB、BC、CA 上的點。已知 PQ = PR，且 PQ BC 及 PR CA，證明 CP 是 BCA 的角平分線。,返回問題,目錄,在 CPQ 和 CPR 中，,PQ = PR,已知,PQC = PRC = 90,全等 的對應角,8.2 三角形內一些特殊的線,即 CP 是 BCA 的角平分線。,已知
12、,PC = PC,公共邊, CPQ CPR,RHS, QCP = RCP,在圖中，AC 與 BD 相交於 E，且 AB = BC = CD。若 BE 是ABC 的角平分線，證明 E 是 BD 的中點。,目錄,8.2 三角形內一些特殊的線,已知,在 BAC 中，,AB = BC,即 BAC 是等腰三角形。, BE 是ABC 的角平分線。, BE AC,等腰 性質,已知,返回問題,目錄,在 CBD 中，,BC = CD,已知,即 CBD 是等腰三角形。,8.2 三角形內一些特殊的線, BEC = 90,即 CE 是由 C 至 BD 的頂垂線。, CE 是由 C 至 BD 的中線。,等腰 性質,即
13、E 是 BD 的中點。,重點理解 8.2.1,目錄 8.3,目錄,例題演示,A),三角形不等式, 在三角形中，任何兩邊長度之和必大於第三條邊的長度。 例如：在圖中， a + b c, b + c a, c + a b.,8.3 三角形中各線之間的關係,已知三條分別長 3、4 及 5 單位的線段，這些線段可以構成一個三角形嗎？,目錄,由於 3 + 4 5，4 + 5 3 和 5 + 3 4， 所以 這三條線段可以構成一個三角形。,8.3 三角形中各線之間的關係,已知三條分別長15、4 及 7 單位的線段，這些線段可以構成一個三角形嗎？,目錄,由於 15 + 4 7，15 + 7 4，但 4 +
14、7 15， 所以 這三條線段不可以構成三角形。,重點理解 8.3.1,8.3 三角形中各線之間的關係,目錄,B),三角形中特殊線的關係,1. 三角形的三條角平分線必定共點，它們的交點稱為三角形的內心。以內心為圓心，可作一圓（內切圓）與三角形各邊只相交於一點。,8.3 三角形中各線之間的關係,目錄,B),三角形中特殊線的關係,三角形三條邊的垂直平分線必定共點，它們的交點稱為三角形的外心。 以外心為圓心，可作一圓（外接圓）通過三角形的各個頂點。,8.3 三角形中各線之間的關係,目錄,B),三角形中特殊線的關係,3. 三角的三條中線必定共點，它們的交點稱為三角形的形心。 形心將每條中線分為兩段，它們的比是 2 : 1。,三角形的三條頂垂線必定共點，它們的交點稱為三角形的垂心。,目錄 8.3,例題演示,8.3 三角形中各線之間的關係,目錄,在圖中，AI、 BI 及 CI 是 ABC 的三條角平分線，三線的交點 I 便是 ABC 的內心。,8.3 三角形中各線之間的關係,目錄,在圖中，PO、 QO 及 RO 是 ABC 三邊的垂直平分線，三線的交點 O 便是外心。,在圖中，L、 M 及 N 是 ABC 三邊的中點，而 AL、BM 及 CN 是中線，三線的交點 G 便是形心。,重點理解 8.3.2,8.3 三角形中各線之間的關係,