《对偶理论和灵敏度分析第4节.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《对偶理论和灵敏度分析第4节.ppt（39页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、,运筹学 （第三版） 运筹学教材编写组 编写 清华大学出版社,第2章 对偶理论 和 灵敏度分析 第4节 线性规划的 对偶理论 钱颂迪制作,第2章 对偶理论和灵敏度分析,第4节 线性规划的对偶理论 从理论上讨论线性规划的对偶问题,4.1 原问题与对偶理论,原问题（LP）：,对偶问题(DP),标准型原问题与对偶问题的关系,例2 根据表2-3写出原问题与对偶问题的表达式。,表2-3,标准形式的变换关系为对称形式 原问题 （LP） 对偶问题(DP),非对称形式的变换关系,原问题的约束条件中含有等式约束条件时，按以下步骤处理。 设等式约束条件的线性规划问题,第一步：先将等式约束条件分解为两个不等式约束条
2、件。,第二步：按对称形式变换关系可写出它的对偶问题,设yi是对应(2-13)式的对偶变量 yi是对应(2-14)式的对偶变量。 这里i=1,2,，m,将上述规划问题的各式整理后得到,综合上述，线性规划的原问题与对偶问题的关系， 其变换形式归纳为表2-4中所示的对应关系。,例3 试求下述线性规划原问题的对偶问题,则由表2-4中原问题和对偶问题的对应关系，可以直接写出上述问题的对偶问题，,4.2 对偶问题的基本性质,(1) 对称性 对偶问题的对偶是原问题 ; (2)弱对偶性 若X是原问题的可行解，Y是对偶问题的可行解。则存在CXYb; (3) 无界性 若原问题(对偶问题)为无界解，则其对偶问题(原
3、问题)无可行解; (4) 可行解是最优解时的性质 ; (5) 对偶定理 若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解；且目标函数值相等; (6) 互补松弛性 ; (7) 原问题检验数与对偶问题解的关系.,(1) 对称性 对偶问题的对偶是原问题,证设原问题是 max z=CX; AXb； X0 根据对偶问题的对称变换关系，可以找到它的对偶问题是 min =Yb; YAC； Y0 若将上式两边取负号，又因min =max(-)可得到 max(-)=-Yb; -YA-C； Y0 根据对称变换关系，得到上式的对偶问题是 min(-)=-CX； -AX-b; X0 又因 min(-)=max 可得 max=
4、max z=CX； AXb; X0 这就是原问题。证毕。,(2)弱对偶性,证明：,(3) 无界性 若原问题(对偶问题)为无界解，则其对偶问题(原问题)无可行解,证：由性质（2）可知， 例：,从两图对比可明显看到原问题无界， 其对偶问题无可行解,y1,y2,(4) 可行解是最优解时的性质,设 是原问题的可行解， 是对偶问题的 可行解， 当 时， 是最优解。,证明：,(5) 对偶定理 若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解；且目标函数值相等。,(6) 互补松弛性,将原问题目标函数中的系数向量C用C=YA-YS代替后，得到 z=(YA-YS)X=YAX-YSX (2-15) 将对偶问题的目标函数中
5、系数列向量b，用b=AX+XS代替后，得到 =Y(AX+XS)=YAX+YXS (2-16),(7) 原问题检验数与对偶问题解的关系,设原问题是 max z=CX; AX+XS=b; X,XS0 它的对偶问题是 min =Yb; YA-YS=C; Y,YS0 则原问题单纯形表的检验数行对应其对偶问题的一个基解，其对应关系见表2-5。,表2-5 对应关系,YS1是对应原问题中基变量XB的剩余变量， YS2是对应原问题中非基变量XN的剩余变量。,证: 设B是原问题的一个可行基，于是A=(B,N)；原问题可以改写为,max z=CBXB+CNXN BXB+NXN+XS=b XB，XN，XS0 相应地
6、对偶问题可表示为 min =Yb YB-YS1=CB (2-17) YN-YS2=CN (2-18) Y，YS1,YS20 这里YS=(YS1，YS2)。,当求得原问题的一个解：XB=B-1b 其相应的检验数为CN-CBB-1N与 -CBB-1 现分析这些检验数与对偶问题的解之间的关系：令Y=CBB-1，将它代入(2-17)式，(2-18)式得 YS1=0, -YS2=CN-CBB-1N 证毕,例4 已知线性规划问题,max z=x1+x2 -x1+x2+x32 -2x1+x2-x31 x1,x2,x30 试用对偶理论证明上述线性规划问题无最优解。 先将其变换为对偶问题。,上述问题的对偶问题为
7、,min=2y1+y2 -y1-2y21 y1+ y21 y1- y20 y1，y20 由第1约束条件，可知对偶问题无可行解；原问题虽然有可行解，但最优解。,例5 已知线性规划问题,min =2x1+3x2+5x3+2x4+3x5 x1+x2+2x3+x4+3x54 2x1-x2+3x3+x4+x53 xj0，j=1，2，5 已知其对偶问题的最优解为y1*=4/5，y2*=3/5；z=5。试用对偶理论找出原问题的最优解 。,解：先写出它的对偶问题,max z=4y1+3y2 y1+2y22 y1-y23 2y1+3y25 y1+y22 3y1+y23 y1，y20,将y1* =4/5,y2* =3/5的值代入约束条件，,得=1/50；原问题的两个约束条件应取等式，故有 x1*+3x5*=4，2x1*+x5*=3 求解后得到x1*=1,x5*=1；故原问题的最优解为 X*=(1，0，0，0，1)T；*=5,以上是理解对偶单纯形法的理论基础,