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1、第七章 弯曲应力,51 引言 52 平面弯曲时梁横截面上的正应力 53 梁横截面上的剪应力 54 梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面,第五章 弯曲应力,5 引言,弯曲应力,1、弯曲构件横截面上的（内力）应力,一、纯弯曲时梁横截面上的正应力,a,F,纯弯曲梁弯曲变形时， 横截面上只有弯矩而无剪 力（ ）。,横力弯曲梁弯曲变形 时，横截面上既有弯矩又 有剪力（ ）。,弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,1、研究对象：等直细长对称截面梁,2、前提:,(a)小变形在弹性变形范围内，,(b)满足平面弯曲条件，,（c）纯弯曲。,3、实验观察:,凹边缩短,凸边伸长,横截面上只有正应力无剪应 力,纵向
2、纤维间无挤压作用,弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,中性层杆件弯曲变形时，其纵向线段既不伸长又不 缩短的曲面。,中性轴中性层与横截面的交线。,4、平面截面假设横截面变形后保持为平面，只是 绕中性轴旋转了一角度。,弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,中性轴,中性层,5、理论分析,（1）变形分布规律,o曲率中心，,y任意纵向纤维至中性层的距离,中性层 的曲率半径，,纵向纤维bb:,变形前,变形后,弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,y,所以纵向纤维ab的应变为:,横截面上距中性轴为y处的轴向变形规律。,曲率,则,曲率,则,当,(a),y,（2）应力分布规律,在线弹性范围内，应用胡克定律,(
3、b),对一定材料，,E为常数；,对一定截面，,横截面上某点处的应力与此点距中性轴的距离y成比例。,当,弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,（3）由静力平衡方程确定中性轴的位置及应力计算公式,y(对称轴),由 得,=0,将 代入，得,因此z轴通过截面形心，即中性轴通过形心。,(c),弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,图形对z轴的静矩,静力平衡条件,自动满足。,考虑平衡条件,(d),由于y轴为截面的对称轴,图形对y、z两轴的惯性积,可0；0；0；,若y 和z有一个对称轴，则惯性积为零,0,考虑平衡条件,为截面对中性轴的惯性矩。,(e),弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,可得挠曲轴的曲率方
4、程：,抗弯刚度。,正应力的计算公式为,横截面上最大正应力为,弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,截面的抗弯截面模量，反映了截面 的几何形状、尺寸对强度的影响。,矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：,竖放：,b,h,h,b,平放：,若hb, 则 。,弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,由纯弯曲推导得到的结果可推广到横力弯曲的梁：,(b) 对R/h5的曲率梁，可使用直梁公式。,非纯弯曲时的挠曲轴的曲率方程为：,正应力计算公式为,(a) 横力弯曲的细长梁，即梁的宽高比:L/h5时， 其误差不大；,弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,h, 注意：,
5、（1）在计算正应力前，必须弄清楚所要求的是哪个截 面上的正应力，从而确定该截面上的弯矩及该截面对中 性轴的惯性矩；以及所求的是该截面上哪一点的正应力， 并确定该点到中性轴的距离。,（2）要特别注意正应力在横截面上沿高度呈线性分布 的规律，在中性轴上为零，而在梁的上下边缘处正应力 最大。,弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,（4）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯性矩 的计算式。,（3）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力的正 负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状态来 确定。,弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,6、弯曲正应力强度条件：,可解决三方面问题：,（1）强度校核，即已知
6、 检验梁是否安全；,（2）设计截面，即已知 可由 确定 截面的尺寸；,（3）求许可载荷，即已知 可由 确定。,弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,例7-1 一简支梁受力如图所示。已知 ，空心圆截面 的内外径之比 ，试选择截面直径D；若外径D增加 一倍，比值不变，则载荷 q 可增加到多大？,(+),弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,解：,由强度条件,弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,例6-2 已知 材料的 ，已知： ，试校核其强度。,解：,（1）确定中性轴的位置,（2）求,弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,单位：cm,（3）正应力校核,所以结构安全。,弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的
7、正应力,弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,二、弯曲时的剪应力,在有剪应力存在的情形下， 弯曲正应力公式依然存在,剪应力方向与剪力的方向相同(与截面侧边平行)，并沿截面宽度方向切应力均匀分布（对于狭长的矩形截面适用）,假 设,弯曲应力/弯曲时的剪应力,弹性力学的研究表明当截面高度大于宽度时，材料力学关于切应力分布的假定是基本正确的。,（一）矩形截面,(+),(-),分析方法（截面法）：,1、沿 mm,nn 截面截开， 取微段dx。,dx,弯曲应力/弯曲时的剪应力,2、沿 kl 截面截开：,dx很小，在 kl 面上可认为均布。,3、列平衡方程，由 ：,即,弯曲应力/弯曲时的剪应力,代入得：,根
8、据剪应力的互等定理,剪应力互等定理：微元体互垂平面上与平面交线垂直的切应力数值相等，方向为同时指向或离开交线。,Sz 为y点以外的面积对中性轴之静矩；,（儒拉夫斯基公式）,式中符号意义：,：截面上距中性轴y处的剪应力,：y以外面积对中性轴的静矩,：整个截面对中性轴的惯性矩,b：y处的宽度,对于矩形：,弯曲应力/弯曲时的剪应力,而,因此矩形截面梁横截面上的 剪应力的大小沿着梁的高度按 抛物线规律分布。,并且,弯曲应力/弯曲时的剪应力,实心截面梁的弯曲切应力误差分析,精确解, = =,h/b,弯曲应力/弯曲时的剪应力,（四）切应力强度条件,对于等宽度截面， 发生在中性轴上；对于宽度变化的截面， 不
9、一定发生在中性轴上。,在进行梁的强度计算时，需注意以下问题：,（1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪应 力的强度条件是次要的。但对于较粗短的梁，当集中力较大 时，截面上的剪力较大而弯矩较小，或是薄壁截面梁时，也 需要较核剪应力强度。,（2）对于等宽度截面，正应力的最大值发生在横截面的 上下边缘，该处的剪应力为零；剪应力的最大值发生在中性轴上， 该处的正应力为零。对于横截面上其余各点，同时存在正应力、剪应力。这些点的强度计算，应按强度理论进行计算。,弯曲应力/弯曲时的剪应力,例7-3 铸铁梁的截面为T字形，受力如图。已知材料许用拉应力为 ，许用压应力为 ， 。试校核梁的正应力强
10、度和剪应力强度。若将梁的截面倒置，情况又如何？,200mm,约束反力：,解：,（1）确定中性轴的位置,最大静矩：,（2）绘剪力图、弯矩图,约束反力：,(+),(-),(-),20KN,10KN,10KN,10KN.m,由 、 知：,（3）正应力强度校核,对于A截面：,对于D截面：,正应力强度足够。,因此,（4）剪应力强度校核,在A截面：,剪应力强度足够。,（5）若将梁的截面倒置，则,此时强度不足会导致破坏。,三、提高弯曲强度的一些措施,一般而言，弯曲正应力对梁强度起主导作用，弯曲正应力强度条件：,在一定时，提高弯曲强度的主要途径：,（一）、选择合理截面,（1）矩形截面中性轴附近的材 料未充分利
11、用，工字形截 面更合理。,1、根据应力分布的规律选择：,（2）为降低重量，可在中性轴附近开孔。,弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施,2、根据截面模量选择：,为了比较各种截面的合理性，以 来衡量。 越大， 截面越合理。,(d=h),弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施,应该将材料尽可能分布在距中性轴较远的地方,2、根据材料特性选择：,塑性材料：,宜采用中性轴为对称轴的截面。,脆性材料：,宜采用中性轴为非对称轴的截面，,例如T字形截面：,即使最大拉、压应力同时达到许用应力值。,弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施,（二）、合理安排载荷和支承的位置，以降低 值。,1、载荷尽量靠近支座：,(+),0.25FL,
12、(+),0.16FL,弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施,(+),0.09FL,弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施,2、将集中力分解为分力或均布力。,弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施,3、合理安排支座位置及增加支座减小跨度，减小 。,0.025FL,(+),0.02FL,0.02FL,0.125FL,(+),弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施,（三）、选用合理结构,1、等强度梁,设计思想：按M(x)的变化来设计截面，采用变截面梁 横截面沿着梁轴线变化的梁。,弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施,增加支座,例如矩形截面悬臂梁，设h=const,b=b(x),则,x=0时，b=0,但要有足够的面积承受剪力。,因此,而,（沿梁轴线呈线性分布）,弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施,