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1、1,第四章 功率谱估计,2,谱估计的基本任务是根据有限个观测数据，估计平稳随机过程的功率谱密度。 谱：频谱，功率谱 对于我们所研究的信号，随机平稳信号，功率谱,3,4.1 引言,时钟, 日历: 经验谱 棱镜分解一束光:光谱 每一种谱估计的技术都可以认为是一种模型法，具体地说，就是根据过程的先验知识，建立一个近似实际过程的模型；其次利用观测数据或自相关函数来估计函数的模型参数，最后做谱估计。,4,维纳辛钦定理,5,功率谱的另一种定义,6,当信号具有遍历性时,7,辞海谱,(1)按照事务的类别或系统编成的表册，年谱 (2)供示范或寻检用的图书、样本，如棋谱、画谱、脸谱 (3)曲线：乐谱 (4)按歌词
2、作曲，曲谱 (5)大致的依据、打算：心里有谱,做事没谱 (6)左右、大约：三十元之谱,8,复杂振动用谱线表示时，代表各振动的频率和振幅的一系列直线，谱线数反映了该复杂振动所包含的谐振动的个数，各谱线的长短。,谱线,9,考虑到 是观测数据， 是随机变量，取统计平均,10,二、谱估计方法的概述,11,12,频率分辩率低，这是由于有限个观测数据加窗截断的影响。 主瓣：功率谱向附近频域扩展，谱模糊，频率分辩率低。 旁瓣：谱间干扰，强信号的旁瓣影响弱信号的检测，淹没弱信号；或者把旁瓣误以为信号。,经典谱估计的缺点,13,估计质量比经典谱估计质量有很大提高，需要针对不同的信号，选择合适的模型，但目前尚未有
3、任何理论来指导模型的选择。一般来说，AR模型适合有谱峰的信号，MA模型适合有波谷的信号。,现代谱估计,14,4.2 经典谱估计,15,一、BT法,16,1958年，Blackman和Tukey提出，在1965年FFT算法出现之前，BT法一直是最常用的方法。 理论基础：维纳辛钦定理 自相关函数的估计 功率谱的估计,17,根据前面的分析已经知道，有偏自相关函数的估计优于无偏自相关函数的估 计,18,实际上，根据有限个观测数据来估计自相关函数的，假设信号为 ，进入自相关函数估计的为 ， 估计得到得自相关函数 ，则,19,20,21,是由于截断数据而产生的，为了减少截断的影响，通常要增加一个窗函数进行
4、平滑处理。 设平滑窗为 .,22,功率谱,23,设 的持续时间为 ，需要注意的是，考虑到功率的非负性，在选择窗函数的时候，一定要保证功率谱是一个非负值。,24,误差分析,25,可以看出，方差小 M小 偏移小 M大主瓣窄，频率分辩率高 通常取数据长度的 i.e.,26,二周期图法,27,忽略求统计平均运算,1.原理：,用DFT计算功率谱,28,2.与BT法的关系,29,周期图的谱估计与有偏自相关函数的估计等价 序列后面加零，FFT谱线变密，频率分辨率并没有提高。,30,3. 周期图谱估计的 性能分析,31,(1) 均值,32,其中，,BT法谱估计,33,由(1)式可知 因此，周期图是有偏估计 当
5、 时， ，其频谱趋近于 函数，周期图的估计属于渐近无偏估计,34,（2）方差,35,假设x(n)是实的、零均值、正态白噪声信号，方差为 ，则功率谱为常数 。 令 N为数据长度,36,这里假设信号是实的白噪声信号，周期图估计是无偏估计。,37,要计算周期图的均方值，先计算,38,39,40,41,42,当N时 周期图是非一致估计,43,上面的推导是以 为依据进行推导的，其定性结果在一个相当宽的范围内立。,44,若 ， k，l均为整数，则,45,当 且k+l不是N的整数倍时, 以 的整数倍为频率间距的周期图是不相关的 协方差为零的功率谱样本之间的间距，周期图的起伏增快。,46,47,BT法和周期图
6、法的主要优点,计算量小 功率谱估计值正比于正弦波的功率 是一种良好的实用模型,48,主要缺点:,弱信号被强信号的旁瓣淹没 频率分辩率约为数据长度的倒数，且与数据的特征或信噪比无关 出现旁瓣，使谱失真 需采用某种平滑或平均措施以改善谱估计的统计特性 某些加窗的相关函数会使功率谱估计值出现负值,49,经典谱估计不可能获得良好的谱估计,m，参与求和项数，平均效果，m=N-1，只有一项。滞后量以较大的是不可靠的，估计方差大。,50,经典谱估计不可能获得良好的谱估计,周期图法用到了m=0N-1的全部相关函数的估计值 方差较大，BT法虽然可以通过使相关函数的最大滞后量MN-1来去掉那些不可靠的相关函数估计
7、值，但 M ,将FT的求和范围缩短，变换式本身的近似程度 。,51,三.经典谱估计方法的改进,52,窗口处理法：（FFT出现以前）选择适当的窗函数作为加权平均。 平均周期图法：数据分段 求出各段的平均周期图 取平均 Welch法：改进的Bartlett法,53,1.平均周期图,分L组，每组有M个数据， 第 组：,54,55,三角窗长度的减少，主瓣变宽，频率分辨率减少，因此平均周期图法是以牺牲频率分辨率换取方差的减小。,信号的功率谱,56,如果数据是不相关的（白噪声），其偏移量、方差如上面的两式所示。但实际信号存在关联性，因此，在一般情况下，估计方差的减小少于 。 当 ，功率谱越平滑。 估计的偏
8、移量与方差是一对矛盾。偏移大小反映的是频率分辨率。 当N确定， ，方差减小，频率分辨率降低。,57,方差减小有明显效果,58,2. 窗函数法,59,选择一个适当的窗函数 与周期图卷积，平滑周期图。,60,由于 的长度M数据长度N，因此窗函数平滑周期图相当于加了一个短的截断窗，使得频率分布率降低，偏移量上升，换取方差的减小。,61,3. 修正周期图法（Welch法）,62,（1）选择适当的窗函数，在计算各组周期图之前加进去。 优点：无论什么样的窗函数，均可使,Welch法对Bartlett法做了两方面的修正,63,归一化因子,64,2）在分组时，可使各组数据有重叠。方差 重叠最高可达50。,65,小结,周期图法直接对有限长序列的观测值进行FFT，再取模平方，忽略了集合平均。谱估计的结果仍时一个随机变量。 缺点： 不是一致估计，方差较大 。 增加序列长度并不能改善估计效果。,66,自相关函数法,随机序列值 自相关函数 PSD 隐含的存在一个矩形窗，缺点与周期图法类似。,