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1、一 复习微元法 二 运用微元法求旋转体体积 三 运用微元法计算已知截面积函数的物体体积,第十二讲 运用微元法求面积,第十二讲 运用微元法求体积,一 复习微元法,1) 分割。将a ,b分成n个闭子区间，为无限求和做准备。,2) 近似估值(以直代曲)。任取一个闭子区间x , x+dx，在x , x+dx上取左端点x的函数值f(x)代替小曲边梯形上的其它值。则 dA= f(x) dxA,3) 无限求和。消除误差。,第十二讲 运用微元法求体积,二 运用微元法求旋转体体积,1、 求圆锥体体积。,例1 证明：底面半径为r，高为h的圆锥体的体积为,证明,x,o,y,dx,y,x,第十二讲 运用微元法求体积,
2、二 运用微元法求旋转体体积,2、 求椭球的体积。,例2 计算由,所围图形绕 x 轴旋转而成的椭球体积。,解: 利用直角坐标方程得,则,第十二讲 运用微元法求体积,二 运用微元法求旋转体体积,例3 设平面图形 A 由,与,所确定 , 求,图形 A 绕直线 x2 旋转一周所得旋转体的体积 。,解 选 x 为积分变量，,旋转体的体积为,若选 y 为积分变量, 则,第十二讲 运用微元法求体积,二 运用微元法求旋转体体积,特别，当考虑连续曲线段,绕x轴旋转一周围成的立体体积时,第十二讲 运用微元法求体积,二 运用微元法求旋转体体积,当考虑连续曲线段,绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有,第十二讲 运用
3、微元法求体积,三、运用微元法计算已知截面积函数的物体体积,设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),则对应于小区间,的体积元素为,因此所求立体体积为,上连续,第十二讲 运用微元法求体积,三、运用微元法计算已知截面积函数的物体体积,例4 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 ,与底面交成 角,计算该平面截圆柱体所得立体的体积 。,解: 如图所示取坐标系为,则圆的方程,垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为,第十二讲 运用微元法求体积,三、运用微元法计算已知截面积函数的物体体积,例4 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 ,与底面交成 角,计算该平面截圆柱体所得立体的体积 。,思考: 可否选择 y 作积分变量 ?,此时截面面积函数是什么 ?,如何用定积分表示体积 ?,提示:,