图形学教案第四章曲线和曲面.ppt

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1、第四章 曲线和曲面,第一节 曲线和曲面表示的基础知识 第二节 Hermite多项式 第三节 Coons曲面 第四节 Bezier曲线和曲面 第五节 B样条曲线和曲面,第一节 曲线和曲面表示的基础知识,曲线和曲面参数表示 （1）与坐标轴相关的，不便于进行坐标变换； （2）会出现斜率为无穷大的情况； （3）难以灵活地构造复杂的曲线、曲面 （4）非参数的显示方程只能描述平面曲线，空间曲线必须定义为两张柱面的交线。 （5）假如我们使用非参数化函数，在某个xoy坐标系里一条曲线，一些x值对应多个y值，而一些y值对应多个x值。,在空间曲线的参数表示中，曲线上每一点的坐标均要表示成某个参数t的一个函数式，则

2、曲线上每一点笛卡尔坐标参数式是：,，,把三个方程合写到一起，曲线上一点坐标的矢量表示是：,关于参数t的切矢量或导函数是：,曲面写为参数方程形式为:,曲线或曲面的某一部分，可以简单地用atb界定它的范围,直线段 端点坐标分别是 P1x1,y1,P2x2,y2， 直线段的参数表达式是： P(t)= P1+( P2- P1) t = (1-t)P1+ tP2 0t1； 参数表示相应的x,y坐标分量是： x(t)= x1+(x2-x1) t y(t)= y1+(y2-y1) t 0t1,参数方程具有如下优点。 (1) 对参数表示的曲线、曲面可对其参数方程直接进行几何变换（如平移、比例、旋转）。 (2)

3、 便于处理斜率为无限大的问题。 (3) 有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。具有很强的描述能力和丰富的表达能力。 (4) 参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，而且对变量个数不限，从而便于用户把低维空间中的曲线、曲面扩展到高维空间去。,(5) 规格化的参数变量t0,1,使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义其边界。便于曲线和曲面的分段、分片描述。易于实现光顺连接。 (6) 易于用矢量和矩阵表示几何分量，计算处理简便易行。,曲线和曲面可以分为两类。一类要求通过事先给定的离散的点，称为是插值的曲线或曲面。另一类不要求通过事先给定的各离散点，而只是用给定各离散点形成的控

4、制多边形来控制形状，称为是逼近的曲线或曲面。,基本概念,插值 要求构造一条曲线顺序通过型值点，称为对这些型值点进行插值（interpolation）。 逼近 构造一条曲线，使它在某种意义上最佳逼近这些型值点，称之为对这些型值点进行逼近（approximation）。,参数连续性 一函数在某一点x0处具有相等的直到k阶的左右导数，称它在x0处是k次连续可微的，或称它在x0处是k阶连续的，记作Ck。几何上C0、C1、C2依次表示该函数的图形、切线方向、曲率是连续的。 几何连续性 两曲线段的相应的弧长参数化在公共连接点处具有Ck连续性，则称它们在该点处具有k阶几何连续性，记作Gk 。零阶几何连续G0

5、与零阶参数连续C0是一致的。一阶几何连续G1指一阶导数在两个相邻曲线段的交点处成比例，即方向相同，大小不同。二阶几何连续G2指两个曲线段在交点处其一阶和二阶导数均成比例。,光顺 光顺（smoothness）是指曲线的拐点不能太多，要光滑顺畅。对于平面曲线相对光顺的条件应该是：（1）具有二阶几何连续（G2）；（2）不存在多余拐点和奇异点；（3）曲率变化较小。,拉格朗日n阶多项式： 令P0(x0,y0),Pn(xn,yn)表示n+1个数据点，t0,t1,t2为任意数字，其拉格朗日n阶多项式如下： 对任意j i ,有Li(xi)=1且Lj(xj)=0,拉格朗日插值： 令P0(x0,y0),Pn(xn

6、,yn)表示n+1个数据点，希望找出通过这些点的曲线。 这里： Li(xi)是拉格朗日多项式， L(x)是插值各数据点的第n阶拉格朗日多项式,第二节 Hermite多项式,已知函数f(t)在k+1个点ti处的函数值和导数值f (j)(ti)，i=0,1,k，j=0,1,mi-1，要求确定一个N = m0 + m1 + + mk - 1次的多项式P(t)，满足下面的插值条件：,考查k=1，m0 = m1 = 2的情形。 已知表示一条曲线的某个函数f(t)在两点t0，t1的函数值f(t0), f(t1)和一阶导数值f(t0), f(t1)，求三次多项式P(t):,把a0，a1，a2和a3代入则有：

7、,经整理，所求多项式P 0(t)可以写出如下：,式中选取两个端点及其及其切向量作为曲线构造条件 混合函数如下：,设表示一条曲线的某个函数f(t)在四点t0，t1，t2，t3的函数值f(t0), f(t1),f(t2), f(t3)，根据Lagrange插值法，则三次多项式P(t)可表示为：,选择四个不同的点作为构造曲线的条件,混合函数如下：,经验证可知：,为了使P0(t)的定义区间t0tt1变为区间0u1，可以做如下变换,解出 ，代入混合函数式中，得：,将关于u的混合函数代入，所求的三次多项式成为：,令,得,对一般的Hermite插值问题，一般来说得到的插值多项式次数较高，应用起来不方便。通常

8、的处理办法是将前面给出的参数的三次多项式逐段光滑地连接，如此来确定一般情况下的插值多项式。 将前面t0和t1视为ti和ti+1，设给定f(ti)，f(ti+1)，f(ti)，f(ti+1)，则在区间ti，ti+1的Hermite三次插值多项式Pi(t)是：,为了完整地写出这个插值多项式，可以在区间ti，ti+1中引入如下一些基本函数：,完整的插值多项式可写为：,上式区间t0，tn中有定义，且为分段定义。在每个区间 ti，ti+1上，都恰有四项。满足插值条件,每段曲线Pi(t)只在ti，ti+1中有定义：,自变量的线性变换,用逆变换 代入，将所得关于u的多项式记为 ，得,其中 = =,设在平面上

9、有两点P0，Pl，它们的位置向量分别为(1，1)，(4，2)，在P0的导数值即在该点的切线向量P0 =(1，1)，在Pl处P1 =(1，-1),第三节 Coons曲面,uw表示了曲面片的方程 0w，1w，u0，u1表示四条边界曲线 u0u表示在边界线u0上的点沿u向的一阶偏导数向量，称边界线的切向量 u0w表示边界线u0上的点沿w向的一阶偏导数向量，称边界线的跨界切向量。 uwuu ，uwuw，uwww分别表示曲面片uw关于u和w的二阶偏导数向量，于是u0uu表示边界线u0上的二阶切向量，u0ww表示边界线u0上的二阶跨界切向量。,uwuw为曲面片P在点(u,w)处的扭曲向量。特别，用00，0

10、1，10，11分别表示曲面片四个角点时，00uw，01uw，10uw，11uw就分别表示在四个角点的扭曲向量。,构造具有指定边界曲线的曲面片 Coons给出的一个解法是：寻找两个混合函数f0(t)和f1(t)，它们是连续的，并且满足f0(0)=1，f0(1)=0，f1(0)=0，f1(1)=1，且f0(t)+f1(t)=1，0t1。 利用这样的混合函数，通过四条边界构造曲面片，并通过叠加修正曲面片，产生满足用户需要的曲面。,若给定四条边界曲线u0，u1，0w，1w，且0u1，0w1 在u向进行线性插值，得到直纹面为：,在w向进行线性插值，得到直纹面为：,若把这两张直纹面叠加可得到一张新曲面Ps

11、(u,w)：,Ps(u,w)上的任意一点，其位移矢量包含两个部分，一部分是由于线性插值而产生的位移，另一部分是由于边界曲线而产生的位移。,为消除Ps(u,w)中由于线性插值而产生的位移，需要构造一个新的曲面P3(u,w),构造曲面P3(u,w)后，从Ps(u,w)中去除P3(u,w)，即去除线性插值的成分，则得到Coons构造曲面 P(u,w)= Ps(u,w) -P3(u,w) =P1(u,w)+ P2(u,w)- P3(u,w) 可写成如下形式：,其中矩阵M是：,矩阵中四个元素是四个角点的位置向量，可用已知四条边界曲线计算求出。 u0，u1可以是关于u的三次多项式，0w，1w可以是关于w的

12、三次多项式，混合函数也是不超过三次的关于u或w的三次多项式，这时公式关于u看，或关于w看，都是三次多项式，是关于u或w的双三次多项式,不难验证它们符合所提问题的要求，例如我们来验证0w是它的一条边界线，这只要把u=0代入公式右端，得,曲面片以指定的曲线为其边界曲线，且有指定的跨界切向量 。 利用本章第二节定义的四个混合函数q00(t), q01(t), q10(t), q11(t)。这四个函数均是三次多项式 ，连续可微，并且还满足下面的条件：,设已经给定四条边界曲线u0，u1，0w，1w及沿这四条边界曲线的跨界切向量u0w，u1w，0wu，1wu。 这时可以计算求得四个角点的位置向量00，01

13、，10，11，切向量00w，01w，10w，11w，00u，01u，10u，11u，以及扭曲向量00uw，01uw，10uw，11uw，可以写出符合要求曲面片的数学表达式如下：,容易地验证所写出的公式满足要求，例如以u=0代入该式右端，得：,曲面片沿边界线取给定的各跨界切向量，可先对该式关于某一变量求导，例如对u求导，然后再代入u=0，这时有,指定四个角点以及在这些点上的切向量和扭曲向量后，求解曲面的表达式。 已知角点位置向量00，10以及在这两点关于u的切向量00u和01u，可以用Hermite插值公式来指定一条u边界线：,将上两式代入前式，就可以得到：,给出四个角点以及在该角点上的切向量和

14、扭曲向量来构造Coons曲面表达式。设在平面上有四点P0，Pl，P2，P3，它们的位置向量分别为(0，0，0)，(0，0.75，0)，(0.75，0，0)，(0.75，0.75，0)。该四点的切向量、跨界切向量和扭曲向量，定义在关于角点的信息矩阵M中：,第四节 Bezier曲线和曲面,Bezier曲线 给出型值点P0，P1，Pn，它们所确定的n次Bezier曲线是：,涉及到的0!及00，按约定均为1。 在n=1时,公式成为：,在n=2时，公式成为：,在n=3时，公式成为：,Bezier曲线的一些重要性质,P(0)= P0，P(1)= P1，曲线通过所给出型值点列的起点和终点。,Bezier曲线

15、的对称性,曲线的凸包性 对给定的型值点P0，P1，Pn点集,分段的三次Bezier曲线光滑连接,设给出两个Bezier多边形P0P1P2P3和Q0QlQ2Q3，显然，使所决定的两条Bezier曲线在连接点处连续的条件是P3=Q0。 Bezier曲线在连接点处G1连续，即一阶导数几何连续，就要求Q0=aP3，这里a应该是一个正数。由前面的公式，知Q0=3(Q1Q0)，P3=3(P3P2)，因此可知使在连接点处G1连续的条件是：,由此得,连接点处达到C2连续，即二阶导数参数连续的条件 对前面的公式求两次导数，可得，,于是知， 要求， 即 ，注意到Q0=P3，由此得：,绘制Bezier曲线时，可以利

16、用其定义式，对参数t选取足够多的值，计算曲线上的一些点，然后用折线连接来近似画出实际的曲线。随着选取点增多，折线和曲线可以任意接近。 假设给定的四个型值点是P0=(1，1)，Pl=(2，3)，P2=(4，3)， P3=(3，1)，则计算结果见表,绘制Bezier曲线的方法,几何作图法 分裂法,记点Pk，Pk+l，Pl可以生成的Bezier曲线为Pk,l(t)，0t1，则成立下面的递推关系：,证明上式，要用到组合等式：,void bez_to_points(int n,int npoints,double P,double points) / P为控制点坐标 points为采用几何作图算法生成的

17、Bezier曲线上的离散点序列 离散点序列points的个数为npoints 控制点P的个数为n +1 double t,delt; delt=1.0/(double)npoints;/将参数t npoints等分 t=0.0; for(int i=0;i=npoints;i+) pointsi=decas(n, P, t); /分别求出npoints+1个离散点points的坐标 t+=delt; ,double decas(int n,double P,double t) int m,i; double *R, *Q, P0; R = new doublen +1; Q = new dou

18、blen +1; for(i=0;i0;m-) ,/n次Bezier曲线在点t的值，可由两条n-1次Bezier曲线 /在点t的值通过线性组合而求得。 Qi= R i+t*( R i+1- R i); for(i=0;i= m -1;i+) Ri= Q i; P0=R0; delete R; delete Q; return (P0); ,设给出四点的坐标是(1，1)，(2，3)，(4，3)，(3，1)，求所确定三次Bezier曲线在t=1/3时的值P(1/3)，算法的计算过程,Bezier几何作图算法计算过程,设控制点序列P0，P1，Pn确定的n次Bezier曲线是P(t)，用如下递归方式计

19、算另一组点集：,如果令Pa(s)和Pb(s)分别是以控制点序列 和 确定的Bezier曲线，其中0s1，那么就有：,己知四点P0，P1，P2，P3，确定了一条三次Bezier曲线P(t)，可写出下式，,分裂法中的递归计算,分裂法的示意图,可通过计算验证Bezier曲线由前后两段构成。现以P0的系数为例，验证两端它的系数是相等的。 左端显然就是 。先看右端。若0t ，这时就用前半段的表达式，观察分裂计算图注意到 中有1份P0， 中有 份， 中是 份， 中是 份，因此全部P0的系数是：,右端对 t1，注意到仅 中有 份的P0，知P0的系数是：,设己知三次Bezier曲线P(t)的控制顶点是P0，P

20、1，P2，P3，在P( )处将曲线分为两段，求出前半段的控制顶点Q0，Ql，Q2，Q3和后半段的控制顶点R0，R1，R2，R3，。有算法如下,void split_Bezier(Point P) Point R4,Q4; int i,j; for(i=0;i=3;i+) Ri=Pi;,for(i=0;i=2;i+) Qi=R0; for(j=0;j=2-i;j+) Rj.x=(Rj.x+Rj+1.x)/2; /分别对相邻两控制点间的线段进行分裂 Rj.y=(Rj.y+Rj+1.y)/2; Q3=R0; ,分裂算法的计算,根据Bezier曲线的凸包性质，知道曲线上任意一点到线段P0P3的距离，小

21、于P1和P2到线段P0P3距离中的较大者，即有：,任意事先给定的对画出曲线近似程度的要求0，可以取max(d(P1，P0P3)，d(P2，P0P3)为分裂停止的条件。,void new_split_Bezier(Point P) Point R4,Q4; int i,j; const double epsilon=0.01; if(maxdistance(P)epsilon) /*maxdistance(P) 为求max(d(P1,P0P3)，d(P2,P0P3)的函数*/, MoveTo(P0.x,P0.y); LineTo(P3.x,P3.y); else for(i=0;i=3;i+)

22、Ri=Pi; for(i=0;i=2;i+) Qi=R0; for(j=0;j=2-i;j+) Rj.x=(Rj.x+Rj+1.x)/2; Rj.y=(Rj.y+Rj+1.y)/2; Q3=R0; new_split_Bezier(Q); new_split_Bezier(R); ,有理Bezier曲线,图中h0=h1= h3=1，当h2=0、1/2、1、2、4时曲线逐渐地靠近P2点,Bezier曲面,若在空间给定(m+1)(n十1)个控制点，Vij，i=0，1，m，j=0，1，n，令,上式曲面为mn次的Bezier曲面,当m=n=1，公式成为：,设v00，v01，v10，v11四点依次是(0

23、，0，0)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，则可得P1,1(u，w)的坐标形式的参数方程为：,消去参数，就得马鞍面方程：,当m=n=3，曲面成为：,设同一个曲面片，用Coons曲面形式确定它，又用Bezier形式确定它，现在来考查、矩阵M与矩阵B有什么关系。,求解上式得：,四个角点00，0l，10和11分别对应控制点V00，V03，V30和V33，这是很自然的。关于切向量，例如00w=3(V01-V00)，表明00w，是沿从V00到V01边的方向，大小是两个位置向量差的3倍，其余切向量是类似的。,00uw，有：,00uw还可以写做：,双三次Coons曲面与Bezier曲面间的关

24、系,第五节 B样条曲线和曲面,B样条曲线 给定n+1个控制点P0，P1，Pn，它们所确定的k阶B样条曲线是：,其中Ni，k(u)递归定义如下：,这里u0，u1，un+k，是一个非递减的序列，称为节点，(u0，u1，un+k)称为节点向量。定义中可能出现 ，这时约定为0。,选取，n=2，k=1，控制顶点是P0，P1，P2，这样应选择参数节点n+k+1=4个，设节点向量是(u0，u1，u2，u3)，按式定义，可写出三个基函数：,由公式可知所定义的B样条曲线是,选取n=3，k=2，于是有四个控制顶点P0，P1，P2，P3，应有参数节点n+k+1=6个，设节点向量是(0，0，1，2，3，3)，试画出所

25、确定的2阶B样条曲线。 取u=0.5，进行计算。因为0.50，1=u1，u2，因此N1,1(0.5)=1，而其它的Ni,1(0.5)=0，i1。往下公式做递归计算。,N2,2(0.5)和N3,2(0.5)，不必计算，因为计算它们需要的i2时的Ni,1(0.5)=0，所以知N2,2(0.5)=N3,2(0.5)=0。这样代入公式计算P(0.5)，有：,再取u其它一些值进行计算，结果如表所示。,选取n=3，k=4，平面上四个控制顶点P0，P1，P2，P3的坐标依次是(1，1)，(2，3),(4，3)，(3，1)，这时应取参数节点n+k+1=8个，设选取节点向量为(0，0，0，0，1，1，1，1)，

26、画出所确定的4阶B样条曲线。 计算N1,4(0.5) ，其中0.50，1=u3，u4,N3,1(0.5)=1，而对i3，Ni,1(0.5)=0。,用类似的过程可计算求出：,曲线上对应参数u=0.5的点是：,可以证明更一般的结论，即，n+1个控制点P0，P1，Pn所确定的最高阶的B样条曲线是k=n+1阶的，这时由节点向量(0，0，0，1，1，1)所确定的B样条曲线，与该n+1个控制点所确定的Bezier曲线相同。 在参数节点的众多选取方法中，最多使用的是选择参数u的每一区间为等长的情况，这时所得到的B样条函数称为是等距的，或均匀的。以下我们转入讨论等距的B样条曲线。考虑使用较多的情况，可假定ui

27、=i,i=0，1，n+k，再引入tj=u-ui+j，因为这可以使得 ui+juui+j+1与0tj1是一致的。,递归式，经过计算，可以写出：,如果固定在ui+3uui+4区间，可以写出：,上述结果对任意的i成立，令i=0，可写出四个B样条函数：,由节点向量(0,1,2,3,4)所确定的均匀B样条基函数Ni,4(u)曲线（i=0,1,2,3）。图所示的B样条基函数Ni,4(u)由四条三次多项式曲线片拼接而成。当节点在区间ui,ui+k上B样条曲线基函数Ni,k(u)大于0，而在其它区间上则为0，并且Ni,k(u)在节点（ui, ui+1, ui+k）处是连续的,设给出n+1个控制点P0，P1，P

28、n，则所确定的4阶3次等距B样条曲线是：,曲线的性质,Pi，Pi+1，Pi+2，Pi+3确定的一段曲线的起点的位置向量、切线向量及二阶导向量，事实上都只与PiPi+1Pi+2有关，而终点处各量只与Pi+1Pi+2Pi+3，有关。如果考虑接下去的一段曲线，即Pi+1，Pi+2，Pi+3，Pi+4确定的一段，在其起点，上述各量就只与Pi+1Pi+2Pi+3有关，并恰好是前一段曲线终点处的上述各量，自然是对应相等的。这就证明了曲线在拚接处是连续的，一阶和二阶导数也是连续的。因此知道4阶3次等距B样条曲线：虽然分段确定，但各段拚接处有直到二阶导数的连续性，整条曲线是光滑的。,4阶3次等距B样条曲线具有凸包性，这通过验证0Nj,4(u)1，0j3及,用B样条曲线可构造直线段、尖点、切线等特殊情况。对于4阶3次B样条曲线P(u)若要在其中得到一条直线段，只要控制点Pi，Pi+1，Pi+2，Pi+3四点位于一条直线上，此时P(u)对应的ui+3uui+4的曲线即为一段直线，且和Pi，Pi+1，Pi+2，Pi+3所在的直线重合。为了使P(u)能过Pi点，只要Pi，Pi+1，Pi+2三点重合，此时P(u)过Pi点（尖点）。,B样条曲面,0u1，0w1，0kK，0lL每一个曲面片Qkl(u，w)由16个控制点确定。,思 考 题,P99页1、15题,