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1、第二课时 利用导数研究函数的单调性,第四章 导数及其应用,知识梳理,函数的导数与函数的单调性的关系 1(函数单调性的充分条件)设函数yf(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内y0，那么函数yf(x) 在这个区间内为_；如果在这个区间内y0，那么函数yf(x)在这个区间内为_ 2(函数单调性的必要条件)设函数yf(x)在某个区间内有导数，如果函数yf(x) 在这个区间内为增函数，那么在这个区间内_；如果函数yf(x) 在这个区间内为_，那么在这个区间内_,答案：1增函数 减函数 2.y0 减函数 y0,3求可导函数的单调区间的一般步骤和方法 (1)确定函数_的定义域； (2)计算导数_，令
2、_，解此方程，求出它们在定义域区间内的一切实根； (3)把函数_的间断点(即f(x)的无定义的点)的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把_的定义域分成若干个小区间； (4)确定_在各个开区间内的符号，根据_的符号判定函数_在每个相应小区间的增减性(若_0，则f(x)在相应区间内为增函数；若_0，则f(x)在相应区间内为减函数),答案：3.(1)f(x) (2)f(x) f(x)0 (3)f(x) f(x) (4)f(x) f(x) f(x) f(x) f(x),基础自测,1(2010年广州天河区检测)函数f(x)x33x21是减函数的区间为( ) A(2，) B(，2)
3、 C(，0) D(0,2),解析：y3x26x，令3x26x0，解得0x2.故选D. 答案：D,2(2011年徽州检测)若函数f(x)axln x在 上是增函数，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D.,D,3(2010年佛山南海区第一中学检测)函数f(x)x22ln x的单调减区间是_,解析：首先考虑定义域(0，)，由f(x)2x 0及x0知0x1. 答案：(0,1),4(2010年深圳福田区检测)若函数h(x)2x 在(1，)上是增函数，则实数k的取值范围是_,答案： 2，),(2010年南海一中模拟)求函数f(x)xln x的单调区间,解析：由f(x)xln x易知x0，所以函
4、数的定义域为(0，)，f(x)ln x10解得x ， 由f(x)ln x10，解得0x ，故函数f(x)xln x的单调递增区间是(e1，), 单调递减区间是(0，e1),变式探究,1(2010合肥质量检测)函数f(x)2x33x210的单调递减区间为_,解析：f(x)6x26x，令f(x)6x26x0，解得0x1，所以函数f(x)2x33x210的单调递减区间为(0,1) 答案：(0,1),(2011年西安模拟)已知函数f(x)x33ax1，a0. (1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围,解析：(1)f(x)
5、3x23a3(x2a)， 当a0时，对xR，有f(x)0，所以当a0时， f(x)的单调增区间为(，)；,(2)因为f(x)在x1处取得极值，所以f(1)3(1)23a0，a1.所以f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0解得x11，x21. 由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3. 因为直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，又f(3)193，f(3)171， 结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(3,1),变式探究,2(2010年广州调研)已知函数f(x)x3ax2x1，aR. (1)当a2时，求函数f(x)
6、的单调区间； (2)设函数f(x)在区间 内是减函数，求a的取值范围,解析：(1)当a2时，f(x)x32x2x1， f(x)3x24x1， 令f(x)0解得：x1或x ； 令f(x)0解得：1x .,已知f(x)exax1. (1)求f(x)的单调增区间； (2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围； (3)是否存在a，使f(x)在(，0上单调递减，在0，)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由,解析：f(x)exa. (1)若a0，f(x)exa0恒成立，即f(x)在R上递增 若a0，由exa0，exa，xln a. f(x)的单调递增区间为(ln a，),(2)f(
7、x)在R内单调递增，f(x)0在R上恒成立 exa0，即aex在R上恒成立 a(ex)min，又ex0，a0. (3)解法一：由题意知exa0在(，0上恒成立 aex在(，0上恒成立 ex在(，0上为增函数 x0时，ex最大为1.a1. 同理可知exa0在0，)上恒成立 aex在0，)上恒成立a1，a1. 解法二：由题意知，x0为f(x)的极小值点， f(0)0，即e0a0，a1，经检验符合题意,变式探究,3(2011年柳州模拟)已知： 函数f(x) (1) 判断函数f(x)的奇偶性； (2) 求f(x)的单调区间； (3) 若关于x的方程f(x)k恰有三个不同的根，求实数k的取值范围,解析：
8、(1)当x0时，x0， f(x)xln(x)，f(x)xln(x)， f(x)f(x)， f(x)是奇函数 (2)当x0时，f(x)xln x，,(3)考察f(x)的图象变化，由(2)知，,方程f(x)k恰有三个不同的根， f(x)的图象与yk的图象应有3个不同的交点， k0或0k .,(2010年全国卷)设函数f(x)1 .证明：当x1时，f(x) .(节选),思路分析：欲证f(x) ，(x1)，即证 ，也就是证exx1，即证exx10，假设构造函数g(x)exx1，(x1)，若能证明当x1时，g(x)min0，则问题得证,证明：当x1时，f(x) 当且仅当ex1x. 令g(x)exx1，则
9、g(x)ex1. 当x0时，g(x)0，g(x)在0，)是增函数； 当x0时，g(x)0，g(x)在(，0是减函数 于是g(x)在x0处达到最小值，因而当xR时，g(x)g(0)，即ex1x，所以当x1时，f(x) .,点评：通过构造函数， 利用导数判断出所构造的函数的单调性， 利用单调性证明不等式这也是证明不等式的一种有效方法,变式探究,4证明不等式ex1x.(xR),提示：构造函数f(x)ex1x，利用导数证明函数f(x)ex1x是增函数，ex1x.,教师用书备选题,(2010年苏州模拟)f(x)ax33x1对于x ，总有f(x)0成立，则a_.,思路分析：本小题考查函数单调性及恒成立问题
10、的综合运用，体现了分类讨论的数学思想,解析：要使f(x)0恒成立， 只要f(x)min0在x 上恒成立 f(x)3ax233(ax21) (1)当a0时，f(x)3x1，所以f(x)min20，不符合题意，舍去,(2)当a0时，f(x)3ax233(ax21)0，即f(x)单调递减，f(x)minf(1)a20a2，舍去,当 1，即a1时，f(x)在x 上单调递减，f(x)minf(1)a20a2，不符合题意，舍去 综上可知a4.,答案：4,变式探究,5(2009年厦门大同中学检测)设函数f(x)x32ax23a2x1,0a1. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若x1a,1a时，恒有a
11、f(x)a成立(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，试确定实数a的取值范围,解析：(1)f(x)x24ax3a2，且0a1, 当f(x)0时，得ax3a； 当f(x)0时，得xa或x3a； f(x)的单调递增区间为(a,3a)； f(x)的单调递减区间为(，a)和(3a，),当0a时，1a2a，f(x)在区间1a,1a内是单调递减. f(x)maxf(1a)8a26a1， f(x)minf(1a)2a1. af(x)a，,1利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f(x)0(或f(x)0)仅是f(x)在某个区间上递增(或递减)的充分条件在区间(a，b)内可导的函数f(x)
12、在(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)恒成立，且f(x)在(a，b) 的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x0处有f(x0)0，甚至可以在无穷多个点处f(x0)0，只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间，因此在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f(x)0(或f(x)0)恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f(x)不恒为0，则由f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)恒成立解出的参数的取值范围确定,2
13、用导数求函数单调区间也可按如下步骤进行 (1)求函数f(x)的导数f(x)； (2)令f(x)0，解不等式得x的范围就是递增区间； (3)令f(x)0，解不等式得x的范围就是递减区间 3讨论含参数的函数的单调性时，必须注意分类讨论,1(2009年广东卷)函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是 ( ) A(，2) B(0,3) C(1,4) D(2，),解析：f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex， 令f(x)0，解得x2，故选D. 答案：D,2(2010年辽宁卷)已知函数f(x)(a1)ln xax21. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)设a2，证明：对任意x1，x2(0，)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|.,解析：(1) f(x)的定义域为(0，)，,当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)单调递增； 当a1时，f(x)0, 故f(x)在(0，)单调递减；,当1a0时，令f(x)0，解得x,f(x)0；,(2)证明：不妨假设x1x2.由于a2，故f(x)在(0，)上单调递减 所以 4 等价于f(x2)f(x1)4x14x2，即f(x2) 4x2f(x1) 4x1. 令g(x)f(x)4x，则,从而g(x)在(0，)上单调递减，故g(x1) g(x2)， 即f(x1) 4x1f(x2) 4x2，故对任意x1，x2(0，)， 4 .,祝,您,学业有成,