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1、1,第四章 函数极限通论,郇中丹 2006-2007学年第一学期,2,基本内容,1 数值函数极限的统一形式 2 函数沿基极限的性质 3 函数沿基极限存在的条件,3,1.数值函数极限的统一形式,一元函数极限的基本形式 集合基 函数沿基收敛 函数沿基的无穷极限,4,一元函数极限的基本形式,微积分研究的基本对象是 . 基本工具是极限. 而一元数值函数(m = n = 1)是其中的最简单和最基本情形. 在微积分中, A一般是区间. 一元函数的极限分成下面的六类: 在一点的极限、在一点的左极限、在一点的右极限、在处的极限、在+处的极限、在-处的极限. x0相对于A的空心邻域=xA | 0|x-x|d.,
2、5,集合基,集合基: 设A是非空集合. A的子集族B叫作A的一个(集合)基, 如果B满足如下两条性质: B包含无限多个A的非空子集, 的元素叫作终端； b1, b2B, b3B, b3b1b2. 集合基的例子: 1. A=N, B=b=nN | nk | kN; 2. A=I, x0I, B=b=xA | 00; 3. A=I, x0I, B=b=xA | 00; 4. A=R, B=b=(c,+) | c0.,6,函数沿基收敛,设: AR, B是A的一个基, lR.沿B收敛到极限l, 如果e0, bB, xb, |(x)-l|e. 记做(x)l(沿基B)或 例子: 1. 数列极限, 常用记号
3、; 数列基. 2. 函数在一点的极限,常用记号;双侧基. 3. 函数在一点的左极限,常用记号;左侧基. 4. 函数在一点的右极限,常用记号;右侧基. 5. 函数在+处的极限,常用记号;+侧基. 6. 函数在处的极限,常用记号. 基.,7,函数沿基的无穷极限,设: AR, B是A的一个基, lR.沿基B有极限+, 如果c0, bB, xb, (x)c. 记做(x) +(沿基B)或 类似地可以给出极限为, 或-的定义. 在下面的讨论中, 如果没有特殊申明, 一般讨论所说的极限都是有限极限.,8,习题八 (I),1. 写出下列极限的定义和相应的基: 2. 验证下列极限,9,习题八 (II),3. 证
4、明: 数列基,双侧基,左侧基,右侧基, +侧基, -侧基和基都具有如下性质: 存在可数多个终端bn满足 (1) 若mn, bnbm; (2) 对于任何终端b, n, bnb. sn(x) A A若bR ,10,2 函数沿基极限的性质,函数的有界性与无穷小量 极限基本性质,11,函数的有界性与无穷小量,函数的有界性: 设: AR, DA. 如果存在c0,使得xD, |(x)|c, 就说在D上有界. 类似地可以定义有上界和有下界. 函数的终极有界性:设: AR, B是A的一个基.如果存在bB,使得xb, |(x)|c, 就说关于基B终极有界. 类似地可以定义终极有上界和终极有下界. 无穷小量: 若
5、a(x)0 (沿基B), 就称a是沿基B的无穷小函数或无穷小量.,12,极限基本性质 (I),1.惟一性: 若函数沿基B的极限存在,则极限是惟一的. 2. 极限的终极惟一性: 设存在bB, 使得xb, (x)=g(x). 如果(x)l (沿基B), 则g(x)l (沿基B). 3.终极有界性: 若(x)l (沿基B), 则关于基B终极有界.,13,极限基本性质 (II),4.非零极限的终极保号性:设(x)l (沿基B). 若l0, 则存在bB, 使得xb, (x)l/2.若l0, 则存在bB, 使得xb, (x)l/2. 5. 无穷小估计: 设a是沿基B的无穷小量, 沿基B终极有界. 若bB,
6、 xb, |b(x)|a(x)(x)|, 则b是沿基B的无穷小量. 6. 极限的算术性质:若(x)l1 (沿基B), g(x)l2 (沿基B), 则(x)+g(x)l1+l2(沿基B), (x)g(x) l1l2 (沿基B), (x)/g(x) l1/l2 (沿基B) (若l2 0).,14,极限基本性质 (III),7. 保序性1:设(x)l (沿基B).若bB,xb,(x) c,则 lc.类似地,若bB,xb, (x)c, 则Lc. 8.保序性2:设(x)l1,g(x)l2 (沿基B).若bB, xb, (x)g(x),则 l1l2. 9.夹逼性质2:设(x)l,h(x)l (沿基B).若
7、bB, xb, (x)g(x)h(x), 则g(x) l (沿基B).,15,习题九 (I),1. 设和g是定义在区间(a,b)上的函数. 给出 中相应的基B和相应的极限定义. 证明: 如果g(x) l 0(沿基B), 则(x)g(x)+(沿基B). 2. 计算下列极限:,16,习题九 (II),3. 计算下列极限: 4. 设: (0,+)R且对于任何a0, 在(0, a)上有界. 证明: 如果 , 则,17,3函数沿基极限存在的条件,函数沿基存在极限的Cauchy准则 Heine收敛性和常见基 Cauchy收敛性和Heine收敛性 复合函数的极限定理 无穷小函数的阶 大O与小o记号,18,函
8、数沿基存在极限的Cauchy准则,Cauchy准则: 函数沿基B有极限, 当且仅当e0, bB,使得x,yb, |(x) -(y)|0,则bB,使得xb, |(x) - l|0,bB,使得x,yb,| (x)-(y)| e. 先构造构造出候选极限l, 然后证明(x)l. 3.构造闭区间套Dn和终端列b(n)使其满足: (1) xb(n), (x)Dn; (2) 若nm, b(m)b(n); (3) |Dn|1/n. (先假定已经得到Dn和b(n),19,Cauchy准则证明 (续I),4. 由闭区间定理, !l Dn. 下面证明(x)l (沿基B). 任取e0, 则存在n使得1/ne. 则xb
9、(n), (x)Dn; 由lDn, |(x) - l|Dn|1/ne. 5. 递归构造所需闭区间套Dn和终端列b(n): 取e=1, 则b(1)B,使得x, yb, |(x) -(y)|1. 取定yb(1),则xb(1),|(x)|1+|(y)|.记 m(1)=inf(x) | xb(1); M(1)=sup(x) | xb(1). 取D1=m(1),M(1). 则M(1)-m(1)sup f(x)-inf f(y) =sup f(x)+sup-f(y)=sup(f(x)-f(y)sup|f(x)-f(y)|1.,20,Cauchy准则证明 (续II),假设完成闭区间套Dn和终端列b(n)前k
10、个闭区间和前k个终端的构造使得当n,m=1,k时,有(1) xb(n), (x)Dn; (2) 若nm, b(m)b(n); (3) |Dn|1/n. 对于n=k+1,取e=1/(k+1), 则bB,使得x,yb, |(x)-(y)|1/(k+1). 取b(k+1)=bb(k). m(1)=inf(x)|xb(k+1);M(1)=sup(x)|xb(k+1). 取Dk+1=m(1),M(1). 则M(k+1)-m(k+1)1/(k+1).不难验证性质(1-3). #,21,Heine收敛性和常见基,Heine收敛性: 设: AR. B是A的一个基. 如果对于任何A中满足下列条件的序列xn: b
11、B, n0,nn0, xnb,必有数列(xn)收敛, 就说沿基B在Heine意义下收敛. 常见基: 集合A的基B叫作常见的, 如果B有一个可数子集C=cn, 使得bB, cC,cb.这里要求m,nN, mn, cmcn. 例子: 数列基, 双侧基, 左侧基, 右侧基,+基,-基和基都是常见基.,22,Cauchy收敛性和Heine收敛性(I),Cauchy收敛性保证Heine收敛性: 如果(x)l(沿基B), 则沿基B在Heine意义下收敛. 证明: 假设(x)l(沿基B).任取A中的xn满足: bB, n0,nn0, xnb.对于数列(xn),任取e0,bB,使得x,yb, |(x) -(y
12、)|n0, xnb. 因而m,nn0, xm, xnb, 所以|(xm) -(xn)|e. 因此(xn)收敛. 者就得到沿基B在Heine意义下收敛.#,23,Cauchy收敛性和Heine收敛性(II),关于常见基的Heine收敛性保证Cauchy收敛性:设沿常见基B在Heine意义下收敛.则沿基B是Cauchy收敛的. 证明: 1. 反证. 假设沿基B不是Cauchy收敛的.则存在e0, 使得bB, x,yb满足|(x)-(y)|e.特别nN, xn,yncn满足|(xn)-(yn)|e. 2. 定义数列zn: 当n为偶数时, zn=xn/2; 当n为奇数时, zn=y(n+1)/2. 则
13、(zn)是发散的. 这是由于n N, |(z2n+2)-(z2n+1)|=|(xn+1)-(yn+1)| e.,24,Cauchy收敛性和Heine收敛性(III),3.数列zn满足bB, n0,nn0, znb. 这是由于bB, cmb, 这样km, ckcmb, 因而n2m时, znb. 4.所以沿常见基B在Heine意义下不收敛.矛盾.#,25,复合函数的极限性质 (I),定理1. 设g: AR, :DR, g(A)D. B是A的一个基.若g(x)l(沿基B),(y)(l) (yl),则(g(x) (l) (沿基B). 证明: 任取e0, 由(y)(l) (yl), 存在d0, 使得yD
14、, |y-l|d, 必有|(y)(l)|e. 在由g(x)l (沿基B), 存在bB,使得xb, |g(x)-l|d. 注意g(x)D, 则xb,|(g(x)-(l)|e.所以(g(x) (l) (沿基B). #,26,复合函数的极限性质 (II),定理2. 设g: AR, :DR, g(A)D. B是A的一个基.若g(x)l(沿基B), 且bB, g(b)D且xb, g(x)l, (y)l (yl),则(g(x)l (沿基B). 定理3. 设g: AR, :DR, g(A)D. B是A的一个基.若g(x)+(沿基B), (y)l (y +),则(g(x)l (沿基B). 定理2和定理3的证明
15、留作习题。,27,无穷小函数的阶,高阶无穷小: 设a(x), b(x), g(x)是沿基B的无穷小函数, 并且在基的某个终端上b(x)0. 如果成立 a(x)=b(x)g(x) 就说a(x)是比b(x)高阶的无穷小. 等价无穷小:设a(x)和b(x)是沿基B的无穷小函数, 如果a(x)-b(x)是比a(x)或b(x)高阶的无穷小,就说a(x)和b(x)是等价无穷小.记作ab. 命题:设a(x)和b(x)是沿基B的无穷小函数. 当且仅当a(x)/b(x)1(沿基B),或b(x)/a(x)1(沿基B).,28,大O与小o记号,设函数和g是A上的实值函数, B是A的一个基,并且g在基B的某个终端上不
16、取零值. 设h=/g. 如果h终极有界(沿基B),就说是大Og (沿基B),记作=O(g)或0, 使得bB, xb, 使得|h(x)|d,就说是W g,记作=W(g); 特别若(x)=O(xm) (x0), 就说(x)是m阶无穷小(x0).,29,大O与小o记号的例子,1. (x+1)/(x+2)=O(1) (x ); 2. (sin x)/x=o(1) (x ); 3. (sin x)/x=O(1/x) (x ); 4. (sin x)/x=W(1/x) (x ); 5. x1/2-x x1/2 (x 0+); 6. x1/2-x -x (x +). sn(x) A A若bR ,30,习题十,1. 设g: AR,:DR,g(A)D.B是A的一个基.若g(x)l(沿基B), 且bB, g(b)D且xb, g(x)l, (y)l (yl),则(g(x)l (沿基B). 2. 设g: AR, :DR, g(A)D. B是A的一个基.若g(x)+(沿基B), (y)l (y +),则(g(x) l (沿基B). 3.计算下列函数在x+时, 下列函数关于无穷小1/x的阶数:,31,sn(x) A A若bR ,32,sn(x) A A若bR ,