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1、第四课时 生活中的优化问题,第四章 导数及其应用,知识梳理,1优化问题：社会经济生活、生产实践与科学研究等实际问题中有关求利润_，用料_，效率_等问题通常称为_问题 2利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤： (1)分析实际问题中各个量之间的关系，建立实际问题的_，写出实际问题中_，根据实际问题确定_,答案：1.最大 最省 最高 优化 2.(1)数学模型 变量间的函数关系式yf(x) 定义域,(2)求函数yf(x)的_，解方程_，得出定义域内的实根，确定_ (3)比较函数在_和_的函数值的大小，获得所求函数的最大(小)值 (4)还原到原实际问题中作答,答案：(2)导数f(x) f(x)0 极值
2、点 (3)区间端点 极值点,基础自测,1将8分为两个数之和，使两数的立方和最小，则这两个数可分为( ) A2和6 B4和4 C3和5 D以上都不对,B,2以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( ) A10 B15 C25 D50,C,3(2010年广州二模)一个人以6米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车， 当他离汽车25米时交通灯由红变绿， 汽车开始作变速直线行驶 (汽车与人的前进方向相同), 汽车在时刻t的速度为v(t)t米/秒， 那么， 此人( ) A可在7秒内追上汽车 B可在9秒内追上汽车 C不能追上汽车， 但其间最近距离为14米 D不能追上汽车， 但其间最近
3、距离为7米,D,4某工厂需要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其它三面需要砌新的墙壁当砌墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为_,答案：16 m, 32 m,某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为：p24200 x2，且生产x吨的成本为R50000200x(元)问该厂每月生产多少吨产品才能使利润f(x)达到最大？最大利润是多少？(利润收入成本),思路分析：根据题意，列出利润的函数关系式，进而可用导数求最值的方法进行求解,解析：每月生产x吨时的利润为 f(x) x(50000200x)， x324000x5000
4、0(x0)，由f(x) x2240000，解得x1200，x2200(舍去)因f(x)在0，)内只有一个点x200，使f(x)0.故它就是最大值点，且最大值为： f(200) (200)32400020050000 3150000(元) 答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元,点评：利用导数求实际问题中的最大值或最小值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点,变式探究,1已知某厂生产x件产品成本为c25000200x x2 (元) (1) 要使平均成本最低，应生产多少件产品？ (2) 若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产
5、品？,解析：(1)设平均成本为y元，则,令y0得x11000，x21000(舍去) 当在x1000附近左侧时，y0；故当x1000时，y取得极小值由于函数只有一个点使y0，且函数在该点取得极小值，那么函数在该点取得最小值,令l0，得x6000, 当x在6000附近左侧时l0；当x在6000附近右侧时l0；故当x6000时，l取得极大值由于函数只有一个点使l0，且函数在该点取得极大值，那么函数在该点取得最大值因此，要使利润最大，应生产6000件产品,某公司是一家专做产品A的国内外销售的企业，每一批产品A上市后在40天内全部售完该公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果
6、如图一、图二、图三所示，其中图一中的折线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图二中的抛物线表示国外市场的日销售量与上市时间的关系；图三中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系(国内、外市场相同),(1)分别写出国内市场的日销售量f(t)、国外市场的日销售量g(t)与第一批产品A的上市时间t的关系式； (2)第一批产品A上市后的哪几天，这家公司的日销售利润超过6300万元？,思路分析：本题给出的是随着时间t的不同，对应的日销售量y的函数图象也不相同的问题，因此需要建立的函数解析式应为一个分段函数的形式，应针对自变量x的取值不同分别求出其最大值，然后再进行比较,解析：,(2)设
7、每件产品A的销售利润为q(t)，则,从而这家公司的日销售利润Q(t)的解析式为,当0t20时，Q(t) 0Q(t)在区间0,20上单调递增，从而Q(t)Q(20)60006300 t30 t24,25,26,27,28,29； 当30t40时，Q(t)Q(30)6300. 综上所述，第一批产品A上市后，在第24,25,26,27,28,29天，这家公司的日销售利润超过6300万元,点评：对于分段函数的问题，应该对自变量分段进行考虑，对每一段考虑其最值的情况，然后再将这几段的最值情况综合起来进行比较,变式探究,2(2010年德州模拟)某工厂日生产某种产品最多不超过30件，且在生产过程中次品率P与
8、日生产量x(xN*)件间的 关系为P,每生产一件正品盈利2900元，每出现一件次品亏损1100元,(1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数； (2)该厂的日产量为多少件时，日利润最大？ (注：次品率P 100%，正品率1P),解析：,(2)当0x15时，,当x15时，y取得最大值33000(元) 当15x30时，y25004x2， 令y25004x20，得x25，,当150；当25x30时，y0， y2500x x3在区间(15,25上单调递增，在区间25,30上单调递减 故当x25时，y取得最大值，其值为,答：该厂的日产量为25件时，日利润最大,(2010年杭州模拟)某单位用2160
9、万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为56048x(单位：元)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ (注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用 ),解析：设楼房每平方米的平均综合费为f(x)元，则,当x15时，f 0；当10x15时，f 0. 因此当x15时，f(x)取最小值f2000. 答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层,变式探究,3(2010年三明检测)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小
10、时)的函数解析式可以表示为：y x3 x8(0x120)已知甲、乙两地相距100千米 (1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？,解析：(1)当x40时，汽车从甲地到乙地行驶了 2.5小时，,答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升,(2)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，,令h(x)0，得x80.当x(0,80)时，h(x)0，h(x)是增函数 当x80时，h(x)取到极小值h(80)11.25. 因为h(x)在(0,1
11、20上只有一个极值，所以它是最小值 答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升,甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？,思路分析：本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式技巧与方法主要有：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化，构造相应的函
12、数关系,解析：解法一：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点x km，则 BD40，AC50x，,又设总的水管费用为y元，依题意有：,在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义， 函数在x30(km)处取得最小值，此时 AC50x20(km) 供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省,设总的水管费用为f()，依题意，有,即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省,点评：解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再
13、化归为常规问题，选择合适的数学方法求解(尤其要注意使用导数解决最优化的问题),变式探究,4(2010年衡阳模拟)某物流公司购买了一块长AM30米，宽AN20米的矩形地块AMPN，规划建设占地如图中矩形ABCD的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B、D分别在边AM、AN上，假设AB长度为x米 (1)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，AB长度应在什么范围内？ (2)若规划建设的仓库是高度与AB长度相同的长方体形建筑，问AB长度为多少时仓库的库容最大？(墙体及楼板所占空间忽略不计),解析：(1)依题意三角形NDC与三角形NAM相似，,要使仓库占地ABCD的面积不
14、少于144平方米即,解得12x18. 所以AB长度应在 内,V40x2x20得x0或x20， 当00，当20x30时V0，,所以x20时V取最大值 m3， 即AB长度为20米时仓库的库容最大,用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？,解析：设长方体的宽为x(m)，则长为2x(m)，高为,故长方体的体积为,从而V(x)18x18x218x(1x) 令V(x)0，解得x0(舍去)或x1， 当0x1时，V(x)0；当1x 时，V(x)0，,故在x1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值
15、 从而最大体积VV(1)9126133(m3)，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m. 答：当长方体的长为2 m，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3.,变式探究,5用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？,解析：设容器的高为x，容器的体积为V, 则V(902x)(482x)x， 4x3276x24320x，(00,10x24时，V0， 所以，当x10时，V有极大值V(10)19600， 又V(0)0，V(24)0, 所以当
16、x10时，V有最大值V(10)19600. 答：该容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积是19600 cm2.,利用导数解决实际问题中的优化问题应注意的几点： 1利用导数解决实际问题，关键在于要建立适当的数学模型(即函数关系)，如果函数在区间内只有一个点使得f(x)0的情形，此时函数在这点有极大(小)值，那么可不与区间端点的函数值进行比较，也可以知道这一点即为最大(小)值点 2实际应用中准确地列出函数的解析式，确定函数的定义域是求解的关键 3在求实际问题的最值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去,1(2010年江苏卷)将边长为1 m的正三角形薄片，沿一条平行于底
17、边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S ，则S的最小值是_,解析：设剪成的小正三角形的边长为x，则：,解法一：利用导数求函数最小值,令S(x)0，又由00，S(x)递增； 故当x 时，S的最小值是 . 解法二：利用函数的方法求最小值,答案：,2(2010年山东卷)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y x381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ) A13万件 B11万件 C9万件 D7万件,解析：据题意由于f(x)x281(x9)(x9)，故函数在(0,9)上递增，在(9，)上递减，因此当x9时函数取得最大值，即该生产商家获得最大年利润的年产量为9万件 答案：C,祝,您,学业有成,