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1、西南财经大学经济数学系 孙疆明,高等数学 微积分,第六讲 函数的连续性,一、函数连续性的定义,二、函数连续性的基本性质,三、初等函数的连续性,四、闭区间上连续函数的性质,五、闭区间上连续函数性质的证明,六、函数的一致连续性,一、函数的连续性,函数的连续性是描述函数的渐变性态,在通常意义下,对函数连续性有三种描述：,当自变量有微小变化时，因变量的变化也是微小的；,问题：何谓函数的连续性？, 函数的图形是一条连续不断曲线., 自变量的微小变化不会引起因变量的跳变；,例如：,除过上述情况,定义1: (函数在一点连续),曲线在x0不会断开. 数学上函数连续性就可描述为:,定义2：,（函数在一点的单侧连
2、续性）,注1,以上三条中带本质性的是第二条，极限的存在性.,注2,注3,定义3：,（ 函数在区间上的连续性）,（二）间断点及其分类,间断点为曲线断开的点.(左右都有曲线),1. 可去型间断点,可去型间断不是本质性的间断,可以重新 定义, 使其连续.,第一类间断点：,根据极限的不同，可以分为二类：,左右极限都存在,例,一般情况：x0为 f(x) 的可去间断点，则,2. 跳跃间断点,例 符号函数,例,-2,第二类间断点,例,解,非初等函数连续性问题举例,解,闭区间上连续函数的性质,1. 零点(值)定理：,零点(值)定理推广,2. 介值定理：,推论：,3. 有界性定理：,4. 最大最小值定理：,解,
3、试算,根据代数基本定理三次多项式最多有三个实根,证,证,证,证,矛盾！,例 市场均衡问题,市场中,任何产品不论供给还是需求,都随市场价格在变化. 对于正常商品,需求量随价格增加而下降,供给量随价格上升而上升.试问市场是否存在平衡点？,1. 确界存在公理：,任何非空有上界的数集必有上确界.,2. Weierstrass定理：(紧性定理）,有界数列必有收敛子列.,3. 完备性定理：,任何一个柯西列（基本列）必有极限.,实数的几个基本定理,4. 区间套定理：,任意一个区间套一定能套住一个实数, 零点定理的证明:,否则,不失一般性,假定每次区间中点的函数值都不等于零.于是得一列闭区间:,满足如下条件:
4、,证,构造辅助函数, 介值定理的证明,用反证法, 有界性定理的证明, 最大（小）值定理的证明,只证最小值,用反证法,结束放映,再见！,连续函数的运算性质 与极限性质对应,二、函数连续性的基本性质,（一）连续性定义的等价形式：,（二）连续函数的有界性：,（三）连续函数的保号性：,（四）连续函数的运算性质：,（五） 关于反函数的连续性,三、初等函数的连续性,结论：初等函数在其定义域区间上是连 续的.,1. 基本初等函数的连续性,（1）由连续定义可验证基本初等函数：,例,（3）用连续函数四则运算性质证明基本 初等函数:,（2）用复合函数及反函数的连续性证明 基本初等函数:,2. 初等函数的连续性,由基本初等函数的连续性,运用连续 函数的四则运算、复合运算就推出所有 初等函数在其定义域区间内处处连续.,