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1、高等数学 微积分,西南财经大学经济数学系 孙疆明,市,精,光,第十讲 微分中值定理,一、费尔马 ( Fermat )定理,二、罗尔 ( Rolle )定理,三、拉格朗日(Lagrange )定理,四、柯西 (Cauchy )定理,一、费尔马 ( Fermat )定理,（一）极值的定义：,极值的研究是微积分产生的主要动力之一,（二）费尔马定理 (极值必要条件),证,微分中值定理的引入,二、罗尔 ( Rolle )定理,三、拉格朗日(Lagrange )定理,四、柯西 (Cauchy )定理,怎样证明罗尔定理 ？,先利用形象思维 去找出一个C点来！,想到利用闭区间上连续函数 的最大最小值定理！,罗
2、尔定理的证明：,怎样证明拉格朗日定理 ？,拉格朗日定理若添加条件:,则收缩为罗尔定理；,罗尔定理若放弃条件:,则推广为拉格朗日定理。,知识扩张所遵循的规律之一就是将欲探 索的新问题转化为已掌握的老问题。即 寻求未知事物通向已知领域的“桥”！,因此想到利用罗尔定理！,满足罗尔定理条件,桥,拉格朗日定理的证明：,构造辅助函数,拉格朗日中值公式,拉格朗日公式各种形式,推论1：,证,推论2：,推论3：,推论4：,柯西中值定理的证明：,构造辅助函数,费尔马定理,罗尔定理,拉格朗日定理,柯西定理,零点问题,以下证明恰好有三个根,该方程实根个数 就是两条曲线,首先证明至少有三个根,计算表明,根据介值定理,因
3、此方程至少有三个根,然后证明方程最多有三个根,用反证法,根据洛尔定理,矛盾！,综上所述，方程恰好有三个实根,直观观察可以启发思路,所以最小值一定在区间内部达到,证,证明思路直观分析,例,证,根据连续函数的最大最小值定理,证,证,证,证,证,证,极值与凸性,函数的极值,函数的凸性,渐近线,函数的作图,最值,曲率,一、极值与最值,极值的第一充分条件(导数形式),定理1：,（二）极值的第二充分条件,定理2：,证 (1),（二）函数的最大、最小值,( B ) 最大、最小值应用问题,解,一个可口可乐饮料罐具体测量一下: 它顶盖的直径和从顶盖到底部的高(约为6厘米和12厘米),胖的部分的直径约为6.6厘米
4、,胖的部分高约为10.2厘米. 怎样测量比较简捷？(用一条窄的薄纸条,绕饮料罐相关部分一圈测得周长, 再换算得半径和直径).可口可乐饮料罐上标明净含量为 355 毫升(即355 立方厘米)。,饮料罐中的数学,唯一驻点,返回,返回,返回,返回,返回,解,解,二、函数的凸性,何谓凸函数？,（一） 凸性定义：,（二） 凸性的判定,定理1：( 用一阶导数判定函数的凸性 ),证 必要性,返回,返回,定理2：( 用二阶导数判定函数的凸性 ),定理3：( 用切线位置判定函数的凸性 ),切线位于 曲线下方,（三） 拐点,定理：（拐点必要条件）,三、曲线的渐近线,曲线渐近线的求法,定理：,证 必要性,证充分性 假设下列两个条件同时成立,四、函数作图,解,拐点,拐点,极大,返回,返回,返回,返回,解,返回,返回,解,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,