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7.2 收敛级数的基本性质,调和级数的敛散性,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、收敛级数的基本性质,二、级数收敛的必要条件,一、收敛级数的基本性质,分别为sn、sn、tn，则,下页,下页,定理7.3 在一个级数的前面加上(去掉)有限项，级数的敛散性不变。,也是收敛的。,下页,定理7.3 在一个级数的前面加上(去掉)有限项，级数的敛散性不变。,定理7.4 若一个级数收敛，则对这个级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。,应注意的问题：如果加括号后所成的级数收敛，则不能断定去括号后原来的级数也收敛。 例如，级数 (1 1) + (1 1) + 收敛于零， 但级数 1 1 + 1 1 + 却是发散的。,下页,推论：若加括号后所成的级数发散，则原来级数也发散。,定理7.3 在一个级数的前面加上(去掉)有限项，级数的敛散性不变。,定理7.4 若一个级数收敛，则对这个级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。,首页,应注意的问题：级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件。,下页,二、级数收敛的必要条件,但另一方面，,这说明级数必定发散。,矛盾，,结束,练习,