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1、1,微积分,主讲教师： 李晓沛,2,第二章 导数与微分,第1节 导数概念,3,导数产生的背景,导数定义,求导举例,导数的几何意义,导数概念,可导与连续的关系,4,一.导数产生的背景,1. 物理背景,2. 几何背景,5,变速直线运动,物体作匀速直线运动时, 有,由于匀速运动,物体的速度是不变的，因此,1.物理背景,6,由于变速直线运动物体的速度 V(t) 是变的，因此，用这个公式算出的平均速度 V 不能真实反映物体在时刻 t0 的瞬时速度 V(t0).,如何求V(t0)?,如图,在 t0, t0+t 这段时间内物体的平均速度为,t越小，近似值,就越接近精确值V(t0).,V(t0)=?,7,平面
2、曲线上切线的概念,割线PQ,切线PT,切点,2. 几何背景 平面曲线的切线问题,8,沿曲线趋近于点 A 时的极限位置.,平面曲线 y = f (x) 的切线：,曲线在点 A(x0, y0) 处的切线 AT 为过曲线上,点 A 的任意一条割线 AA 当点 A(x0+x, y0+ y),定义,9,(1) 建立一个函数关系 y = f (x) xI .,(2) 求函数由 x0 到 x0+ x 的平均变化率：,解决与速度变化或变化率相关问题的步骤:,(3) 求 x 0 的极限：,小结,10,设函数 f (x) 在 U(x0) 有定义, 且 x0+x U(x0).,则称函数 f (x) 在点 x0 处可
3、导, 极限值 a 称为 f (x) 在,如果极限,存在,点 x0 处的导数. 记为,定义,1. 导数的定义,二.导数的概念,11,如果函数 f (x) 在点 x0 处可导, 则,12,存在，则称,f (x)在x0可导(或称f (x)在 x0 的导数存在). 否则，称 f (x)在x0不可导(或称 f (x)在 x0的导数不存在). 特别,注1. 若,13,设函数 f (x) 在 x0 , x0+ ) 内有定义, 若,则称 a 为 f (x) 在点 x0 处的右导数. 记为,2.左、右导数,定义,则称 a 为 f (x) 在点 x0 处的左导数. 记为,定理,设函数 f (x) 在 (x0- ,
4、x0, 内有定义, 若,14,3. 导函数,若 x(a, b), 函数 f (x) 皆可导, 则说 f (x) 在,(a, b) 内可导. 这时 f (x) 是关于 x 的一个新函数,称之为 f (x) 在 (a, b) 内的导函数. 通常我们仍称之,为 f (x) 在 (a, b) 内的导数：,定义,15,函数在点 x0 I 处的导数:,若 f (x) 在 (a, b) 内可导, 且 存在,则称 f (x )在 a, b 上可导, f (x) 称为 f (x) 在 a, b 上,的导函数, 简称为导数.,先求导、后代值.,定义,16,4. 求函数的导数,求导数可分为如下几步：,1.写出函数的
5、增量,2. 算比值,3.求极限,17,18,19,或重要极限,和差化积,等价无穷小,（仿照正弦函数的推导方法）,20,21,(x) = x1,22,总 结,23,5. 导数的几何意义,此时, 切线方程为:,函数 f (x) 在点 x0 的导数 f ( x0) 就是对应的平面,曲线 y = f (x) 在点 (x0, y0) 处的切线的斜率 k :,5. 导数的几何意义,24,曲线 y = f (x) 在点 x0 处的切线可能平行于x 轴、,垂直于 x 轴、或不存在, 所反映出的导数值是：,25,y,O,x,x0,y = c,f (x0) = 0,y,O,x,f (x0) = ,x0,O,x,y
6、,x0,y,O,x,x0,f (x0)不存在,f (x0)不存在,26,在任意一点 x 处, 有,在点(1, 1) 处,故所求切线方程为：,求曲线 y = x2上任意一点处切线的斜率, 并求,在点 (1, 1) 处的切线方程.,即 y = 2x 1.,y 1= 2(x 1) ,解,27,三 可导与连续的关系,设 f (x) 在点 x0 可导, 即有,于是,故,无穷小,28,y = | x | 在点 x = 0 连续, 但不可导.,故 f (0) 不存在.,y = | x |,O,x,y,解,29,在点 x = 0 处的连续性和可导性.,又, 当 nN 时, 函数在在点 x = 0 处连续.,解
7、,30,当 n =1 时,不存在,故 n =1 时, 函数在 x = 0 处不可导.,当 n 1 时,故 n 1时, 函数在 x = 0 处可导. 其导数为,31, f (x) 在 x = 0 处可导,从而,f (0) = 1, f (x) 在 x = 0 处连续, f (0) = a .,解,32,由可导性：,故 b = 1, 此时函数为,f (0) = 1,33,练习,P46 习题2-1一、1，3,34,第二章 导数与微分,第2节 求导法则和基本公式,35,定理,和、差、积、商的求导法则,36,推论,37,例1,解,例2,解,38,例3,解,同理可得,39,例4,解,同理可得,40,例5,解,41,42,注意:,分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求.,43,例,求曲线 上与 轴平行的切线方程.,令,切点为,所求切线方程为,和,解,44,练 习 题,45,第二章 第一、二节,第一章第二、三节,P46习题2-1 1.（2）6.（3） P53习题2-2 1（2）2.(4)（7）（9）,