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1、四、随机变量的数字特征,考试内容,（一）随机变量的数学期望,1.离散型随机变量的数学期望（均值）,设X的分布律为,(级数 绝对收敛),则,2.连续型随机变量的数学期望,设连续型随机变量X的密度函数为f(x),则,（ 绝对收敛）,3.随机变量函数的数学期望,（1）X为随机变量，y=g(x)为实变量x的函数.,离散型：,连续型：,(2)(X,Y)为二维随机变量, z=g(x,y)为x,y的二元函数.,离散型：,连续型：,4.数学期望的性质,(1) E(C)=C; (2) E(aX+b)= aE(X)+b; (3) E(X1+ X2+Xn)=E(X1)+ E(X2)+E(Xn); (4) 若X1,
2、X2,Xn相互独立,则 E(X1 X2Xn)=E(X1) E(X2)E(Xn); (5),（二）方差,1.定义 D(X)=EX-E(X)2,均方差或标准差：,2.计算,(1) 离散型：,(2)连续型：,(3) 常用计算公式：D(X)=E(X2)-E2(X).,3. 方差的性质,(1) D(X)=E(X2)-E2(X)， E2(X)=D(X)+E(X2) (2) D(C)=0; (3) E(aX+b)= a2D(X); (4) D(XY)=D(X)+ D(Y) 2Cov(X,Y); 若X, Y相互独立,则 D(XY)=D(X) +D(Y). (5) D(X)=0 P(X=C)=1.,（三）协方差
3、、协方差矩阵与相关系数,Cov(X,Y)= EX-E(X) Y-E(Y),1.协方差,2.相关系数,用来表征随机变量X,Y之间线性关系的紧密程度. 当 较大时，说明X,Y 线性关系程度较强； 当 较小时，说明X,Y 线性关系程度较弱； 当 时，称X与Y不相关（线性）.,3.协方差矩阵,设(X1, X2,Xn)是n维随机变量,若,cij=Cov(Xi,Yj),存在，则称矩阵,为n维随机变量(X1, X2,Xn)的协方差矩阵.,4.协方差及相关系数的性质,Cov(X,X)=D(X); (2) Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y); (3)Cov(X,Y)= Cov(Y,X）; (4)C
4、ov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y)+ Cov(X2,Y); (5)Cov(aX+c,bY+d)= abCov(X,Y); (6) (7) X与Y以概率1线性相关,即存在a,b,且a0,使,(8),（四）矩与混合矩,1.随机变量X的k阶原点矩：,随机变量X的k阶中心矩：,2. 设(X,Y)为二维随机变量, X和Y 的k+l 阶混合原点矩为：,X和Y 的k+l 阶混合中心矩为：,数学期望是一阶原点矩；方差是二阶中心矩， 协方差是1+1阶混合中心矩.,（五）常见分布的数学期望与方差,（六）重要结论,5个等价条件：,注意：X,Y相互独立为上述5个条件中任何一个 成立的充分条件，但非必要条件.
5、,考点与例题分析,考点一：数学期望和方差的计算,考点二：随机变量函数的数学期望与方差,考点三：协方差、相关系数，独立性与相关性,考点一：数学期望和方差的计算,1.对分布已知的情形，按定义求； 2.对由随机试验给出的随机变量，先求出分布， 再按定义计算； 3.利用期望、方差的性质以及常见分布的期望和 方差计算； 4.对较复杂的随机变量,将其分解为简单随机变量, 特别是分解为(0,1)分布的随机变量和进行计算.,例1 一台设备由三大部件构成,在设备运转中各 部件需要调试整的概率相应为0.1,0.2,0.3,假设各 部件的状态相互独立,以X表示同时需要调整的部 件数,试求X的E(X)和D(X).,解
6、法1 先求出分布律：,设事件Ak=第k个部件要调整 （k=1,2,3),则,即X具有的分布律为：,从而有E(X)=0.6，D(X)= E(X2)- E2(X)=0.46.,解法2 用分解法：引进随机变量,X0-1分布，,且X=X1+X2+X3， E(X)=E(X1)+E(X2)+E(X3) =0.6 D(X)=D(X1)+D(X2)+D(X3) =0.46,注:1.将一个“复杂”的随机变量分解成若干个“简单” 的随机变量之和 是研究随机变量的一种基本 方法，但必须注意：求方差时，应先判断Xi 是否 相互独立.若独立,则D(X)易求(和),否则不易求出.,2. 求离散型随机变量的期望和方差时,会
7、用到无穷 级数求和，如下例:,例2 对某目标连续射击,直到命中n次为止,设每次 射击的命中率为p，求消耗子弹的数学期望.,解 设Xi表示第i-1次命中至第i 次命中之间所消耗 的子弹数(含第i次命中不含第i-1次命中),则,于是有,故,例3 设随机变量的概率密度,求数学期望和方差.,解,注：若已知分布函数，则需先求出密度函数.,例4 设X的密度函数,则E(X)_, D(X)_.,考点二：随机变量函数的数学期望与方差,1.先求概率密度或分布函数,再按期望定义计算,如,2.直接利用函数期望的公式计算：,3.利用数学期望、方差的性质以及常见分布的 数学期望与方差计算.,例5 设XE(1),则数学期望
8、,解 先利用期望的线性性质，再用随机变量函数 的期望公式求得.,因XE(1),于是E(X)=1,而且X的密度函数为,指数分布,例6 设X的密度函数,求,解 直接利用函数期望的公式计算,注：在求多个随机变量函数的数学期望时,若直接 用公式计算,则需求多重积分.故不如先求出随机变 量函数的概率分布,再用定义计算期望,例如,设随机变量X1, X2, Xn独立同分布,其密度函数,试求 的数学期望和方差.,为常数,（自行完成）,例7 设是两个相互独立且均服从正态分布,的随机变量，则,解 令Z=X-Y，则E(Z)=0, D(Z)=1,即,故积分，得,注：利用正态分布的性质、 随机变量函数的期望公式,例8
9、一工厂生产的某种设备的寿命X（年）服从 指数分布,概率密度函数为,规定出售的设备若在售出一年内损坏可予以调换, 若工厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂 方需花费300元，试求厂方出售一台设备赢利的数 学期望.,解 设出售一台赢利为Y,则Y的所有可能取值为 100,-200.因,分析：先求出赢利的分布.,Y的分布律为,Y 100 -200,所以，,注：Y是X的函数.X是连续型的,而Y是离散型的.,考点三：协方差、相关系数，独立性与相关性,1.协方差、相关系数的计算实际上是随机变量 函数的期望的计算，方法见考点二；,X,Y相互独立,若(X,Y)服从二维正态分布，则,X,Y相互独立,2.独立
10、性与相关性的关系,例9 将一枚硬币重复掷n次,以X,Y分别表示正面 向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数为_.,解 因X+Y=n,即Y=n-X.,法1 用定义求：,D(Y)=D(n-X)=D(X),因此，,法2 用性质(7)：,因Y=n-X，Y是X的线性函数,且X的系数为-10, 故X和Y的相关系数为-1.,例10 设 其中,且,(1)求E(Z), D(Z)；,（2）求X,Z的相关系数；,（3） X与Z是否相互独立？为什么？,解（1）由期望和方差的性质有,（3）X,Y均服从正态分布,但不独立,故不能认为Z 服从正态分布，从而二维随机变量(X,Y)不一定服从二维正态分布,故尽管X与Z不相关,
11、 X与Z仍不一定相互独立.,（2）,故,注： X与Z 均服从正态分布，且X与Z 相互独立， 则(X,Z)服从二维正态分布.,例11.(08)设随机变量,且 则,考查：相关系数的性质：,存在a,b,使,以及正态分布数字特征的性质.,解 选D. 由正态分布有 EX=0,DX=1, EY=1,DY=4,故存在a,b,使,从而EY=aEX+b,得b=1.而,考研题及练习题,1. 设随机变量(X,Y)在区域D:0x1,-xyx内 服从均匀分布，求Z=2X+1的方差.(两种方法),答案：E(Z)=2/3,D(Z)=2/9.,2.(08）设随机变量X服从参数为1的泊松分布, 则PX=EX2_.,考查：泊松分
12、布的数字特征及其概率分布.,参数为1的泊松分布的EX =DX=1,从而,EX2 =DX+(EX)2=2, PX=EX2=Px=2=1/2e.,3.(04134) 设随机变量X服从参数为 的指数分布, 则,4.(041)设随机变量X1, X2, Xn独立同分布,且其 方差为 令 则,提示：用方差和协方差的运算性质直接计算即可, 注意到利用独立性有：,5.（0634）设二维随机变量(X,Y)的概率分布为,-1 a 0 0.2 0 0.1 b 0.2 1 0 0.1 c,Y,X,-1 0 1,其中a,b,c为常数，且X的数学期望EX=-0.2，,记Z=X+Y，求,（1） a,b,c的值； （2）Z的概率分布； （3）P(X=Z).,答案: (1) a=0.2,b=0.1,c=0.1,(2),-2 -1 0 1 2,0.2 0.1 0.3 0.3 0.1,(3) P(X=Z)=P(Y=0)=0.2.,6.（04134）设A,B为随机事件,且,令,求(1) 二维随机变量(X,Y)的概率分布； (2) X,Y 的相关系数,(3) Z=X2+Y2 的概率分布.,提示：关键是求出(X,Y)的概率分布.,将(X,Y)的各取值对转化为随机事件A,B表示即可.,二维随机变量(X,Y)的概率分布,答案：,(1),(3) Z=X2+Y2 的概率分布:,