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1、第 1 章 模糊集的基本概念,模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法. 众所周知，经典数学是以精确性为特征的.,然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的. 甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好. 例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”. 尽管这里只提供了一个精确信息男人，而其他信息大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人. 模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又
2、成功的应用.,1.2 模糊理论的数学基础,经典集合 经典集合具有两条基本属性：元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明,即一个元素x要么属于集合A(记作xA),要么不属于集合(记作xA)，二者必居其一.,集合的表示法： (1)枚举法，A=x1 , x2 , xn； (2)描述法，A=x | P(x). AB 若xA，则xB； AB 若xB，则xA； A=B AB且 AB.,集合A的所有子集所组成的集合称为A的幂集，记为(A).,并集AB = x | xA或xB ； 交集AB = x | xA且xB ； 余集Ac = x | xA .,集合的运算规律 幂等律： AA = A， AA = A； 交换
3、律： AB = BA， AB = BA； 结合律：( AB )C = A( BC )， ( AB )C = A( BC )； 吸收律： A( AB ) = A，A( AB ) = A；,分配律：( AB )C = ( AC )( BC )； ( AB )C = ( AC )( BC )； 0-1律：AU = U ， AU = A ； A = A ， A = ； 还原律： (Ac)c = A ； 对偶律： (AB)c = AcBc，(AB)c = AcBc； 排中律： AAc = U， AAc = ；,U 为全集， 为空集.,集合的直积： X Y = (x , y )| xX , y Y .,映
4、射与扩张,映射 f ： X Y 集合A的特征函数：,特征函数满足：,取大运算,如23 = 3,取大运算,如23 = 2,扩张：点集映射 集合变换,二元关系,X Y 的子集 R 称为从 X 到 Y 的二元关系， 特别地，当 X = Y 时，称之为 X 上的二元关系.二元关系简称为关系. 若(x , y )R，则称 x 与 y 有关系，记为 R (x , y ) = 1； 若(x , y )R，则称 x 与 y 没有关系，记为 R (x , y ) = 0. 映射 R : X Y 0,1 实际上是 X Y 的子集R上的特征函数.,关系的三大特性：,设R为 X 上的关系 (1) 自反性：若 X 上的
5、任何元素都与自己有关系R，即R (x , x) =1，则称关系 R 具有自反性； (2) 对称性：对于X 上的任意两个元素 x , y，若 x 与y 有关系R 时，则 y 与 x 也有关系R，即若R (x , y ) =1，则R ( y , x ) = 1，那么称关系R具有对称性； (3) 传递性：对于X上的任意三个元素x, y, z，若x 与y 有关系R，y 与z 也有关系R 时，则x与z 也有关系R，即若R (x , y ) = 1，R ( y , z ) =1，则R ( x , z ) = 1，那么称关系R具有传递性.,关系的矩阵表示法,设X = x1, x2, , xm,Y= y1,
6、y2, , yn，R为从 X 到 Y 的二元关系，记 rij =R(xi , yj )，R = (rij)mn， 则R为布尔矩阵(Boole)，称为R的关系矩阵. 布尔矩阵(Boole)是元素只取0或1的矩阵.,关系的合成,设 R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是 Y 到 Z 的关系, 则R1与 R2的合成 R1 R2是 X 到 Z 上的一个关系.,(R1R2) (x, z) = R1 (x, y)R2 (y, z)| yY ,关系合成的矩阵表示法,设 X = x1, x2, , xm, Y = y1 , y2 , , ys, Z = z1, z2, , zn，且X 到Y 的关系 R1 =
7、 (aik)ms， Y 到 Z 的关系 R2 = (bkj)sn， 则X 到Z 的关系可表示为矩阵的合成： R1 R2 = (cij)mn， 其中cij = (aikbkj) | 1ks.,定义：若R为 n 阶方阵，定义 R 2 = R R，R 3 = R 2 R ,例 设 X =1, 2, 3, 4, Y = 2, 3, 4, Z = 1, 2, 3, R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是Y 到 Z 的关系,R1 =(x, y) | x + y = 6,= (2,4), (3,3), (4,2),R2 =(x, y) | y z = 1,= (2,1), (3,2), (4,3),则R1
8、与 R2的合成,R1 R2=(x, y) | x + z = 5,= (2,3), (3,2), (4,1).,合成( )运算的性质：,性质1：(A B) C = A (B C)； 性质2：Ak Al = Ak + l，(Am)n = Amn； 性质3： A ( BC ) = ( A B )( A C ) ； ( BC ) A = ( B A )( C A ) ； 性质4：O A = A O = O，I A=A I =A； 性质5：AB，CD A C B D.,O为零矩阵，I 为 n 阶单位方阵. AB aijbij .,关系三大特性的矩阵表示法：,设R为 X = x1, x2, , xn 上
9、的关系，则其关系矩阵R = (rij)nn 为 n 阶方阵.,(1) R具有自反性 I R； (2) R具有对称性 RT = R ； (3) R具有传递性 R2R .,若R具有自反性，则,I R R2 R3 ,下面证明：,R具有传递性 R2R.,R=(rij)nn,设R具有传递性,即对任意的 i , j , k，若有rij =1，rjk=1，则有rik=1. 对任意的 i , j，若 (rikrkj) | 1kn=0， 则 (rikrkj) | 1knrij . 若(rikrkj) | 1kn = 1，则存在1sn，使得 (risrsj) = 1，,即ris= 1, rsj= 1.,由于R具有
10、传递性，则rij =1，所以 (rikrkj) | 1kn = rij . 综上所述 R2R.,设R2R，则对任意的 i , j , k，若有 rij =1， rjk = 1， 即(rijrjk) = 1，因此 (risrsk) | 1sn=1， 由R2R，得rik=1，所以R具有传递性.,集合上的等价关系,设 X 上的关系R具有自反性、对称性、传递性，则称R为 X 上的等价关系. 若x与y 有等价关系R，则记为 x y. 集合上的等价类 设 R是X 上的等价关系，xX. 定义x的等价类： xR = y | yX ， y x . 集合的分类 设 X 是非空集，Xi 是 X 的非空子集，若 Xi
11、 = X，且XiXj = (i j )， 则称集合族 Xi 是集合 X 的一个分类.,定理：集合X 上的任一个等价关系R可以确定X 的一个分类. 即,(1) 任意 xX，xR非空； (2) 任意 x , yX，若x与y 没有关系R，则 xRyR = ； (3) X = xR . 证: (1)由于R具有自反性，所以xxR，即 xR非空. (2) 假设 xRyR , 取zxRyR，则z与x有关系R，与y也有关系R. 由于R具有对称性，所以x与z有关系R，z与y也有关系R. 又由于R具有传递性，x与y也有关系R. 这与题设矛盾. (3) 略.,例 设X = 1, 2, 3, 4, 定义关系,R 1
12、：xixj； R 2 ：xi + xj为偶数； R 3 ：xi + xj = 5.,则关系R1是传递的，但不是自反的，也不是对称的；容易验证关系R2 是X上的等价关系；关系R3是对称和传递的，但不是自反的.,按关系R2可将X分为奇数和偶数两类，即 X = 1, 32, 4. 按关系R3可将X分为两类，即 X = 1, 42, 3.,格,设在集合L中规定了两种运算与,并满足下列运算性质：,幂等律： aa = a ， aa = a ； 交换律： ab = ba ， ab = ba ； 结合律：( ab )c = a( bc )， ( ab )c = a( bc ) ； 吸收律：a( ab ) =
13、a， a( ab ) = a.,则称L是一个格，记为(L ,).,设(L,)是一个格，如果它还满足下列运算性质：,分配律：( ab )c = ( ac )( bc ) , ( ab )c = ( ac )( bc ) .,则称 (L ,)为分配格.,若格 (L,)满足： 0-1律：在L中存在两个元素0与1，且 a0=a，a0=0， a1=1，a1=a， 则称 (L,)有最小元 0 与最大元 1，此时又称 (L,)为完全格.,若在具有最小元0与最大元1的分配格 (L,)中规定一种余运算c，满足：,还原律：(ac)c=a； 互余律：aac=1， aac=0，,则称(L,c )为一个Boole代数.
14、,若在具有最小元0与最大元1的分配格 (L,)中规定一种余运算c，满足：,还原律：(ac)c = a ； 对偶律：(ab)c = acbc， (ab)c = acbc，,则称(L,c ) 为一个软代数.,例1 任一个集合A的幂集(A)是一个完全格.,格中的最大元为A(全集)，最小元为 (空集)，并且(J(A) , c ) 既是一个Boole代数，也是一个软代数.,例2 记0,1上的全体有理数集为Q，则(Q ,)是一个完全格. 格中的最大元为1，最小元为0. 若在Q中定义余运算c为ac =1- a，则(Q,c ) 不是一个Boole代数，但它是一个软代数.,1.3 模糊子集及其运算,模糊子集与隶
15、属函数,设U是论域，称映射 A(x)：U0,1 确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的隶属函数，它表示x对A的隶属程度. 使A(x) = 0.5的点x称为A的过渡点，此点最具模糊性. 当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而A(x)就是它的特征函数. 可见经典子集就是模糊子集的特殊情形.,例 设论域U = x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为,也可用Zadeh表示法：,模糊集的运算,相等：A = B A
16、(x) = B(x)； 包含：AB A(x)B(x)； 并：AB的隶属函数为 (AB)(x)=A(x)B(x)； 交：AB的隶属函数为 (AB)(x)=A(x)B(x)； 余：Ac的隶属函数为 Ac (x) = 1- A(x).,例 设论域U = x1, x2, x3, x4, x5(商品集)，在U上定义两个模糊集： A =“商品质量好”， B =“商品质量坏”，并设,A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1). B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0).,则Ac=“商品质量不好”, Bc=“商品质量不坏”.,Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0).
17、Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1).,可见Ac B, Bc A.,又 AAc = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) U, AAc = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) .,模糊集的并、交、余运算性质,幂等律：AA = A， AA = A； 交换律：AB = BA，AB = BA； 结合律：(AB)C = A(BC)， (AB)C = A(BC) ； 吸收律：A(AB) = A，A( AB)= A； 分配律：(AB)C = (AC)(BC)； (AB)C = (AC)(BC)； 0-1律： AU = U，AU = A； A = A，A = ； 还原
18、律： (Ac)c = A ；,对偶律：(AB)c = AcBc， (AB)c = AcBc；,对偶律的证明：对于任意的 xU (论域)， (AB)c(x) = 1 - (AB)(x) = 1 - (A(x)B(x) = (1 - A(x)(1 - B(x) = Ac(x)Bc(x) = AcBc (x),模糊集的运算性质基本上与经典集合一致，除了排中律以外，即 AAc U， AAc . 模糊集不再具有“非此即彼”的特点，这正是模糊性带来的本质特征.,1.4 模糊集的基本定理,模糊集的-截集A是一个经典集合，由隶属度不小于的成员构成. 例：论域U=u1, u2, u3, u4 , u5 , u6
19、(学生集)，他们的成绩依次为50,60,70,80,90,95，A=“学习成绩好的学生”的隶属度分别为0.5,0.6,0.7,0.8, 0.9,0.95，则,A0.9 (90分以上者) = u5 , u6, A0.6 (60分以上者) = u2, u3, u4 , u5 , u6.,定理1 设A, B(U ) (A, B是论域U 的两个模糊子集)，,0,1，于是有-截集的性质：,(1) AB AB； (2) A A； (3) (AB)= AB，(AB)= AB.,定理2 (分解定理)设A(U )，xA，则 A(x) = ，0,1，xA 定义 (扩张原理)设映射 f ：X Y，定义 f (A) ( y ) = A(x)， f (x) = y ,1.5 隶属函数的确定,1. 模糊统计方法,与概率统计类似，但有区别：若把概率统计比喻为“变动的点”是否落在“不动的圈”内，则把模糊统计比喻为“变动的圈”是否盖住“不动的点”.,2. 指派方法,一种主观方法，一般给出隶属函数的解析表达式。,3. 借用已有的“客观”尺度,