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1、第 2 章 模糊聚类分析,2.1 模糊矩阵,定义1 设R = (rij)mn，若0rij1，则称R为模糊矩阵. 当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩阵. 当模糊方阵R = (rij)nn的对角线上的元素rii都为1时，称R为模糊自反矩阵.,定义2 设A=(aij)mn,B=(bij)mn都是模糊矩阵， 相等：A = B aij = bij； 包含：AB aijbij； 并：AB = (aijbij)mn； 交：AB = (aijbij)mn； 余：Ac = (1- aij)mn.,模糊矩阵的并、交、余运算性质,幂等律：AA = A，AA = A； 交换律：AB = BA，AB =
2、BA； 结合律：(AB)C = A(BC), (AB)C = A(BC)； 吸收律：A(AB) = A，A(AB) = A； 分配律：(AB)C = (AC )(BC)； (AB)C = (AC )(BC)； 0-1律： AO = A，AO = O； AE = E，AE = A； 还原律：(Ac)c = A； 对偶律： (AB)c =AcBc, (AB)c =AcBc.,模糊矩阵的合成运算与模糊方阵的幂,设A = (aik)ms，B = (bkj)sn，定义模糊矩阵A 与B 的合成为： A B = (cij)mn， 其中cij = (aikbkj) | 1ks .,模糊方阵的幂 定义：若A为
3、n 阶方阵，定义A2 = A A，A3 = A2 A，Ak = Ak-1 A.,合成( )运算的性质：,性质1：(A B) C = A (B C)； 性质2：Ak Al = Ak + l，(Am)n = Amn； 性质3：A ( BC ) = ( A B )( A C )； ( BC ) A = ( B A )( C A )； 性质4：O A = A O = O，I A=A I =A； 性质5：AB，CD A C B D.,注：合成( )运算关于()的分配律不成立，即 ( AB ) C ( A C )( B C ),( AB ) C,( A C )( B C ),( AB ) C ( A C
4、)( B C ),模糊矩阵的转置,定义 设A = (aij)mn, 称AT = (aijT )nm为A的转置矩阵，其中aijT = aji.,转置运算的性质：,性质1：( AT )T = A； 性质2：( AB )T = ATBT， ( AB )T = ATBT； 性质3：( A B )T = BT AT；( An )T = ( AT )n ； 性质4：( Ac )T = ( AT )c ； 性质5：AB AT BT .,证明性质3：( A B )T = BT AT；( An )T = ( AT )n .,证明：设A=(aij)ms, B=(bij)sn, A B=C =(cij)mn, 记(
5、 A B )T = (cijT )nm , AT = (aijT )sm , BT = (bijT )ns , 由转置的定义知, cijT = cji , aijT = aji , bijT = bji . BT AT= (bikTakjT )nm =(bkiajk)nm =(ajkbki)nm = (cji)nm = (cijT )nm= ( A B )T .,模糊矩阵的 - 截矩阵,定义7 设A = (aij)mn,对任意的0, 1，称 A= (aij()mn, 为模糊矩阵A的 - 截矩阵, 其中 当aij 时，aij() =1；当aij 时，aij() =0. 显然，A的 - 截矩阵为布
6、尔矩阵.,对任意的0, 1，有,性质1：AB A B； 性质2：(AB) = AB，(AB) = AB； 性质3：( A B ) = A B； 性质4：( AT ) = ( A )T.,下面证明性质1： AB A B 和性质3.,性质1的证明： AB aijbij； 当 aijbij时， aij() =bij() =1； 当aij bij时， aij() =0, bij() =1； 当aijbij时， aij() = bij() =0； 综上所述aij()bij()时， 故A B .,性质3的证明：,设A=(aij)ms, B=(bij)sn, A B=C =(cij)mn,cij() =1
7、cij (aikbkj),k, (aikbkj) k, aik , bkj k, aik() =bkj() =1 (aik()bkj()=1,cij() =0 cij (aikbkj),k, (aikbkj) k, aik 或 bkj k, aik() =0或bkj() =0 (aik()bkj()=0,所以, cij() =(aik()bkj().,( A B ) = A B .,2.2 模糊关系,与模糊子集是经典集合的推广一样，模糊关系是普通关系的推广.,设有论域X，Y，X Y 的一个模糊子集 R 称为从 X 到 Y 的模糊关系. 模糊子集 R 的隶属函数为映射 R : X Y 0,1.
8、并称隶属度R (x , y ) 为 (x , y )关于模糊关系 R 的相关程度. 特别地，当 X =Y 时，称之为 X 上各元素之间的模糊关系.,模糊关系的运算,由于模糊关系 R就是X Y 的一个模糊子集，因此模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质.,设R，R1，R2均为从 X 到 Y 的模糊关系. 相等：R1= R2 R1(x, y) = R2(x, y)； 包含： R1 R2 R1(x, y)R2(x, y)； 并： R1R2 的隶属函数为 (R1R2 )(x, y) = R1(x, y)R2(x, y)； 交： R1R2 的隶属函数为 (R1R2 )(x, y) = R1(x, y)R2
9、(x, y)； 余：Rc 的隶属函数为Rc (x, y) = 1- R(x, y).,(R1R2 )(x, y)表示(x, y)对模糊关系“R1或者R2”的相关程度， (R1R2 )(x, y)表示(x, y)对模糊关系“R1且R2”的相关程度，Rc (x, y)表示(x, y)对模糊关系“非R”的相关程度.,模糊关系的矩阵表示,对于有限论域 X = x1, x2, , xm和Y = y1, y2, , yn，则X 到Y 模糊关系R可用mn 阶模糊矩阵表示，即 R = (rij)mn， 其中rij = R (xi , yj )0, 1表示(xi , yj )关于模糊关系R 的相关程度. 又若R
10、为布尔矩阵时,则关系R为普通关系,即xi 与 yj 之间要么有关系(rij = 1),要么没有关系( rij = 0 ).,例 设身高论域X =140, 150, 160, 170, 180 (单位：cm), 体重论域Y =40, 50, 60, 70, 80(单位：kg),下表给出了身高与体重的模糊关系.,模糊关系的合成,设 R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是 Y 到 Z 的关系, 则R1与 R2的合成 R1 R2是 X 到 Z 上的一个关系. (R1R2) (x, z) = R1 (x, y)R2 (y, z)| yY 当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊矩阵的合成. 设X = x
11、1, x2, , xm, Y = y1 , y2 , , ys, Z= z1, z2, , zn，且X 到Y 的模糊关系R1 = (aik)ms，Y 到Z 的模糊关系R2 = (bkj)sn，则X 到Z 的模糊关系可表示为模糊矩阵的合成： R1 R2 = (cij)mn， 其中cij = (aikbkj) | 1ks.,模糊关系合成运算的性质,性质1：(A B) C = A (B C)； 性质2：A ( BC ) = ( A B )( A C )； ( BC ) A = ( B A )( C A )； 性质3：( A B )T = BT AT； 性质4：A B，C D A C B D.,注：(
12、1) 合成( )运算关于()的分配律不成立,即 ( AB ) C ( A C )( B C ) (2) 这些性质在有限论域情况下,就是模糊矩阵合成运算的性质.,2.3 模糊等价矩阵,模糊等价关系,若模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系，且满足： (1)自反性：R(x, x) =1； (2)对称性：R(x, y) =R(y, x)； (3)传递性：R2R, 则称模糊关系R是X上的一个模糊等价关系.,当论域X = x1, x2, , xn为有限时, X 上的一个模糊等价关系R就是模糊等价矩阵, 即R满足：,I R ( rii =1 ),RT=R( rij= rji),R2R.,R2R ( (rik
13、rkj) | 1kn rij) .,模糊等价矩阵的基本定理,定理1 若R具有自反性(IR)和传递性(R2R), 则 R2 = R. 定理2 若R是模糊等价矩阵,则对任意0, 1，R是等价的Boole矩阵.,0,1，ABAB； (AB)=AB；( AT ) = ( A)T,证明如下： (1)自反性：IR0,1，IR 0,1，I R，即R具有自反性； (2)对称性：RT = R (RT) = R (R)T = R，即R具有对称性； (3)传递性：R2R(R)2R，即R具有传递性.,定理3 若R是模糊等价矩阵,则对任意的01, R 所决定的分类中的每一个类是R决定的分类中的某个类的子类.,证明：对于
14、论域 X = x1, x2, , xn，若 xi , xj 按R分在一类，则有 rij() = 1 rij rij rij() =1， 即若 xi , xj 按R也分在一类. 所以，R 所决定的分类中的每一个类是R 决定的分类中的某个类的子类.,模糊相似关系,若模糊关系 R 是 X 上各元素之间的模糊关系，且满足： (1) 自反性：R( x , x ) = 1； (2) 对称性：R( x , y ) = R( y , x ) ； 则称模糊关系 R 是 X 上的一个模糊相似关系. 当论域X = x1, x2, , xn为有限时，X 上的一个模糊相似关系 R 就是模糊相似矩阵，即R满足： (1)
15、自反性：I R ( rii =1 )； (2) 对称性：RT = R ( rij = rji ).,模糊相似矩阵的性质,定理1 若R 是模糊相似矩阵，则对任意的自然数 k，Rk 也是模糊相似矩阵. 定理2 若R 是n阶模糊相似矩阵，则存在一个最小自然数 k (kn )，对于一切大于k 的自然数 l，恒有Rl = Rk，即Rk 是模糊等价矩阵(R2k = Rk ). 此时称Rk为R的传递闭包，记作 t ( R ) = Rk . 上述定理表明，任一个模糊相似矩阵可诱导出一个模糊等价矩阵.,平方法求传递闭包 t (R)： RR2R4R8R16,2.4 模糊聚类分析,数据标准化,设论域X = x1,
16、x2, , xn为被分类对象,每个对象又由m个指标表示其形状: xi = xi1, xi2, , xim, i = 1, 2, , n 于是,得到原始数据矩阵为,平移 标准差变换,其中,平移 极差变换,模糊相似矩阵建立方法,相似系数法 -夹角余弦法,相似系数法 -相关系数法,其中,距离法,海明距离,欧氏距离,Boole矩阵法：,Boole矩阵法的步骤如下：,(1)求模糊相似矩阵的 -截矩阵R ； (2) 若R在某一排列下的矩阵有形如,的特殊子矩阵,则将R 中上述特殊形式子矩阵的0改为1，直到在任一排列下R中不再产生上述特殊形式子矩阵为止.,最佳分类的确定,在模糊聚类分析中，对于各个不同的0,1
17、，可得到不同的分类，从而形成一种动态聚类图，这对全面了解样本分类情况是比较形象和直观的. 但在许多实际问题中，需要给出样本的一个具体分类，这就提出了如何确定最佳分类的问题.,设X = (xij)nm为n个元素m个指标的原始数据矩阵. 为总体样本的中心向量.,对应于 值的分类数为r，第 j 类的样本数为nj，第 j 类的样本标记为,第 j 类样本的中心向量为,作F- 统计量：,如果满足不等式FF ( r -1, n -r )的F值不止一个，则可根据实际情况选择一个满意的分类，或者进一步考查差 ( F - F )/F 的大小，从较大者中找一个满意的F值即可.,实际上，最佳分类的确定方法与聚类方法无关，但是选择较好的聚类方法，可以较快地找到比较满意的分类.,