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1、1.1.3四种命题的相互关系,高二数学 选修2-1 第一章 常用逻辑用语,反证法：,要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面（非A）是错误的，从而断定A是正确的。 即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法。,例 证明：若p2q22，则pq2.,将“若p2q22，则pq2”看成原命题。由于原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，要证原命题为真命题，可以证明它的逆否命题为真命题。,即证明 为真命题,假设原命题结论的反面成立,看能否推出原命题条件的反面成立,尝试成功,得证,例 证明：若p2q22，则pq2.,反证法的步骤：,假设
2、命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。 从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾。 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。,可能出现矛盾四种情况：,与题设矛盾； 与反设矛盾； 与公理、定理矛盾； 在证明过程中，推出自相矛盾的结论。,练 圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。,已知：如图，在O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.,证明：,假设弦AB 、CD被P平分，,P点一定不是圆心O，连接OP，根据垂径定理的推论，,有,OPAB, OPCD,即 过点P有两条直线与OP都垂直，,这与垂线性质矛盾，,弦AB、CD不被P平分。,若a2能被2整除，a是整数， 求证：a也能被2整除.,证：假设a不能被2整除，则a必为奇数， 故可令a=2m+1(m为整数), 由此得 a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明a2是奇数， 这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾, a能被2整除.,