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1、模糊数学基础,主讲人：韩邦合,Fuzzy Mathematics,实际生活中充满了模糊概念，例如,要你某时到飞机场去迎接一个“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”.,精确概念：时间、地点、男人,模糊概念：大胡子、高个子、长头发、宽边眼镜、中年人,模糊概念是存在的，也是必须的，更是重要的。,人类大脑对于模糊性概念具有较强的处理能力，模糊数学研究处理模糊概念的理论和方法，从而让机器人具有人一样的思维能力，是人工智能的重要学科之一。,1. 模糊子集,精确概念的数学模型： 用论域的经典子集刻画。,经典子集合范围边界分明,即：一个元素x要么属于集合A(记作xA),要么不属于集合(记作xA)，二者
2、必居其一.,U的子集A的数学模型还可以用特征函数来表示,特征函数满足：,取大运算,如23 = 3,取小运算,如23 = 2,那么模糊概念呢？,秃头悖论：头上掉一根头发，不是秃头；再掉一根，也不是秃头按照此逻辑下去当秃头出现的时候还不是秃头。,什么原因呢？,秃头本身是一个模糊概念,那么如何刻画模糊概念呢？,特征函数中函数值仅取0,1值，非此即彼，缺乏程度化，或者缺乏量化。,模糊子集与隶属函数,设U是论域，称映射 A(x)：U0,1 为U上的一个模糊子集A。,映射A(x)称为A的隶属函数，它表示x对A的隶属程度.,当A(x) = 0.5时，点x最具模糊性.,当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就
3、是经典子集，而A(x)就是它的特征函数. 可见经典子集就是模糊子集的特殊情形.,例1 设论域U = x1, x2, x3, x4, x5(商品集)，在U上定义一个模糊集：A =“质量好的商品”。,A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1).,表示方法1,表示方法2,例2 设论域U = 1,2，. . ., 100(年龄集合)，在U上定义一个模糊集：A =“年轻人”。,表示方法3,模糊集的运算,相等：A = B A(x) = B(x)； 包含：AB A(x)B(x)； 并：AB的隶属函数为 (AB)(x)=A(x)B(x)； 交：AB的隶属函数为 (AB)(x)=A(x)B(x)； 余
4、：Ac的隶属函数为 Ac (x) = 1- A(x).,模糊集的并、交、余运算性质,幂等律：AA = A， AA = A； 交换律：AB = BA，AB = BA； 结合律：(AB)C = A(BC)， (AB)C = A(BC) ； 吸收律：A(AB) = A，A( AB)= A； 分配律：(AB)C = (AC)(BC)； (AB)C = (AC)(BC)； 0-1律： AU = U，AU = A； A = A，A = ； 还原律： (Ac)c = A ；,模糊集的运算性质基本上与经典集合一致，除了排中律以外，即 AAc U， AAc . 模糊集不再具有“非此即彼”的特点，这正是模糊性带来
5、的本质特征.,-截集：,模糊集的-截集A是一个经典集合，由隶属度不小于的成员构成.即：,A= x | A(x) ,例3：论域U=u1, u2, u3, u4 , u5 , u6(学生集)，他们的成绩依次为50,60,70,80,90,95，A=“学习成绩优秀的学生”的隶属度分0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.95， 则A0.9=u5 , u6。,2.模糊关系,经典关系，例如， 父子关系，同桌关系；,模糊关系，例如， 两人长得很像，某某很喜欢某某；,经典二元关系,X Y 的子集 R 称为从 X 到 Y 的二元关系，特别地，当 X = Y 时，称之为 X 上的二元关系，简称为关系. 若(
6、x , y )R，则称 x 与 y 有关系，记为R (x , y ) = 1； 若(x , y )R，则称 x 与 y 没有关系，记为R (x , y ) = 0. 映射 R : X Y 0,1 实际上是 X Y 的子集R的特征函数.,模糊关系是普通关系的推广.,设有论域X，Y，X Y 的一个模糊子集 R 称为从 X 到 Y 的模糊关系. 模糊子集 R 的隶属函数为映射 R : X Y 0,1. 特别地，当 X =Y 时，称之为 X 上各元素之间的模糊关系.,经典关系是模糊关系的特例.,模糊关系用模糊矩阵表示,模糊关系的运算,由于模糊关系 R就是X Y 的一个模糊子集，因此模糊关系同样具有模糊
7、子集的运算及性质.,设R，R1，R2均为从 X 到 Y 的模糊关系. 相等：R1= R2 R1(x, y) = R2(x, y)； 包含： R1 R2 R1(x, y)R2(x, y)； 并： R1R2 的隶属函数为 (R1R2 )(x, y) = R1(x, y)R2(x, y)； 交： R1R2 的隶属函数为 (R1R2 )(x, y) = R1(x, y)R2(x, y)； 余：Rc 的隶属函数为Rc (x, y) = 1- R(x, y).,模糊关系的合成,当论域为有限时，模糊关系的合成可以用其对应模糊矩阵的乘法来实现.只不过这里的模糊矩阵的乘法不同于常规矩阵的乘积，但模式是一样的。,
8、模糊关系的合成,设X = x1, x2, , xm, Y = y1 , y2 , , ys, Z= z1, z2, , zn，且X 到Y 的模糊关系R1 = (aik)ms，Y 到Z 的模糊关系R2 = (bkj)sn，则X 到Z 的模糊关系R1 R2可表示为对应模糊矩阵的乘积： R1 R2 = (cij)mn， 其中cij = (aikbkj) | 1ks.,原来的数字乘法变成了取小运算,原来的数字加法变成了取大运算,例如，,模糊关系的三大特性,(1) 自反性：若 X 上的任何元素都有R (x , x) =1，则称关系 R 具有自反性；,设R为 X 上的模糊关系,(2) 对称性：若对于X 上
9、的任意两个元素 x , y，都有R (x , y ) =R ( y , x ) ，那么称R具有对称性。,设R为 X 上的模糊关系,(3) R具有传递性当且仅当,设R为 X 上的模糊关系,R2 R.,这里R2是R和R本身的合成。注意包含关系： R1 R2 R1(x, y)R2(x, y)。,模糊等价关系,若模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系，且满足： (1)自反性：R(x, x) =1； (2)对称性：R(x, y) =R(y, x)； (3)传递性：R2R, 则称模糊关系R是X上的一个模糊等价关系.,模糊等价关系是经典等价关系的推广,X上的经典等价关系R满足： (1)自反性：R(x, x)
10、=1； (2)对称性：R(x, y) =R(y, x)； (3)传递性：如果x和y有关系，y和z有关系，那么x和z一定也有关系 。,模糊等价关系和经典等价关系的联系,定理1 R是模糊等价关系当且经当R的任意-截集都是经典等价关系。,3.模糊聚类,U上的一个分类C可以诱导一个U上的等价关系R，R(a,b)=1当且仅当a和b在一类。,U上的一个等价关系R可以诱导一个U上的分类C，a和b在一类当且仅当R(a,b)=1。,聚类的前提条件,在某一方面的相似关系,模糊相似关系,R 是 X 上各元素之间的模糊关系，若R 满足：对于任意的x，y， (1) 自反性：R( x , x ) = 1； (2) 对称性
11、：R( x , y ) = R( y , x ) ， 则称模糊关系 R 是 X 上的一个模糊相似关系.,当论域X = x1, x2, , xn为有限时，X 上的一个模糊相似关系 R 诱导的模糊矩阵称为模糊相似矩阵，即R满足： (1) 自反性：I R ( rii =1 )； (2) 对称性：RT = R ( rij = rji ).,模糊相似关系未必是模糊等价关系,模糊聚类的关键,得到模糊相似关系。,由模糊相似关系出发得到模糊等价关系。,由模糊等价关系的-截集得到等价关系，从而分类。,数据标准化,设论域X = x1, x2, , xn为被分类对象,每个对象又由m个指标表示其形状: xi = xi
12、1, xi2, , xim, i = 1, 2, , n 于是,得到原始数据矩阵为,平移 标准差变换,其中,平移 极差变换,模糊相似矩阵建立方法,相似系数法 -夹角余弦法,相似系数法 -相关系数法,距离法,海明距离,欧氏距离,由模糊相似矩阵诱导模糊等价矩阵,定理2 若R 是模糊相似矩阵，则对任意的自然数 k，Rk 也是模糊相似矩阵.,要借助模糊相似矩阵的性质,模糊相似矩阵的性质,定理3 若R 是n阶模糊相似矩阵，则存在一个最小自然数 k (kn )，对于一切大于k 的自然数 l，恒有Rl = Rk，即Rk 是模糊等价矩阵(R2k = Rk ). 此时称Rk为R的传递闭包，记作 t ( R )
13、= Rk .,模糊相似矩阵的性质,上述定理表明，任一个模糊相似矩阵可诱导出一个模糊等价矩阵.,有限步之内可以求出,平方法求传递闭包 t (R)： RR2R4R8R16,最后由模糊等价关系的-截集得到等价关系，从而分类。不同的得到的分类可能是不一样的。,在模糊聚类分析中，对于各个不同的0,1，可得到不同的分类，从而形成一种动态聚类图，这对全面了解样本分类情况是比较形象和直观的.,取=0.4时等价类个数1个。,例3.由模糊相似关系到模糊等价关系：平方法,例3.由模糊相似关系到模糊等价关系：平方法,所以,是一个模糊等价关系。,取=0.8时等价类个数2个。,所以取=0.9时等价类个数3个。,小结,1.模糊数学不是模模糊糊的数学。,2.模糊数学是处理不确定性的 重要学科。,