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1、提问：数值分析是做什么用的？,第一章 误差 /* Error */,1 误差的背景介绍 /* Introduction */,1. 来源与分类 /* Source & Classification */,从实际问题中抽象出数学模型 模型误差 /* Modeling Error */,通过测量得到模型中参数的值 观测误差 /* Measurement Error */,求近似解 方法误差 (截断误差 /* Truncation Error */ ),机器字长有限 舍入误差 /* Roundoff Error */,1 Introduction: Source & Classification,1
2、 Introduction: Source & Classification,大家一起猜？,1,1 / e,解法之一：将 作Taylor展开后再积分,| 舍入误差 /* Roundoff Error */ |,= 0.747 ,由截去部分 /* excluded terms */ 引起,由留下部分 /* included terms */ 引起,例：近似计算,据说，美军 1910 年的一次部队的命令传递是这样的: 营长对值班军官: 明晚大约 8点钟左右，哈雷彗星将可能在这个地区看到，这种彗星每隔 76年才能看见一次。命令所有士兵着野战服在操场上集合，我将向他们解释这一罕见的现象。如果下雨的话，
3、就在礼堂集合，我为他们放一部有关彗星的影片。 值班军官对连长: 根据营长的命令，明晚8点哈雷彗星将在操场上空出现。如果下雨的话，就让士兵穿着野战服列队前往礼堂，这一罕见的现象将在那里出现。 连长对排长: 根据营长的命令，明晚8点，非凡的哈雷彗星将身穿野战服在礼堂中出现。如果操场上下雨，营长将下达另一个命令，这种命令每隔76年才会出现一次。 排长对班长: 明晚8点，营长将带着哈雷彗星在礼堂中出现，这是每隔 76年才有的事。如果下雨的话，营长将命令彗星穿上野战服到操场上去。 班长对士兵: 在明晚8点下雨的时候，著名的76岁哈雷将军将在营长的陪同下身着野战服，开着他那“彗星”牌汽车，经过操场前往礼堂
4、。,1 Introduction: Spread & Accumulation,2. 传播与积累 /* Spread & Accumulation */,例：蝴蝶效应 纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京就刮起台风来了？！,NY,BJ,以上是一个病态问题 /* ill-posed problem*/ 关于本身是病态的问题，我们还是留给数学家去头痛吧！,1 Introduction: Spread & Accumulation,例：计算, 公式一：,注意此公式精确成立,?,?,? !,! !,What happened?!,1 Introduction: Spread & Accumulati
5、on,考察第n步的误差, 公式二：,注意此公式与公式一 在理论上等价。,方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n N )。,可取,1 Introduction: Spread & Accumulation,取,1 Introduction: Spread & Accumulation,考察反推一步的误差：,以此类推，对 n N 有：,误差逐步递减, 这样的算法称为稳定的算法 /* stable algorithm */,在我们今后的讨论中，误差将不可回避， 算法的稳定性会是一个非常重要的话题。,2 误差与有效数字 /* Error and Significant Digits */,
6、绝对误差 /* absolute error */,其中x为精确值，x*为x的近似值。,Hey isnt it simple?,Oh yeah? Then tell me the absolute error of,Oops!,注：e* 理论上讲是唯一确定的，可能取正，也可能取负。 e* 0 不唯一，当然 e* 越小越具有参考价值。,I can tell that this parts diameter is 20cm1cm.,I can tell that distance between two planets is 1 million light year 1 light year.,O
7、f course mine is more accurate ! The accuracy relates to not only the absolute error, but also to the size of the exact value.,2 Error and Significant Digits, 相对误差 /* relative error */,Now I wouldnt call it simple. Say what is the relative error of 20cm1cm?,Dont tell me its 5% because,But what kind
8、of information does that 5% give us anyway?,x 的相对误差上限 /* relative accuracy */ 定义为,注：从 的定义可见， 实际上被偷换成了 ，而后才考察其上限。那么这样的偷换是否合法？ 严格的说法是， 与 是否反映了同一数量级的误差？ 关于此问题的详细讨论可见教材第3页。,2 Error and Significant Digits,有效数字 /* significant digits */,用科学计数法，记 （其中 ）。若 （即 的截取按四舍五入规则），则称 为有n 位有效数字，精确到 。,4,3,注：0.2300有4位有效数字
9、，而00023只有2位有效。12300如果写成0.123105，则表示只有3位有效数字。 数字末尾的0不可随意省去！,2 Error and Significant Digits,有效数字与相对误差的关系, 有效数字 相对误差限,已知 x* 有 n 位有效数字，则其相对误差限为, 相对误差限 有效数字,2 Error and Significant Digits,例：为使 的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？,解：假设 * 取到 n 位有效数字，则其相对误差上限为,要保证其相对误差小于0.001%，只要保证其上限满足,已知 a1 = 3，则从以上不等式可解得 n 6 log6，即
10、 n 6，应取 * = 3.14159。,3 函数的误差估计 /*Error Estimation for Functions*/,问题：对于 y = f (x)，若用 x* 取代 x，将对y 产生什么影响？,分析：e*(y) = f (x*) f (x) e*(x) = x* x,Mean Value Theorem,= f ( )(x* x),x* 与 x 非常接近时，可认为 f ( ) f (x*) ，则有： |e*(y)| | f (x*)|e*(x)|,即：x*产生的误差经过 f 作用后被放大/缩小了| f (x*)|倍。故称| f (x*)|为放大因子 /* amplificati
11、on factor */ 或 绝对条件数 /* absolute condition number */.,3 Error Estimation for Functions,相对误差条件数 /* relative condition number*/,f 的条件数在某一点是小大，则称 f 在该点是好条件的 /* well-conditioned */ 坏条件的 /* ill-conditioned */。,3 Error Estimation for Functions,例:计算 y = ln x。若 x 20，则取 x 的几位有效数字可保证 y 的相对误差 0.1% ?,解：设截取 n 位有
12、效数字后得 x* x，则,估计 x 和 y 的相对误差上限满足近似关系, n 4,例：计算 ，取 4 位有效，即 , 则相对误差,4 几点注意事项 /* Remarks */,1. 避免相近二数相减 (详细分析请参阅教材p.6 - p.7),例：a1 = 0.12345，a2 = 0.12346，各有5位有效数字。 而 a2 a1 = 0.00001，只剩下1位有效数字。, 几种经验性避免方法：,当 | x | 1 时：,更多技巧请见教材第8页习题6。,4 Remarks,2. 避免小分母 : 分母小会造成浮点溢出 /* over flow */,3. 避免大数吃小数,例：用单精度计算 的根。
13、,精确解为, 算法1：利用求根公式,在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101。做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1 的指数部分须变为1010，则：1 = 0.0000000001 1010，取单精度时就成为： 109+1=0.100000001010+0.00000000 1010=0.10000000 1010,大数吃小数,4 Remarks,算法2：先解出 再利用,注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。,例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算 1 + 2 + 3 + + 40 + 109,4. 先化简再计算，减少步骤，避免误差积累。,一般来说
14、，计算机处理下列运算的速度为,5. 选用稳定的算法。,HW: p.8-9 #1, #7 Self-study Ch.2-1,Excuses for not doing homework I accidentally divided by zero and my paper burst into flames.,which implies (1) =1.0. One can then produce a series for (x) (1) which converges faster than the original series. This series not only converge
15、s much faster, it also reduces roundoff loss. This process of finding a faster converging series may be repeated again on the second series to produce a third sequence, which converges even more rapidly than the second. The following equation is helpful in determining how may items are required in summing the series above.,