四章节三章节时.ppt

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1、第三课时 利用导数研究函数的极值和最值,第四章 导数及其应用,知识梳理,一、函数的极值 1函数极值的定义 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0)，就说f(x0)是_，记作_，x0是_ 如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0)就说f(x0)_，记作_，x0是极小值点极大值与极小值统称为_,答案：一、1.函数f(x)的一个极大值 y极大值f(x0) 极大值点 是函数f(x)的一个极小值 y极小值f(x0) 极值,2判别f(x0)是极大、极小值的方法 若x0满足f(x0)0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x

2、0)是极值，并且如果f(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的_，f(x0)是_；如果f(x)在x0两侧满足“_”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值,答案：2.极大值点 极大值 左负右正,3求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义区间，求_； (2)求方程_的根； (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成_，并列成表格检查f(x)在_，如果_，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果_，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右_，那么f(x)在这个根处_,答案：3.(1)导数f(x) (2)f(x)0 (3)若干小开区间 方程根左右的值的符号 左

3、正右负 左负右正 符号不改变 无极值,二、 函数的最大值与最小值 1函数的最大值与最小值 在闭区间 上图象连续不断的函数f(x)在 上_最大值与最小值 2利用导数求函数的最值步骤： 设函数f(x)在(a，b)内可导，在闭区间 上图象连续不断，求函数f(x)在 上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求f(x)在(a，b)内的_； (2)将f(x)的各_与_、_比较，得出函数f(x)在 上的最值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值,答案：二、1.必有 2.(1)极值 (2)极值 f(a) f(b),基础自测,1(2010年福州模拟)设aR，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则( )

4、Aa1 Ca,解析：函数yexax的导数为yexa. 令yexa0，显然a0时无解 当a0，a1， 所以a1，故选A. 答案：A,2(2010年桂林模拟)已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y3xx3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于( ) A2 B1 C1 D2,A,3A(2011年广州一模)函数 为自然对数的底数）在（0，+）上 （ ） A有极大值 B有极小值 C是增函数 D是减函数,C,3B(2009年辽宁卷)若函数f(x) 在x1处取极值，则a_.,解析：,答案：3,4.(2010年中山质检)函数f(x)的定义域为(a，b)，其导函数f(x)在(a，b)内的图象如下图所示，则函

5、数f(x)在区间(a，b)内极小值点的个数是_,1,(2010年安徽卷)设函数fsin xcos xx1, 0x2，求函数f(x)的单调区间与极值,思路分析：对函数fsin xcos xx1求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值,解析：由f(x)sin xcos xx1,0x2， 知f(x)cos xsin x11sin . 令f(x)0，从而sin ， 得x，或x ，,当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：,因此，由上表知f(x)的单调递增区间是(0，)与 ， 单调递减区间是 ，极小值为f ，极大值为

6、f()2.,点评：对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为0得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点,变式探究,1(2010年佛山二模)已知函数f(x)x2axbln x(x0，实数a，b为常数) (1)若a1，b1，求函数f(x)的极值； (2)若ab2，讨论函数f(x)的单调性,解析：(1)函数f(x)x2xln x，则f(x)2x1 ， 令f(x)0，得x1(舍去)，x . 当0 时， f(x)0，函数单调递增； f(x)在x 处取得极小值 ln 2.,(2)由于ab2，则a2b， 从而f(x)x2(2b)xbln x，则

7、f(x)2x(2b) ， 令f(x)0，得x1 ，x21. 当0，即b0时，函数f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，);,当01，即0b2时，列表如下：,所以，函数f(x)的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 . 当 1，即b2时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)； 当 1，即b2时，列表如下：,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1)， ，单调递减区间为 ； 综上：当b0时，函数f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，)； 当02时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)， ，单调递减区间为 .,已知a为实数，f(x)(x24)(xa) (1)若f

8、(1)0，求f(x)在2,2 上的最大值和最小值； (2)若f(x)在(，2和2，)上都是递增的，求a的取值范围 思路分析：(1)按照利用导数求函数的最值的步骤去求解 (2)当函数f(x)在给定的区间上递增时，则在该区间上恒有f(x)0，从而得到关于a的不等式,解析： (1)由原式得f(x)x3ax24x4a， f(x)3x22ax4.由f(1)0，得a ， 此时有f(x)(x24) ，f(x)3x2x4. 由f(x)0得x 或x1 ， 当x在2,2上变化时，f(x)，f(x)的变化如下表,(2)解法一： f(x)3x22ax4的图象为开口向上且过点(0，4)的抛物线，由条件得 f(2)0，f

9、(2)0，,2a2.所以a的取值范围为2,2 解法二：令f(x)0，即3x22ax40, 由求根公式得,所以f(x)3x22ax4在 和x2，)上非负 由题意可知，当x2或x2时， f(x)0， 从而x12，x22，,解不等式组得： 2a2.,a的取值范围是2,2,点评：(1)极大值、极小值是否就是最大值、最小值，要与区间两端点的函数值进行比较，才能下结论 (2)在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f(x)0(或f(x)0)恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f(x)不恒为0，则由f(x)0(或f

10、(x)0)，x(a，b)恒成立解出的参数的取值范围确定,变式探究,2(2010年清远检测)f(x)x33x22在区间 上的最大值是( ) A2 B0 C2 D4,解析：f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，可得x0或2(2舍去)，当1x0时，f(x)0，当0x1时，f(x)0，所以当x0时，f(x)取得最大值为2. 答案：C,3(2010年温州模拟)已知a是实数，函数f(x)x2(xa) (1)若f(1)3，求a的值及曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)求f(x)在区间0,2上的最大值,解析：(1)f(x)3x22ax.因为f(1)32a3，所以 a0. 又当a0时，

11、f(1)1，f(1)3，所以曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为3xy20.,4. (2011年青岛质检)已知函数f(x)ln x. (1)若F(x) (aR)，求F(x)的极大值； (2)若G(x)f(x)2kx在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围,解析：,令F(x)0，得xe1a，由F(x)0，得0e1a，即F(x)在(0，e1a)上单调递增， 在(e1a，)上单调递减，,(2)G(x)(ln x)2kx的定义域为(0，)，,由G(x)在定义域内单调递减知：,由H(x)0得xe. 当x(0，e)时，H(x)0，H(x)为增函数； 当x(e，)时，H(x)0，H(x)为

12、减函数；,1由极值的定义可知，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值此外请注意以下几点 (1)极值是一个局部概念由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 (2)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)f(x1) .,(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在

13、区间的端点 (5)可导函数的极值点的导数为0，但是导数为0的点不一定是极值点，如函数yx3在x0处导数为0，但x0不是极值点 (6)函数在一点x0处有极值，不一定在该点可导如函数y|x| 在x0有极小值，但在x0处不可导，即导数不存在 2对于函数的最值问题，应注意以下几点 (1)在闭区间 上图象连续不断的函数f(x)在 上必有最大值与最小值,(2)在开区间(a，b)内图象连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值如函数f(x) 在(0，)内连续，但没有最大值与最小值； (3)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；而函数的极值是比较极值点附近函数值得出的 (4)函数f(x)在闭区间 上的图象

14、连续不断，是f(x)在闭区间 上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件如函数,在 上有最大值，最小值(最大值是0，最小值是2)，但其图象却不是连续不断的(如下图),(5)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个也没有 (6)若函数f(x)只有一个极值，则必为最值若函数f(x)在闭区间a，b上递增，则f(x)minf(a)，f(x)maxf(b)；若函数f(x)在闭区间a，b上递减，则f(x)minf(b)，f(x)maxf(a),1(2010年安徽卷)设a为实数，函数fex2x2a，xR. (1)求f的单调区间与极值； (2)求证：当aln 21且x

15、0时，exx22ax1.,解析：由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR. 令f(x)0，得xln 2，于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是 (ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为 f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a) (2)证明：设g(x)exx22ax1，xR.于是g(x)ex2x2a，xR，由(1)知当aln 21时，g(x)取最小值为 g(ln 2)2(1ln 2a)0， 于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增 于是当aln 21时，对任意x(

16、0，)，都有g(x)g(0) 而g(0)0，从而对任意x(0，)，都有g(x)0. 即exx22ax10，故exx22ax1.,2(2010年重庆卷)已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函数 (1)求f(x)的表达式； (2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2上的最大值和最小值,解析：(1)由题意得f(x)2ax22xb. 因此g(x)f(x)f(x)ax3(3a1)x2(b2)xb. 因为函数g(x)是奇函数，所以g(x)g(x)， 即对任意实数x， 有a(x)3(3a1)(x)2(b2)(x)b ax3(3a1)x2(b2)xb,从而3a10，b0，解得a ，b0， 因此f(x)在解析表达式为f(x) x3x2.,g(x)0，,祝,您,学业有成,