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1、第四章 向量空间,本章主要讨论向量空间。它是线性代数的基本内容之一。这里的向量是一个集合里元素的名称，而空间在数学上的含义就是一个集合，在其中定义了运算，而且这些运算满足一组法则。我们可以通过这些运算的法则导出该集合的“结构”。,一、n维向量的定义,二、n维向量的运算,一切 n 维向量所构成的集合，按上面规定的两种运算，可以验证它是符合下面八条运算法则，这样的 n 维向量的集合称为 n 维向量空间。记为 Rn。,三、n维向量空间,一、线性组合与线性表示,1.定义：设有向量组A：a1,a2,am及向量a，若存在 m 个实数 x1,x2,xm，使 成立，则向量 a 称为向量组 a1,a2,am的一
2、个线性组合，或称向量 a 可由向量组 a1,a2,am线性表示。 若向量a可由向量组A: a1,a2,am线性表示，那么向量方程 有解.,定理1.向量a能由向量组a1,a2,am(m2)线性表示的充要条件矩阵A=(a1,a2,am)的秩等于矩阵B= (a1,a2,am,a)的秩。,二、等价向量组,1.定义2：如果向量组 A：a1,a2,ar 中的每个向量均可被向量组 B：b1,b2,bs 线性表示，则称向量组 A 可被向量组 B 线性表示，若向量组 A 与 B可以相互线性表示，则称向量组 A 与 B 等价.,2.等价关系的三条性质： 1)反身性：一个向量组与它本身是等价的； 2)对称性：如果向
3、量组 A 与向量组 B 等价，那么向量组 B 与向量组 A 也等价； 3)传递性：若向量组A与向量组B等价，向量组B与向量组C等价，则向量组A与向量组C是等价的。 3.向量组等价与矩阵秩的关系： (1)若向量组A与B所构成的矩阵依次记为A、B，则向量组 B 能被向量组 A 表示的充要条件是，一定存在矩阵 C 使得 B = AC.,1.定义：给定向量组A：a1,a2,am，若存在不全为零的实数x1,x2,xm，使得关系式,三、线性相关与线性无关,恒成立，则称向量组a1,a2,am线性相关，否则称该向量组线性无关，即若上述等式当且仅当x1=x2=xm=0时成立，则a1,a2,am线性无关.由次可见
4、，向量组a1,a2,am是否线性相关就是看方程组 是否有非零解。,定理4：向量组a1,a2,am(m2)线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合.,定理5 . 如果Rn中有一组线性无关的向量b1,b2,bm和一向量a，而向量组a,b1,b2,bm线性相关，则向量a可由向量组b1,b2,bm线性表示，且表示法唯一.,2.如何判定 m 个 n 维向量的线性相关性 (1)利用定义 (2)利用矩阵的秩 n维列向量组a1,a2,am与一个mn阶矩阵之间有一一对应的关系；同样n维行向量组b1,b2,bm也与一个mn阶矩阵之间有一一对应的关系，因此，判定向量组的线性相关性只要来求该向量组所
5、对应矩阵的秩即可。当矩阵的秩等于该向量组中向量的个数，则向量组线性无关，否则，线性相关。,3.关于向量组的线性相关性，我们还有如下结论 1).如果向量组只有一个向量，它线性无关的充要条件是该向量不是零向量； 2).如果向量组是由两个向量组成，它们线性相关的充要条件是它们的分量对应成比例； 3).若一个向量组中含有零向量，则此向量组一定线性相关； 4).若一向量组中有部分向量线性相关，则此整个向量组线性相关；,5).如果一个向量组是线性无关的，则它的任何部分向量组必定线性无关； 6).若一组n维向量线性无关，将它们在同一位置增加p个分量，成为一组n+p维的向量组，这样的向量组也线性无关； 7).
6、如果一组向量线性相关，则去掉若干分量而得到的向量组也线性相关。 8).m个n维向量组成的向量组当m n 时一定线性相关。,1.极大线性无关组 设有向量组 A ，如果在A中能选出 r 个向量a1 , a2 ,ar，满足： 1)向量组A0：a1,a2,ar线性无关； 2)向量组A中的任一向量均可被向量组A0线性表示；或者满足： 1)向量组A0：a1,a2,ar线性无关； 2)向量组A中的任何r+1个向量都线性相关； 那么称向量组A0是向量组A的一个极大线性无关组.,四、向量组的秩,向量组的极大线性无关组一般是不唯一的。 一个向量组和它自己的极大线性无关组是等价的。,2.向量组的秩 向量组 A 中的
7、一个极大无关组中所含有的向量个数 r 称之为向量组 A 的秩，记为RA。 定理：矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩。 证：设 A=(a1,a2,ar)，R(A)=k，并设k阶子式Dk 0，则Dk所在的k列线性无关，又由A中所有k+1阶子式均为零知，A中任意k+1个列向量都线性相关，因此Dk所在的k列是A的列向量组的一个极大,无关组，所以列向量组的秩等于k。 同理可证明行向量组的秩也等于k。,定理：设向量组A：a1,a2,am可由向量组 B：b1,b2 ,bn线性表示，则：RARB 证：设向量组A的一个极大无关组为 A0：a1,a2,ar，向量组B 的一个极大无关组为B0：b1
8、,b2,bs，由于A与A0等价，B与B0等价，所,推论1：等价向量组的秩相等； 推论2：设向量组B是向量组A的一个部分组，若向量组B线性无关，且向量组A能由向量组B线性表示，则向量组B是向量组A的一个极大无关组。,以， A0可由B0 线性表示，由前面的定理可知，rs，故RARB ,设V 是一个非空集合，P 是一个数域，在集合V的元素之间定义两种运算，一种叫做加法，一种叫做数乘；对于V 中的任意两个元素 a,b 相加的和记为 a+b，任一元素a与数域P 中的任一数的乘积记为a， a+b、a 都仍为V 中的元素，且上述两种运算满足下列法则,一、定义,则集合V 叫做向量空间，也称为线性空间，V 中的
9、元素称为向量。当P 为实数域时，向量空间V 称为实向量空间；当P 为复数域时，向量空间V 称为复向量空间，V 的零元素称为零向量；a 称为 a 的负向量。,这里向量空间的概念有了很大的延拓，前面所介绍的Rn只是我们常见的一种向量空间，它不是向量空间的全部。在这里，向量也不一定只是有序数组，向量空间中的运算只要满足八条运算规律，当然也就不一定是有序数组的加法和数乘。,二、向量空间的性质,三、维数、基与坐标,1.定义：在向量空间V 中，如果存在 n 个元素a1,a2,an满足： 1)a1,a2,an线性无关； 2)V 中任一元素 a 总可由a1,a2,an线性表示，那么， a1,a2,an就称为向
10、量空间V 的一个基，基中元素的个数 n 称为向量空间V 的维数. 维数为 n 的向量空间称为 n 维向量空间，记作Vn。,若a1,a2,an为向量空间Vn的一个基，则由基的定义，Vn可表示为,由前面的定理可知，向量空间的基是不唯一的，但不同的两个基中含有的元素的个数是相同的。n 维向量空间中，任意 n 个线性无关的向量都可充当该向量空间的一个基。,四、向量空间中向量的坐标运算,上述结果表明：在n维向量空间Vn中取定了一个基之后， Vn中的向量与n维数组向量空间Rn中的向量之间就有了一一对应的关系，且这个对应关系具有如下性质：,也就是说，这种对应关系保持了线性组合的对应，所以可以说Vn与Rn 有
11、相同的结构，我们称Vn与Rn同构。,1.定义：设 S 为向量空间V 的一个非空子集，如果 S 对于V 中的加法运算与数乘运算也能构成向量空间，则S 称为V 的子空间。 定理：向量空间V 的非空子集 S 是V 的子空间的充要条件是S 对V 中的加法运算和数乘运算是封闭的。 定理：向量空间V 的非空子集S 是V 的子空间的充要条件是：对 于 任意的实数 x、y 和S 中的任意两个向量 a、b 均有 x a + y b S,五、子空间,2.生成子空间 给定V 中一组向量 a1 , a2 ,am，那么它的一切可能的线性组合显然也构成子空间，把这样的子空间就称为由向量 a1,a2,am 所生成的子空间，记作：L(a1,a2,am) 3.平凡子空间与非平凡子空间 V 中只有零向量的子集也构成子空间，该子空间称为零子空间；V 本身也是 V 的子空间，这两种子空间称为平凡子空间，除此之外的任何子空间称为非平凡子空间。,一、方程组的解,二、解向量的性质,定理：n元齐次线性方程组 Amnx = O 的全体解所构成的集合 S 是一向量空间，当系数矩阵的秩 R(Amn) = r (n) 时，解空间 S 的维数为 n r.,