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1、2019/7/31,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,第7章 数值积分,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,数值积分问题,数值积分是工程师和科学家经常使用的基本工具，用来计算无法解析求解的定积分的近似解 定积分的几何意义：曲边梯形的面积 本章的目的是推导数值积分的基本原理,如：,不存在(x)的解析表达，要求(5),可通过求在区间0t5上曲线y=f(t)=t3/(et-1)之下的面积，得,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,几个简单的数值积分公式,左/中/右矩形公式 梯形公式,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,左矩形公式,梯形公式,中矩形公
2、式,右矩形公式,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,积分简介,数值积分的目的是，通过在有限个采样点上计算 f (x)的值来逼近 f (x)在区间a,b上的定积分,定义7.1 设a=x0x1xM=b. 称形如,且具有性质 的公式为数值积分或面积公式。项 E f 称为积分的截断误差，值 称为面积节点， 称为权。,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,积分公式的数值精度,定义7.2 面积公式的精度为正整数n，n使得对所有次数in的多项式Pi(x)，都满足EPi=0，而对某些次数为n+1的多项式Pn+1(x)有EPn+1 0,通过研究f (x)为多项式时的情形可以预测
3、EPi的形式。考虑任意i次多项式Pi(x)=aixi+ai-1xi-1+a1x+a0，如果in，则对所有x，有Pi(n+1)(x)0，并且对所有的x，式 成立,故截断误差的一般形式为E f =K f (n+1)(c)，其中K是一个合理选择的常数，n为精度,注意：积分公式的数值精度定义没有指定积分区间,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,基于多项式插值的面积公式,通过M+1个等距点 存在唯一的次数小于等于M的多项式PM(x)。当用该多项式来近似a,b上的f (x)时，PM(x)的积分就近似等于f (x)的积分，这类公式称为牛顿科特斯公式。当使用采样点x0=a和xM=b时，称为闭
4、型牛顿科特斯公式,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,闭型牛顿科特斯面积公式,定理7.1 设xk=x0+kh为等距节点，且fk=f(xk)。前4个闭型NC面积公式为,（梯形公式）,（辛普森公式）,（辛普森3/8公式）,（布尔公式）,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,利用NC公式求数值积分,例7.1 函数f(x)=1+e-xsin(4x)，等距面积节点为x0=0.0, x1=0.5,x2=1.0,x3=1.5,x4=2.0,对应的函数值为f0=1.00000, f1=1.55152, f2=0.72159, f3=0.93765, f4=1.13390,h=
5、0.5,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,x0,x1上y=P1(x)的梯形积分公式,x0,x4上y=P4(x)的布尔积分公式,x0,x3上y=P3(x)的辛普森3/8积分公式,x0,x2上y=P2(x)的辛普森积分公式,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,NC公式的精度,推论7.1 设f(x)充分可微，则NC面积公式的Ef包含一个高阶的导数项。,梯形公式的精度为n=1，如果fC2a,b，则,辛普森公式的精度为n=3，如果fC4a,b，则,辛普森3/8公式的精度为n=3，如果fC4a,b，则,布尔公式的精度为n=5，如果fC6a,b，则,华南师范大学数学科学
6、学院 谢骊玲,2019/7/31,步长的选择,因为各个公式所需节点个数不同，如果固定求积区间a,b的端点，则对不同公式要采用不同的步长。梯形公式、辛普森公式、辛普森3/8公式和布尔公式的步长分别为h=b-a,h=(b-a)/2,h=(b-a)/3和h=(b-a)/4,例7.2 分别将区间0,1作1、2、3、4等分,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,例7.2,对于梯形公式，h=1,对于辛普森公式，h=1/2,对于布尔公式，h=1/4,对于辛普森3/8公式，h=1/3,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,0,1上y=P1(x)的梯形积分公式,0,1上y=P4(
7、x)的布尔积分公式,0,1上y=P3(x)的辛普森3/8积分公式,0,1上y=P2(x)的辛普森积分公式,例7.2,该定积分的真解为,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,公式的比较,为对面积公式进行公平的比较，必须在每种方法中进行相同次数的函数求值 对上例中的梯形公式、辛普森公式和布尔公式，每种方法都要在给定区间0,1上进行5次函数求值。对梯形公式而言，则要在4个子区间x0,x1, x1,x2, x2,x3和x3,x4上使用，称之为组合梯形公式；同理，在两个子区间x0,x2和x2,x4上应用辛普森公式，称之为组合辛普森公式,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31
8、,组合公式,例7.3 在区间0,1上取相同的步长h=1/4，进行5次函数求值,组合梯形公式,组合辛普森公式,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,例7.3,组合梯形公式,组合辛普森公式,布尔公式的结果,该定积分的真解,可见，依然是布尔公式的结果最接近真实值,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,组合梯形公式,组合辛普森公式,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,验证面积公式的精度,面积公式的定义中没指定积分区间 一切次数in的多项式Pi(x)都可用函数族1,x,x2,x3,xn的线性组合来表示 可以在任意容易计算定积分的区间上计算各个次数 i 不
9、高于n的幂函数xi的定积分，并与面积公式求得的结果相比较，从而确定面积公式的精度,例7.4,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,组合面积公式,理论数学中，曲线y=f (x)在区间a,b上的定积分的几何意义是该区间中曲线下的面积 求定积分的思想：分割求和求极限 组合面积公式：求区间a,b上曲线y=f (x)下面积的方法是用区间xk,xk+1,k=0,1,上的一系列曲边梯形的面积来逼近 用“有限”来逼近“无限”,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,组合梯形公式,定理7.2 设等距节点xk=a+kh,k=0,1,M将区间a,b划分为宽度为h=(b-a)/M的M个子
10、区间xk,xk+1。M个子区间的组合梯形公式有3种等价表示方法：,它们是区间a,b上f (x)积分的逼近，记为,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,组合梯形公式（续1）,x0,x1,x,f(x),x2,h,h,x3,h,h,x4,分段一次逼近,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,组合梯形公式（续2）,计算积分,真实值I=5216.926477323024,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,组合辛普森公式,定理7.3 设等距节点xk=a+kh,k=0,1,2M将区间a,b划分为宽度为h=(b-a)/(2M)的2M个等距子区间xk,xk+1。
11、M个子区间xk,xk+2上的组合辛普森公式有3种等价表示方法：,它们是区间a,b上f (x)积分的逼近，记为,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,组合辛普森公式（续1）,x0,x2,x,f(x),x4,h,h,xn-2,h,xn,.,分段二次逼近,h,x3,x1,xn-1,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,组合辛普森公式（续2）,多次应用辛普森法则,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,组合辛普森公式（续3）,计算积分 n = 2, h = 2 n = 4, h = 1,真实值I=5216.926477323024,华南师范大学数学科学学院
12、 谢骊玲,2019/7/31,组合面积公式的误差分析,组合梯形公式和组合辛普森公式的误差项 当步长h趋向零时，哪个公式的误差更快地收敛到零 当f(x)的导数已知时，如何利用误差项估计为得到给定精度的近似所需的子区间数,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,梯形公式的误差分析,推论7.2 设区间a, b划分为宽度为h=(b-a)/M的M个子区间xk, xk+1, 组合梯形公式,是对积分 的逼近,如果 f C2a,b，则存在值c, acb，使得误差项ET( f , h)具有形式,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,辛普森公式的误差分析,推论7.3 设区间a, b划
13、分为宽度为h=(b-a)/(2M)的2M个等宽子区间xk, xk+1, 组合辛普森公式,是对积分 的逼近,如果 f C4a,b，则存在值c, acb，使得误差项ES( f , h)具有形式,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,例7.7、7.8 分别用组合梯形公式、组合辛普森公式求函数 在区间1,6上的定积分,考察积分区间等距划分为10,20,40,80,160个子区间的情况,积分真实值 I =8.18347920766273,由上表可见，当 h 减半时，组合梯形公式的误差项序列ET( f ,h)的衰减因子约为1/4；而组合辛普森公式的误差项序列ES( f ,h)的衰减因子约为
14、1/16，这验证了推论7.2和推论7.3中关于两个公式的误差阶分别为O(h2)和O(h4)的结论,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,利用误差阶确定区间划分个数,例7.9、7.10 计算 M 和步长 h，使得组合梯形公式和组合辛普森公式对逼近定积分 的误差ET( f ,h)和ES( f ,h)小于510-9,组合梯形公式：M=22822，步长h=5/22822=0.000219086846,组合辛普森公式：M=113，步长h=5/113=0.02212389381,可见，使用227次f(x)求值的组合辛普森公式与使用22823次f(x)求值的组合梯形公式得到同样的精度。前者的
15、函数求值次数只是后者的1%,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,数值积分精度与函数求值、区间划分的关系,从各阶闭型NC公式来看，函数求值的次数越多，则逼近的精度越高 但从理论上可证明M8的NC公式不稳定，不能用来求解积分近似值 从组合梯形公式和组合辛普森公式计算的积分近似值来看，划分的子区间数越多，则逼近的精度越高 但从例7.9、7.10可发现，仅仅通过区间划分的方法提高精度的速度很慢,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,区间的划分方法,假如采用划分子区间的方式来提高精度。如何选择子区间的数目？ 采用二分区间的方法：开始时是一个区间，对分成2个子区间，再将2
16、个子区间各自二分得到4个子区间，不断试验直至得到想要的精度 这个过程生成一个梯形公式的序列T(J),华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,T(0)为20=1个梯形的面积,T(1)为21=2个梯形的面积,T(2)为22=4个梯形的面积,T(3)为23=8个梯形的面积,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,连续梯形公式,定理7.4 设J1，点xk=a+kh将a,b划分为2J=2M个宽度为(b-a)/2J的子区间。梯形公式T( f ,h)和T( f ,2h)满足如下关系：,梯形公式序列 记T(0)=(h/2)(f(a)+f(b)，它是步长为h=b-a的梯形公式。对于所
17、有J1，记T(J)=T(f,h)，其中T(f,h)是步长为h=(b-a)/2J的梯形公式,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,递推梯形公式,推论7.4 由T(0)=(h/2)(f(a)+f(b)开始，梯形公式序列T(J)可由以下递推公式生成：,其中J=1,2,，h=(b-a)/2J，xk=a+kh,例7.11,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,例7.11 用连续梯形公式计算如下积分,的逼近T(0), T(1), T(2)和T(3).,只需计算9个点的函数值，而且是根据递推需要逐渐增加计算的,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,递推辛普森公
18、式,定理7.5 设T(J)为由推论7.4产生的梯形公式序列，如果J1，且S(J)为区间a,b的2J个辛普森公式，则S(J)和T(J-1)与T(J)满足关系式：,例7.12,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,例7.12 用连续辛普森公式计算如下积分,的逼近S(1), S(2)和S(3).,利用连续梯形的计算结果进行组合，得到连续辛普森公式，误差阶提高了二阶，由O(h2)提高到O(h4),华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,递推布尔公式,如果在区间a,b上对宽度为h=(b-a)/(4M)的4M个等间距子区间上应用M次布尔公式，则称之为组合布尔公式：,定理7.6
19、 设S(J)为由定理7.5产生的辛普森公式序列，如果J2且B(J)为区间a,b上2J个子区间的布尔公式，则B(J)与辛普森公式S(J-1)和S(J)满足关系,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,例7.13 用连续布尔公式计算如下积分,的逼近B(2), B(3).,利用连续辛普森的计算结果进行组合，得到连续布尔公式，误差阶提高了二阶，由O(h4)提高到O(h6),利用连续布尔的计算结果进行组合，还可得到更高阶的公式，误差阶由O(h6)提高到O(h8)，计算结果精确到小数点后第5位,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,龙贝格积分,由以上各式的余项规律，可作推广：
20、设用步长h和2h得到一个逼近公式的两个结果，则两个结果的代数运算将得到改进，每次改进将误差项的阶由O(h2N)提高到O(h2N+2).该提阶过程称为龙贝格积分,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,龙贝格积分的优缺点,NC公式中，当节点数大于等于9时，积分公式中有负的权值，公式不稳定 龙贝格积分公式中所有权全为正，公式稳定；且等距节点容易计算横坐标的值 每次提高误差的阶，函数求值次数几乎增加一倍 使用连续公式可以减少计算量,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,龙贝格积分的理查森改进,引理7.1 给定Q的两个逼近R(2h,K-1)和R(h,K-1)，满足Q=R(
21、h,K-1)+c1h2K+c2h2K+2+和Q=R(h/2,K-1)+c1h2K/4K+c2h2K+2/4K+1+其改进的逼近形如,定义a,b上f(x)的面积公式序列 如下：,R(J,0)=T(J), J0，为连续梯形公式 R(J,1)=S(J), J1，为连续辛普森公式 R(J,2)=B(J), J2，为连续布尔公式,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,龙贝格积分表,R(0,0),R(1,0),R(2,0),R(3,0),R(4,0),R(3,2),R(1,1),R(4,2),R(3,1),R(2,1),R(3,3),R(4,1),R(4,3),R(2,2),R(4,4),
22、例7.14,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,龙贝格积分的精度,定理7.7 设fC2K+2a,b，则龙贝格逼近的截断误差由公式,给出，其中h=(b-a)/2J为依赖于K的常数，且cJ,Ka,b,例7.15,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,自适应积分,在计算定积分的数值方法中，主要工作量是用在计算函数值上，因此尽量减少计算函数值的次数是考虑算法的一个原则 组合积分公式使用等距节点 为获得较高的精度，在整个积分区间使用相同的小步长h，对精度不高的积分公式而言，要在很多点上求函数值,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,自适应积分（续1）,解
23、决办法之一是使已经算出的函数值在以后的计算过程中尽可能多地起作用以减少计算新函数值的次数，如龙贝格积分算法 解决办法之二是考虑到曲线在整个区间上的变化是不均匀的，某些部分函数值变化剧烈，某些部分函数值变化缓慢，为使计算结果达到预定精度，对变化情况不同的各处区间的细分程度不同 自适应积分技术的基础是辛普森公式,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,其中，S(a,b)=(h/3)f(a)+4f(a+h)+f(b),计算积分 的近似值，使误差不超过预先给定的上限.首先取步长h=(b-a)/2，应用辛普森公式得,区间细分,其次，取步长为(b-a)/4=h/2，应用组合辛普森公式得,华南
24、师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,令,和,则,若f (4)(x)变化很缓慢，则可设f (4)(d1) f (4)(d2)，则有,于是,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,则有误差估计,因此，若,则,这时，可认为取 作为 的近似值，能达到所要求的精度,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,若是，则两个子区间的积分近似值之和作为 近似值，其误差在容限之内,分别对子区间 和 （称为1级子区间）应用上述误差估计过程以确定每个1级子区间中积分近似值的误差是否都在容许误差限/2之内：,若,若两个子区间中有一个子区间积分近似值的误差 不在容限/2之内，则再将该子区间分半得到2个2 级子区间，要求每个子区间的误差在容限/4之内,按照这种方法，从左到右测试每个子区间，直到每个子区间的误差都在所要求的误差容限之内,华南师范大学数学科学学院 谢骊玲,2019/7/31,例7.16 自适应积分中0,4的子区间划分,