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1、椭圆中的弦中点问题探究,教学设计 余继光,数学实验探究规律,数学规律的理论推导,数学解题方法探究,由圆的弦中点到椭圆的弦中点,变式训练提高能力,问题提出,圆中有一个垂径定理：在圆O中，半径OH与弦AB相交于点C，且点C是AB中点，则OCAB，,圆可以看成椭圆的特殊情形， 在椭圆中能否有类似的性质呢？,当弦AB与坐标轴平行时，有类似性质； 不平行时，没有垂直关系； 但是，有没有其他类似性质呢？,定值实验与理论探究,问题1、在椭圆 （ab0）中，,让我们来做一个实验。,若弦AB中点为C，OC交椭圆于H， 当kOC、kAB都存在时，kOCkAB是定值吗？,实验探究,对于固定的a，b， kABkOC与
2、 有联系：,kABkOC=,上述实验表明：,理论探究,设A（x1，y1），B（x2，y2），由A、B在椭圆上，有,两式相减得,即,k OCk AB=,而,试一试,已知斜率为1的直线交椭圆5x2+9y2=45于A、B两点，AB的中点为P，O为坐标原点，则kOP=_,探究方法小结,上述研究表明，圆中的某些性质经过改造后，可以迁移到椭圆中来，我们是通过数学实验的方法来发现其中的规律，但是数学实验中发现的规律还需理论推导证明，上述证明中，主要用到点差法。其关键点是 它沟通了弦的斜率、弦的中点坐标与椭圆基本量a，b之间的紧密联系。,轨迹方程方法的探究,问题2、过点P（2，1）作椭圆x2+4y2=16的一
3、条弦AB，若点P是弦AB的中点，求直线AB的方程,韦达定理法,设AB：y1=k（x2）,代入椭圆方程 得x2+4k（x2）+12=16，,整理（4k2+1）x28（2k2k）x+4（2k1）216=0,设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=,P为AB的中点，x1+x2=4，于是 =4，,解得k= ，故AB的方程为x+2y4=0,点差法,设A（x1，y1），B（x2，y2），由A、B在椭圆上，有,两式相减，得,即,y1+y2=2，从而kAB=,P为AB的中点，x1+x2=4，,故AB的方程为x+2y4=0,对称点法,设所求直线与椭圆的一个交点为A（x，y）， 则另一个交点为B（4x
4、，2y）， A、B在椭圆上，x2+4y2=16 （4x）2+4（2y）2=16 从而A、B在方程的图形x+2y4=0上， 而过A、B的直线只有一条， 故所求直线方程为x+2y4=0,端点参数法利用直线参数方程,设所求直线AB的倾斜角为， A（2+tcos，1+tsin）， B（2tcos，1tsin） （t0为参数）,将点A、B坐标代入椭圆方程x2+4y2=16得 （ 2+tcos）2+4（1+tsin）2=16 （ 2-tcos ）2+4（ 1-tsin ）2=16,得8 tcos + 16tsin =0 kAB=tan= 故所求直线方程为x+2y4=0,特殊法可在选择填空题中用,利用问题1
5、的结论，kOPkAB=,kOP= ，k AB= ，故所求直线方程为,y1= （x2），即x+2y4=0,变式训练一,过点P（2，1）作椭圆x2+4y2=16的一条弦AB，若点P是弦AB的中点，则|AB|=_,思路一：因AB的斜率k= ，而,消去y,可得x24x=0,由弦长公式可得|AB|= | x1x2|=2,思路二：画椭圆后，AB恰好是连接椭圆的右顶点 与上顶点的线段，其长为,变式训练二,过P（2，1）作椭圆9x2+25y2=225的一条弦AB，若弦AB的中点M在x轴上，求直线AB方程,思路:设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，0），则,两式相减，得,M为AB的中点，,x1+x2
6、=2x0，y1+y2=0，于是2x0（x1x2）=0,若x1x2=0,则A、B两点关于x轴对称,中点M在x轴上， 此时AB的方程是x=2；,若x0=0，则M为原点，此时AB的方程是y= x,变式训练三,过P（2，1）作椭圆9x2+25y2=225的一条动弦AB， 求动弦AB中点M的轨迹方程。,思路:设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），则 由变式训练二知,9（x1+x2）+25（y1+y2） =0,M是AB中点，x1+x2=2x，y1+y2=2y，又kAB=kPM，,即9x2+25y218x25y=0为所求的轨迹方程。,于是9x+25y =0，,探究方法小结,椭圆中的弦中点问题内
7、容相当丰富，如平行弦的中点问题；过定点的弦中点问题；弦的中点性质问题等，由此可派生出诸如轨迹方程、弦长、定点坐标、最值、取值范围等一系列相关问题，本节课只是研究了其中的一二个问题，但是弦中点问题的基本研究方法是韦达定理法和点差法，其他方法还有对称点法、端点参数法、共轭法等。,方法训练作业,设A、B为椭圆 长轴的两端点，P为椭圆上一 动点（不同于A、B），作AQPA，BQPB，求直线 AQ与BQ的交点Q的轨迹方程。,设P（x0，y0），Q（x，y），,研究性学习作业单同座位3人小组合作完成,圆中有相交弦定理，过圆内一点P作两条弦AB、CD， 交圆于A、B、C、D四点，则|PA|PB|=|PC|PD|,探究1、在椭圆 =1（ab0）内部有一 点P，过点P作两直线L1，L2交椭圆于A、B、C、D 四点，对于直线L1、L2，是否存在条件，使A、B、 C、D四点共圆？ 若存在，探索这一条件，若不存在，说明理由。,探究2、若上述问题中的P点在椭圆外，过点P作两直线L1，L2交椭圆于A、B、C、D，则这四点是否会共圆？,谢谢指导！,2004年10月22日,