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1、14:52,2.2.1椭圆的标准方程,14:52,14:52,一、椭圆定义：,（大于|F1F2|）,14:52,几点说明：,则M点的轨迹是线段F1F2.,则M点的轨迹不存在.,通常这个常数记为2a，焦距记为2c,14:52,O,X,Y,F1,F2,M,求椭圆的方程,14:52,O,X,Y,方案一,方案二,求椭圆的方程,14:52,求椭圆的方程,如图所示： F1、F2为两定点，且 F1F2 =2c，求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a（2a2c)的动点M的轨迹方程。,14:52,O,X,Y,F1,F2,M,解：以F1F2所在直线为X轴， F1F2 的中点为原点建立平面直角坐标系，则焦点F
2、1、F2的坐标分别为(-c,0)、 (c,0)。,(-c,0),(c,0),(x,y),设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，,则: MF1 + MF2 =2a,14:52,两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2),因为2a2c，即ac，所以a2-c20，令a2-c2=b2，其中b0，代入上式可得：,b2x2+a2y2=a2b2,两边同时除以a2b2得：,(ab0),14:52,O,X,Y,F1,F2,M,(-c,0),(c,0),椭圆的标准方程的再认识：,（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平
3、方和，右边是1,（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。,（3）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在 哪一个轴上。,14:52,例题精析,例1、填空： (1)已知椭圆的方程为： ，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：_焦距等于_;若CD为过左焦点F1的弦，则F2CD的周长为_,5,4,3,(3,0)、(-3,0),6,20,14:52,(2)已知椭圆的方程为： ，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：_焦距等于_;曲线上一点P到F1的距离为3， 则点P到另一个焦点F2的距离等于_，则F1PF2的周长为_,2
4、,1,(0,-1)、(0,1),2,14:52,1.求下列椭圆的焦点和焦距。,焦点为：,焦点为：,练,焦距为： 2,焦距为：,14:52,例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）满足a=4,b=1，焦点在X轴上的椭圆的标准方程为_,（2）满足a=4,b= ，焦点在Y轴上的椭圆的标准方程为_,或,c,14:52,变式：若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围。,解：由 4x2+ky2=1,因为方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆,即：0k4,所以k的取值范围为0k4。,14:52,例题讲解,例3、已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4
5、 m，外轮廓线上的点到两个焦点的距离和为3 m，求这个椭圆的标准方程,解：以两个焦点F1，F2所在的直线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则这个椭圆的标准方程为,根据题意知，2a=3，2c=2.4，即a=1.5，c=1.2。所以b2=a2-c2=1.52-1.22=0.81，因此椭圆的标准方程为,14:52,例4、将圆x2+y2=4上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线.,x2+（2y）2=4,所以x2+4y2=4,即,这就是变换后所得曲线的方程,它表示一个椭圆,14:52,平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。,2,14:52,推导椭圆的方程,14:52,定 义,图 形,方 程,焦 点,F(c，0),F(0，c),a,b,c 的关系,P|PF1+PF2=2a,2aF1F2,14:52,思考题,怎样判断焦点在哪个轴上?,m0,n0,当n m 0时,焦点在y轴上,当m n 0时,焦点在x轴上,且mn,14:52,作业,1、教材P30页习题2.2(1)第2题,3、推导：焦点在y轴上的椭圆的标准方程,2、教材P30页习题2.2(1)第3题,