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1、第四章 级数,复习、引入,4.1 复数项级数 4.2 幂级数 4.3 泰勒级数 4.4 洛朗级数,复习、引入,收敛的本质无限项和差是否为一个确定值？,如何完成这种计算？,定理一,4.1 复数项级数,二、复数项级数的概念,一、复数列的极限,三、复数项级数的审敛法,4.2 幂级数,一、函数项级数,二、幂级数及其收敛性正幂项级数,2.收敛特征Abel定理,定理一,证明,三、收敛圆与收敛半径,利用阿贝尔定理，不难确定幂级数的收敛范围 ， 对于任一个幂级数来说，它的收敛情况不外乎三种：,iii)既存在使级数收敛的正实数, 也存在使级数发散的正实数. 设 (正实数)时, 级数收敛, (正实数)时, 级数发
2、散.,对所有的正实数都是收敛的. 这时, 根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛.,ii)对所有的正实数除 z =0 外都是发散的.这时, 级数在复平面内除原点外处处发散.,a,Ca,O,显然 时,将收敛域染成红色, 发散域为蓝色.,当 由小逐渐变大时, 必定逐渐接近一个以原点为中心, R为半径的圆周CR. 在CR的内部都是红色, 外部都是蓝色. 这个红蓝两色的分界圆周CR称为幂级数的收敛圆. 在收敛圆的外部, 级数发散. 收敛圆的内部, 级数绝对收敛. 收敛圆的半径R称为收敛半径. 所以幂级数(4.2.3)的收敛范围是以原点为中心的圆域. 对幂级数(4.2.2)来说, 收敛范围是以 为
3、中心的圆域. 在收敛圆上的收敛性, 则不一定.,例1 求幂级数,解: 级数实际上是等比级数, 部分和为,的收敛范围与和函数.,收敛半径的求法,例2 求下列幂级数的收敛半径,四、 幂级数的运算和性质,在以原点为中心, r1,r2中较小的一个为半径的圆内, 这两个幂级数可以象多项式那样进行相加, 相减, 相乘, 所得到的幂级数的和函数分别就是f(z)与g(z)的和,差与积.,更为重要的是代换(复合)运算,这种代换运算, 在把函数展开成幂级数时, 有着广泛的应用.,当|z-a|b-a|=R时级数收敛,4.3 泰勒级数,按柯西积分公式, 有,且,由解析函数高阶导数公式,上式可写成,在K内成立, 即 f
4、 (z)可在K内 用幂级数表达.,q与积分变量z无关, 且0q1.,K含于D, f (z) 在D内解析, 在K上连续, 在K上有界, 因此在K上存在正实数 M 使| f (z) | M.,因此, 下面的公式在K内成立:,称该等式为f (z)在z0点的泰勒展开式, 它右端的级数称为 f (z)在z0处的泰勒级数.,圆周K的半径可以任意增大, 只要K在D内. 所以,如果z0到D的边界上各点的最短距离为d,则f(z)在z0点的泰勒展开式在圆域 |z-z0|d 内成立.,定理(泰勒展开定理) 设f(z)在区域D内解析,z0为D内的一点, d为z0到D的边界上各点的最短距离,则当|z-z0|d 时,注：
5、如果f (z)在z0解析,则使f(z)在z0的泰勒展开式成立的圆域的半径 R 等于从z0到f(z)的距z0最近一个奇点a 的距离, 即R=|a-z0|.,任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数, 因而是唯一的.,利用泰勒展开式, 我们可以直接通过计算系数:,把 f (z)在z0点展开成幂级数, 称此为直接展开法,例如, 求 ez 在 z = 0处的泰勒展开式, 由于(ez)(n) = ez, (ez)(n)|z=0 = 1 (n=0,1,2,.) ， 故有,因为ez在复平面内处处解析, 上式在复平面内处处成立, 收敛半径为+.,同样, 可求得sinz与cosz在z=0的泰勒展开式:,除直接
6、法外, 也可以借助这些已知函数的展开式, 利用幂级数的运算性质和分析性质, 以唯一性为依据得出函数的泰勒展开式, 此方法称为间接展开法. 例如sin z在z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出:,解 由于函数有一奇点z=-1, 而在|z|1内处处解析, 所以可在|z|1内展开成z的幂级数.,因为,例1 把函数 展开成z的幂级数.,例2 求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式.,解 ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的, -1是它的奇点, 所以可在|z|1展开为z的幂级数.,推论1：,注：,推论2: 幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点。(即使幂级数在其
7、收敛圆周上处处收敛),例如：,推论3：,例如：,而如果把函数中的x换成z, 在复平面内,函数,它有两个奇点i, 且都在此函数展开式的收敛圆周上, 所以这个级数的收敛半径只能等于1。 因此,即使我们 只关心z的实数值, 但复平面上的奇点形成了限制。,4.4 洛朗级数,一个以z0为中心的圆域内解析的函数 f (z), 可以在该圆域内展开成z-z0的幂级数. 如果 f (z)在z0处不解析, 则在 z0 的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示. 但是这种情况在实际问题中却经常遇到. 因此, 在本节中将讨论在以 z0 为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.,讨论下列形式的级数:,可将其分为两部分考虑
8、:,只有正幂项和负幂项都收敛时,原级数才收敛于它们的和. 正幂项是幂级数, 设其收敛半径为 R2：,这是t 的幂级数, 设收敛半径为R：,对负幂项, 如果令 t =(z-z0)-1, 可得：,则当|z-z0|R1, 即|t|R 时,因此, 只有在R1|z-z0|R2的圆环域, 原级数才收敛.,例如级数,在收敛圆环域内具有幂级数在收敛圆内的许多性质。 例如, 上述级数在收敛环域内其和函数是解析的, 而且可以逐项积分和逐项求导。,现在反问, 在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成上述含正、负幂的幂级数呢?先看下例。,其次,在圆环域:0|z-1|1内也可以展开为z-1的幂级数:,称等式为f(z)在以
9、z0为中心的圆环域R1|z-z0|R2内的洛朗(Laurent)展开式, 它右端的级数称为f(z)在此圆环域内的洛朗级数.,一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的, 这个级数就是f(z)的洛朗级数.,根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,一般可以用代数运算, 代换, 求导和积分等方法去展开, 以求得洛朗级数的展开式.,解： 函数f(z)在圆环域 i) 0|z|1; ii) 1|z| 2; iii) 2|z| + 内是处处解析的, 可把f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.,先把f(z)用部分分式表示:,ii) 在1|z| 2内：,iii) 在2|z|+内:,例2 把函数,解
10、：由,函数可以在以z0为中心的(由奇点隔开的)不同圆环域内解析, 因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例). 我们不要把这种情形与洛朗展开式的唯一性相混淆. 所谓洛朗展开式的唯一性, 是指函数在某一个给定的圆环域内的洛朗展开式是唯一的.,例如在z=i和z=-i处将函数 展为洛朗级数。,在复平面内有两个奇点: z=0与z=-i,分别在以i为中心的圆周: |z-i|=1与|z-i|=2上.,因此,f(z)在以i为中心的圆环域(包括圆域)内的展开式有三个: 1)在|z-i|1中的泰勒展开式; 2)在1|z-i|2中的洛朗展开式; 3)在2|z-i|+中的洛朗展开式;,在复平面内有一个奇点: z=0在以-i为中心的圆周:|z+i|=1上.,因此, f (z)在以-i为中心的圆环域内的展开式有二个: 1)在0|z+i|1中的洛朗展开式; 2)在1|z+i|+中的洛朗展开式。,特别的，当洛朗级数的系数公式,（即可利用Laurent系数计算积分）,例,解：,例4,解：,故c-1=-2,本章重点与难点,洛朗级数的收敛特征及函数展开洛朗级数的间接方法,关于 的洛朗级数 “惟一性” 的理解与运用,函数所展泰勒级数的收敛半径确定方法,How beautiful the sea is!,Lets have a rest!,