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1、第四章 间接平差,误差理论与测量平差,第四章 间接平差,4-1 间接平差原理 4-2 误差方程 4-3 精度评定 4-4 间接平差公式汇编 4-5 附有限制条件的间接平差 4-6 间接平差估值的统计性质,误差理论与测量平差,4-1 间接平差原理,间接平差法（参数平差法）是通过选定t个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，将每个观测值都分别表达成这t个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，从而求得各观测值的平差值。,误差理论与测量平差,间接平差一般原理,设平差问题中有n个观测值L，已知其协因数阵 ，必要观测数为t，选定t个独立参数 ，其近似值为 ，观测
2、值L与改正数V之和，称为观测量的平差值 。按具体平差问题，可列出n个平差值方程为 令,误差理论与测量平差,间接平差一般原理,则平差值方程的矩阵形式为 令 式中为参数的充分近似值 ，于是可得误差方 程式为,误差理论与测量平差,间接平差一般原理,按最小二乘原理，上式的必须满足 的要求，因为t个参数为独立量，故可按数学上求函数自由极值的方法，得 转置后得 以上所得的方程中的待求量是 个和 个，而方程个数也是 个，有唯一解，称此两式为间接平差的基础方程。,误差理论与测量平差,间接平差一般原理,解此基础方程，一般是先消去v，得 令 上式可简写成 式中系数阵 为满秩矩阵，即 ，有唯一解 上式称为间接平差的
3、法方程。解之，得 将求出的代入误差方程，即可求得改正数V，从而平差结果为,误差理论与测量平差,间接平差法求平差值的计算步骤,1根据平差问题的性质，选择t个独立量作为参数； 2. 将每一个观测量的平差值分别表达成所选参数的函数，若函数非线性要将其线性化，列出误差方程； 3由误差方程系数B和自由项组成法方程，法方程个数等于参数的个数t ； 4. 解算法方程，求出参数，计算参数的平差值； 5由误差方程计算V，求出观测量平差值； 6.评定精度。,误差理论与测量平差,4-2 误差方程,按间接平差法进行平差计算，第一步就是列出误差方程。为此，要确定平差问题中参数的个数、参数的选择以及误差方程的建立等,误差
4、理论与测量平差,确定待定参数的个数,在间接平差中，待定参数的个数必须等于必要观测的个数，而且要求这个参数必须是独立的，这样才可能将每个观测量表达成这个参数的函数，而这种类型的函数式正是间接平差函数模型的基本形式。一个平差问题中，必要观测的个数取决于该问题本身的性质，与观测值的多少无关。现就常用的不同形式的控制网介绍如下： （一） 水准网（三角高程网） 水准网（三角高程网）平差的主要目的是确定网中未知点的最或然高程。如果网中有高程已知的水准点，则就等于待定点的个数；若无已知点，则等于全部点数减一，因为这一点的高程可以任意给定，以作为全网高程的基准，这并不影响网点高程之间的相对关系。,误差理论与测
5、量平差,确定待定参数的个数,（二） 三角网 三角网平差的目的是要确定三角点的坐标最或是值，当网中有两个或两个以上已知点坐标，则必要观测个数就等于未知点个数的两倍；当网中少于两个已知点时，则必要观测个数就等于总点个数的两倍减去4。 （三） 测边网（包括测边、边角同测、导线网） 当网中有两个或两个以上已知点坐标，则必要观测个数就等于未知点个数的两倍；当网中少于两个已知点时，则必要观测个数就等于总点个数的两倍减去3。 （四） GPS网 当网中具有足够的起算数据时，则必要观测个数就等于未知点个数的三倍再加上WGS84坐标系向地方坐标转换选取转换参数的个数；当网中没有足够的起算数据时，则必要观测个数就等
6、于总点数的三倍减去3。,误差理论与测量平差,参数的选取,在水准网中，常选取待定点高程作为参数，也可选取点间的高差作为参数，但要注意参数的独立性。当选取待定点高程作为参数时可以保证参数的独立性。 在平面控制网、GPS网中选取未知点的二维坐标或三维坐标作为未知参数，可以保证参数之间的独立性，也可以选取观测值的平差值作为未知数。 因此如上所述，采用间接平差，应该选定刚好t个而又函数独立的一组量作为参数。至于应选择其中哪些量作为参数，则应按实际需要和是否便于计算而定。,误差理论与测量平差,误差方程线性化,取 的充分近似值 ， 是微小量，在按泰勒公式展开时可以略去二次和二次以上的项，于是可对非线性平差值
7、方程式线性化，将 按泰勒公式展开得 令,误差理论与测量平差,误差方程线性化,式中为相应的函数的近似值，自由项为观测值减去其近似值。 需要指出，线性化的误差方程式是个近似式，因为它略去了的二次以上的各项。当很小时，略去高次项是不会影响计算精度的。如果由于某种原因不能求得较为精确的参数的近似值，即都很大，这样，平差值之间仍然会存在不符值。此时，就要把第一次平差结果作为参数的近似值再进行一次平差。,误差理论与测量平差,4-3 精度评定,间接平差与条件平差虽采用了不同的函数模型，但它们是在相同的最小二乘原理下进行的，所以两法的平差结果总是相等的，这是因为在满 足条件下的是唯一确定的，故平差值 不因方法
8、不同而异。,误差理论与测量平差,单位权中误差,单位权方差的估值 ，计算式仍然是除以其自由度，即 中误差为 计算 可以将误差方程代入后计算，即， 顾及 ，得 ，考虑到 得,误差理论与测量平差,协 因 数 阵,在间接平差中，基本向量为 ， ， 和 。已知 ， 根据前面的定义和有关说明知， ，故 ， 。 下面推求各基本向量的自协因数阵和两两向量间的互协因数阵。 设 ，则 的协因数阵为 对角线上子矩阵是各基本向量的自协因数阵，非对角线上子矩阵为两两向量间的互协因数阵。,误差理论与测量平差,参数函数中的误差,假定间接平差问题中有t个参数，设参数的函数为 将 代入上式后，按泰勒公式展开，取至一次项，得 式
9、中 是参数函数的近似值，当近似值一经取定，它是一个已知的系数，令,误差理论与测量平差,参数函数中的误差,上式可以写成 或 对于评定函数 的精度而言，给出 或 是一样 的。通常上式称为参数函数的权函数式，简称权 函数式 令 ，则 由表查得 ，故函数 的协因数为,误差理论与测量平差,参数函数中的误差,一般，设有函数向量 的权函数式为 即用来计算m个函数的精度，其协因数阵为 是参数 向量的协因数阵，即,误差理论与测量平差,参数函数中的误差,其中 对角线元素是参数 的协因数， 故 的中误差为 函数 的协方差阵为,误差理论与测量平差,4-4 间接平差公式汇编,间接平差的函数模型和随机模型是 平差值方程和
10、误差方程为 或,误差理论与测量平差,间接平差公式汇编,法方程为 其解为 观测量和参数的平差值： 单位权中误差：,误差理论与测量平差,间接平差公式汇编,平差参数的协方差阵： 平差参数的函数的协方差阵 权函数式： 协因数： 方差：,误差理论与测量平差,4-5 附有限制条件的间接平差,在进行间接平差时，所列误差方程式中未知数的个数应等于必要观测数，且未知数之间要相互独立。但有时实际问题中会遇到所选未知数个数多于必要观测个数，即在平差中选取了个量作为参数，其中包含了个独立量，则参数间存在个限制条件。平差时列出个观测方程和个限制参数间关系的条件方程，以此为函数模型的平差方法，就是附有限制条件的间接平差。
11、,误差理论与测量平差,附有限制条件的间接平差原理,设有n个观测值 ，其权阵为 ，选取u个未知数 ，必要观测数为t，未知数之间条件个数s=u-t。在实际各种类型的测量数据平差中，列出的观测方程和条件方程很多是非线性的，因此必须先按台劳公式将其化为线性形式。附有限制条件的间接平差的线性或线性化后的函数模型为 其中,误差理论与测量平差,附有限制条件的间接平差原理,即B为列满秩阵，C为行满秩阵。仍用和的估值和V代入，得误差方程和限制条件方程为 随机模型为 在上两式中，待求量是n个改正数和u个参数，而方程个数n+s为，少于待求量n+u的个数，且系数阵的秩等于其增广矩阵的秩，即,误差理论与测量平差,附有限
12、制条件的间接平差原理,故是有无穷多组解的一组相容方程。为此，按求条件极值 法组成函数： 式中 是对应于限制条件方程的联系数向量。V是 的显函 数，为求 的极小，将其对 取偏导数并令其为零，则有 转置后 在上三式中，方程的个数是n+u+s，待求未知数的个数是n 个改正数，u个参数和s个联系数，即方程个数等于未知数 个数，故有唯一解。称这三个方程为附有限制条件的间接 平差法的基础方程。,误差理论与测量平差,附有限制条件的间接平差原理,解此基础方程得 前面已令 故上式可写成 上式称为附有限制条件的间接平差法的法方程。 由它可解出 和 。,误差理论与测量平差,精度评定-单位权方差的估值公式,附有限制条
13、件的间接平差的单位权方差估值仍是除以其自由度，即 式中 可以用已经算出的V和已知的权阵P直接计算。此外，也可按以下导出的公式计算。 因为 上式可写成：,误差理论与测量平差,精度评定-协因数阵,平差值方程的形式是 ，误差方程的 常数项 ，其中 为常量，对精度计算无影响，故有 其中 亦为常量。于是基本向量的表达式为,误差理论与测量平差,精度评定-协因数阵,按协因数传播律可得,误差理论与测量平差,精度评定-协因数阵,误差理论与测量平差,精度评定-协因数阵,误差理论与测量平差,平差参数函数的协因数,在附有限制条件的间接平差中，因在u个参数中包含了t个独立参数，故平差中所求任一量都能表达成这个参数的函数。设某个量的平差值为 对其全微分，得权函数式为,误差理论与测量平差,平差参数函数的协因数,式中F为 用代入各偏导数中，即得各偏导数值，然后按下式计算其协因数： 函数的中误差为,误差理论与测量平差,再 见,