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1、1,曲柄滑块机构的运动规律,1 实验目的,着重介绍运用建立近似模型并进行数值计算来研究、讨论函数的方法。,2 实验问题,曲柄滑块机构是一种常用的机械结构，它将曲柄的转动转化为滑块在直线上的往复运动，是压气机、冲床、活塞式水泵等机械的主机构。,2,记曲柄OQ的长为r，连杆QP的长为l，,当曲柄绕固定点O以角速度,P在水平槽内作往复直线运动。,旋转时，由连杆带动滑块,假设初始时刻曲柄的端点Q位于水平线段OP上，,曲柄从初始位置起转动的角度为,，,连杆QP与OP的锐夹角为,（称为摆角）。,3,在机械设计中要研究滑块的运动规律和摆角的变化规律，,确切地说，要研究滑块的位移、速度和加速度关于,的函数关系
2、，,摆角,及其角速度和角加速度关于,的函数关系，,4,（1）求出滑块的行程S（即滑块往复运动时左、右极限位置间的距离）；,（2）求出滑块的最大和最小加速度（绝对值），以了解滑块在水平方向上的作用力；,（3）求出,的最大和最小角加速度（绝对值），以了解连杆的转动惯量对滑块的影响。,在求解上述问题时，我们假定,5,8.3 数学模型,取O点为坐标原点，OP方向为x轴正方向，P在x轴上的坐标为x，那么可用x表示滑块的位移。,利用三角关系，立即得到,6,于是滑块的速度,进而，可以得到滑块的加速度为,7,同样，基于关系式,我们有摆角的表达式,式（8.6）对t求导，,8,由此再得,利用（8.6），,不难由上
3、两式导出,9,至此，我们得到了滑块位移x和连杆摆角,运动规律中有关变量依赖,的表达式。,滑块的加速度为,虽然我们已经得到了有关变量的解析式，但是要求出问题的解并非十分简单。由于滑块加速度和摆角角加速度的函数表达式（8.5）和（8.11）相当复杂，从这两个式子来了解这两个量并不方便，而要用它们进一步求出极值则更加不易（当然，可以借助数学软件来进行，我们把这一点留给读者）。,10,由于数学模型本身是对实际问题的抽象，从而也必定有某种简化和忽略。即使我们得到了问题的解析形式解，一般说来，它仍然是对实际情况的近似。为了方便起见，对较为复杂的解析模型进行近似处理常常是必要的。事实上，在曲柄连杆结构（以及
4、不少工程问题）的研究中，确实经常使用着这个方法。,8.4 近似模型,将位移的表达式（8.1）改写为,11,一般而言，,是远比1小的数，,滑块位移的近似模型为,从而有相应的近似速度,和近似加速度,这里速度和加速度是直接对近似位移模型求导得来，而不是对v和a的精确表达式（8.4）和（8.5）的近似。,12,当然，我们也可以直接从滑块速度的解析式（8.4）进行近似。,仍利用公式（8.12）,把上式代入（8.4），就得到滑块速度的近似模型,13,从（8.16）出发，又可得近似加速度,对摆角,可以利用幂级数展开的Maclaurin公式,得到摆角的近似模型。,粗略一些，可以取,而必要时，可以取,14,相应
5、的近似角速度为,近似角加速度为,15,8.5 问题的解法和讨论,滑块的位移和行程,利用滑块位移的解析式（8.1）和近似式（8.13），,表8.1列出了,从0到位移一些相应数值（单位：mm）。,考虑到对称性和周期性，只要计算这一区间中的函数值就可以了。,16,表8.1 mm,行程可以从表8.1中的值求得，,17,从几何直观上看也十分明显：,滑块的加速度及其最值,利用精确表达式（8.5）和近似表达式（8.15）、（8.17），,18,计算滑块的加速度。注意加速度仍具有对称性和周期性。表8.2列出了一些相应的数值（单位：mm/s2）：,表1.2 mm/s2,19,从表8.2中可以看出，用加速度的近似
6、公式计算，,的结要相当好。,的结果稍微差一些，,考虑到在应用近似模型时，表达式的推导和有关计算工作量都将明显地减少，因此在某些情况下，这样的做法还是合适的。,加速度绝对值的最大值从表8.2立即得到。,无论用哪种模型，均在,20,至于加速度绝对值的最小值，显然是加速度的零点。,从表上看出：零点在,之间。,运用方程求根的数值方法，例如Newton法，对于加速度的三种表达式，分别可以得出,因此在求加速度（绝对值）的最值时，近似模型也是十分有效的。,21,我们有由摆角的精确模型导出的表达式（8.11）和由近似模型导出的表达式（8.23）、（8.24），同样可以计算角加速度在各离散点的值。,摆角的角加速度和其最值,近似模型的误差仍然是不大的，请读者自行计算。,无论采用哪个表达式都在,和达到最小值0；,达到最大值：,而且都在,22,在这个实验中我们看到了采用近似模型的可行性。,23,8.6 实验任务,